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专题04 整式运算
一、单项式及多项式
【高频考点精讲】
1．单项式
（1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，
同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如 a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单
项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。
2．多项式
（1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中
次数最高项的次数叫做多项式的次数。
（2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有 a个单项式，次数
是b，那么这个多项式就叫b次a项式。
【热点题型精练】
1．（2022•攀枝花中考）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
2．（2022•贺州模拟）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（ ）
A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6
3．（2022•成都模拟）有规律地排列着这样一些单项式：﹣xy2，x2y4，﹣x3y6，x4y8，﹣x5y10，x6y12…，则第n个单
项式（n≥1整数）可表示为 ．
4．（2022•株洲模拟）多项式3x2y2﹣2xy2﹣ xy的二次项系数为 ．
5．（2022•黔东南州模拟）把多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列是 ．
6．（2022•衡水模拟）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x+b）2为关联
多形式，则b＝ ；若（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A+x2﹣6x+2不含常数
项时，则A为 ．
二、幂的运算
【高频考点精讲】
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am•an＝am+n（m，n是正整数），拓展：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
（2）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。
（am）n＝amn（m，n是正整数）
（3）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（ab）n＝anbn（n是正整数）
（4）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减。
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
【热点题型精练】
7．（2022•淮安中考）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
8．（2022•武汉中考）计算（2a4）3的结果是（ ）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
9．（2022•河北中考）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2022•淄博中考）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
11．（2022•郑州模拟）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，
1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
12．（2022•株洲中考）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（ab）2＝ab2 D． ＝a3（a≠0）．
三、完全平方公式及其几何背景
【高频考点精讲】
1．完全平方公式
（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；
（2）特征
①左边是两个数的和的平方；
②右边是三项式，其中首末两项分别是两项的平方，为正；中间一项是两项积的2倍，符号与左边的运算符号相
同。
2．验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2
大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个小正方形与两个长、宽分别是a、b的长方形的面积之和。
【热点题型精练】
13．（2022•兰州中考）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2
14．（2022•大庆中考）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
15．（2022•滨州中考）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
16．（2022•乐山中考）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
17．（2022•荆门中考）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2；
（2）x4+ ．
18．（2022•河北中考）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也
可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
19．（2022•厦门模拟）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把
它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
20．（2022•邯郸模拟）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴
影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
21．（2022•湖州模拟）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽
边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼
成一个新的正方形．
22．（2022•衢州模拟）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师
傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
四、平方差公式及其几何背景
【高频考点精讲】
1．平方差公式
（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②右边是相同项的平方减去相反项的平方。
2．验证平方差公式的几何图形
【热点题型精练】
23．（2022•赤峰中考）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．﹣3 D．5
24．（2022•益阳中考）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
25．（2022•六盘水中考）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的
面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
26．（2022•南宁模拟）如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②
两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（ ）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
27．（2022•成都模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪
开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）
A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）
28．（2021•宜昌中考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二
年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金
不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
29．（2022•石家庄模拟）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影
部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式： ；
（2）运用（1）中的等式，计算20222﹣2021×2023＝ ．
五、整式混合运算
【高频考点精讲】
1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算。2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通
常要用括号括起来。
【热点题型精练】
30．（2022•临沂中考）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣a+1
31．（2022•江西中考）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
32．（2022•呼和浩特模拟）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线，定义： ，上
述记号叫做2阶行列式．若 ＝6，则x＝ ．
33．（2022•盐城中考）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
