文档内容
专题 11 平面直角坐标系
【专题目录】
技巧1：点的坐标变化规律探究问题
技巧2：巧用坐标求图形的面积
技巧3：活用有序数对表示点的位置
技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题
【题型】一、用有序数对表示位置
【题型】二、求点的坐标
【题型】三、距离与点坐标的关系
【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标
【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
【题型】六、点的坐标的规律探索
【题型】七、函数图象的应用
【考纲要求】
1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．
2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.
【考点总结】一、平面直角坐标系
平面 平面直角坐标系
直角 （1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
坐标 （2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
系
（1）各象限内点的坐标特征：
直 点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0；
角 点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0.
坐 （2）坐标轴上点的特征：
标 点 x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0).
的 （3）对称点的坐标特征：
系
坐 点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P(-x,y);
1 2
标 点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y).
3
特
（4）点的平移特征：将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y));
征
将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
（5）点到坐标轴的距离:点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
【考点总结】二、函数有关的概念及图象
（1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的
量为常量.
（2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一
函数 个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
的有 （3）表示方法:解析式法、列表法、图象法.
函 关概 （4）自变量的取值范围
数 念 ① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数;
的 ② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数;
认
③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
识
（5）函数值：对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函 （1）函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作
数 为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
的 （2）函数图象的画法：列表、描点、连线.
图
象
【注意】
1、坐标轴上的点不属于任何象限
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分
别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法
（1）整式：取全体实数
（2）有分母：取值使分母不为零
（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0
（4）有很多情况：取它们的公共部分
（5）在实际问题中：取值要符合实际意义
【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题
【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O，O，O，…，组成一条平滑的曲线．
1 2 3
点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 019秒时，点P的坐标是(
)
(第1题)
A．(2 018，0) B．(2 019，－1)
C．(2 019，1) D．(2 020，0)
2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接
着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P的
坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P的坐标是________．
3．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运
动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，
且每分钟移动1个单位长度．
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；
(2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．
【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究
4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x，y)，其中
x，y均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A．(16，22) B．(－15，－22) C．(15，－22) D．(16，－22)
【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究
5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P，P
1 1
关于B的对称点为P，P 关于C的对称点为P，按此规律继续以A，B，C为对称中心重复前面的操作，
2 2 3
依次得到P，P，P，…，则点P 的坐标是( )
4 5 6 2 018
A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)
[来源:Zxxk.Com]
6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA B ，第二次将三角形
1 1
OA B 变换成三角形OA B ，第三次将三角形OA B 变换成三角形OA B ，已知A(1，3)，A(2，3)，A(4，
1 1 2 2 2 2 3 3 1 2
3)，A(8，3)，B(2，0)，B (4，0)，B (8，0)，B (16，0)．
3 1 2 3
来源:学。科。网Z。X。X。K]
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA B 变换成三角形
3 3
OA B ，则点A 的坐标是________，点B 的坐标是________；
4 4 4 4
(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB进行n(n为正整数)次变换，得到三角形OA B ，比较每次变换
n n
前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A 的坐标是__________，点B 的坐标是__________．
n n
技巧2：巧用坐标求图形的面积
【类型】一、直接求图形的面积
1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC的面积．
[来源:学科网ZXXK]
【类型】二、利用补形法求图形的面积
2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD的面积．
3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，
C(－14，0)，求四边形OABC的面积．
【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标
5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B的坐标
为( )
A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)
6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．
7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．
(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；
(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．
技巧3：活用有序数对表示点的位置
【类型】一、利用有序数对表示座位号
1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样
用有序数对表示？
【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连
成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观
察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
【类型】三、利用有序数对表示地理位置
3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建
立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：
[来
(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？
(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？
【类型】四、利用有序数对表示运动路径
4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，
点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路
径．[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学科网]
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标
1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是( )
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 D．不能确定[来源:Z&xx&k.Com]
2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．
【类型】二、坐标轴上的点的坐标
3．若点M的坐标为(，|b|＋1)，则下列说法中正确的是( )[来源:学科网]
A．点M在x轴正半轴上 B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上 D．点M在y轴负半轴上
4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．
【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标
5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，
(1)点P在第二、四象限的角平分线上？
(2)点P在第一、三象限的角平分线上？
6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系
7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为( )
A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a
8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．
【类型】五、关于坐标轴对称的点
9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－4，3) B．(3，－4) C．(－3，－4) D．(3，4)
10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于
y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．
【类型】六、关于特殊直线对称的点
12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P，关于第二、四象限的角平分线对称的点为
1
点P，则点P，P 的坐标分别为( )
2 1 2
A．(3，5)，(5，3) B．(5，3)，(－5，－3) C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3)
13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点
(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．【题型讲解】
【题型】一、用有序数对表示位置
例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第
3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，
下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【题型】二、求点的坐标
例2、如图，四边形 是正方形，O，D两点的坐标分别是 ， ，点C在第一象限，则点C
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、距离与点坐标的关系
例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点 ，点 到 轴的距离为3，到 轴的距离为4，则点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标
例4、若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
例5、已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．5
【题型】六、点的坐标的规律探索
例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 出发，按“向上→向右→向下→向
右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 ，第二次移
动到点 ……第 次移动到点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】七、函数图象的应用
例7、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到
O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )．
平面直角坐标系（达标训练）一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点A(a，2)在第二象限内，则 的取值可以是（ ）
A．1 B．-3 C．4 D．4或-4
2．若点 在 轴上，则点 在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋 的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋 的位置用有序数
对(−3，0)表示，则白棋③的位置可用有序数对表❶示为（ ） ❷
A． B． C． D．
4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口
A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车
上学的整个过程，则下列结论正确的是（ ）A．修车花了25分钟 B．小明家距离学校1000米
C．修好车后骑行的速度是200米/分钟 D．修好车后花了15分钟到达学校
二、填空题
6．已知点 在第三象限．则m的取值范围是______．
7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M（－2，2）、N（1，－1）， 则A、B、C三个点中
为坐标系原点的是 ____．
三、解答题
8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，
该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的
容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验
探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间 0 2 4 6 8
4
电子秤读数y（克） 6 18 30 54
2
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的
数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
平面直角坐标系（提升测评）
一、单选题
1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条
线路最短（ ）
A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)
B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)
C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)
D．以上都不对3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要
少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d，
存活率为h．如图，在平面直角坐标系中画出点（d，h），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别
为A（d，h）、B（d，h）、C（d，h），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2 3 3
A．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种
B．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种
C．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种
D．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种
4．点A在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，
120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（ ）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
二、填空题6．如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是（－2，1），阎村的坐标是（0，2），那么燕山的坐
标是______________，窦店坐标是____________．
7．如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，要把顶点A平移到顶点
C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移______个单位，再向上平移______个单位．
三、解答题
8．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．
如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），
即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)请说明点D的实际意义．
(3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
