文档内容
专题 07 二元一次方程组
【专题目录】
技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法
技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用
技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用
【题型】一、二元一次方程组的有关概念
【题型】二、用代入法解二元一次方程组
【题型】三、用加减法解二元一次方程组
【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组
【题型】五、同解方程组
【题型】六、列二元一次方程组
【考纲要求】
1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，
能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；
2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：(a，a，b，b 均不为零)．
1 2 1 2
定义
(3)二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
a. 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出
来;
b. 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到
方程组的解.
解法
加减法解二元一次方程组的一般步骤:
二
a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘
元
方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;
一
次 b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
方 c. 解这个一元一次方程;
程 d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组
组 的解.
解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作
答.
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
常见 行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s 甲 +s 乙 =s 总 ;
运用 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离
题型 =追者走的路程
利润
进价
利润问题：利润=卖价-进价；利润率= ×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数
字
【注意】
1. 解二元一次方程组的步骤
（1）代入消元法
① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式
② 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程
③ 解：解消元后的一元一次方程④ 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值
⑤ 答:写出答案
（2）加减消元法
① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,
② 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值
2. 解二元一次方程组的方法选择
（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
【技巧归纳】
技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法
【类型】一、引入参数法解二元一次方程组
1．用代入法解方程组：
【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组
题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
2．解方程组：
题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3．解方程组：
【类型】三、利用换元法解二元一次方程组
4．解方程组
【类型】四、同解交换法解二元一次方程组
5．已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求(a－b)2 018的值．
【类型】五、运用主元法解二元一次方程组
6．已知(x，y，z均不为0)，求的值．
技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用
【类型】一、整体思想
1．先阅读，然后解方程组．解方程组时，
由①，得x－y＝1，③
然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，
从而进一步求得x＝0.所以方程组的解为这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方
程组：
2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z的值．
【类型】二、化繁为简思想
3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．
解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③
③×16，得16x＋16y＝16，④
②－④，得x＝－1，将x＝－1代入③，得y＝2.
所以原方程组的解是
请用上述方法解方程组
【类型】三、方程思想
4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．
5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2 018的值．
【类型】四、换元思想
6．解方程组
【类型】五、数形结合思想
7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需
多少元？
【类型】六、分类组合思想
8．若方程组与有公共解，求a，b的值．
技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用
【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值
1．若关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值为( )
A．1 B．3 C．5 D．22．已知和是关于x，y的二元一次方程2ax－by＝2的两组解，求a，b的值．
【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值
3．已知关于x，y的方程组的解也是方程3x＋2y＝17的解，求m的值．
【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值
4．已知m，n互为相反数，关于x，y的方程组的解也互为相反数，求m，n的值．
【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值
5．关于x，y的方程组与有相同的解，求(2a＋b)2 018的值．
【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值
6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为乙看错了方程组中的b，得解为
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
【题型讲解】
【题型】一、二元一次方程组的有关概念
例1、若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
【题型】二、用代入法解二元一次方程组
例2、二元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【题型】三、用加减法解二元一次方程组
例3、由方程组 可得出x与y之间的关系是( )．
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组
例4、若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
【题型】五、同解方程组
例5、已知关于x，y的方程组 ，与 ，有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型】六、列二元一次方程组
例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今
三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3
人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组
为（ ）
A． B． C． D．
二元一次方程组（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿
化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，
每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津河北·一模）方程组 的解是( )
A． B． C． D．3．（2022·天津红桥·三模）方程组 的解是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东威海·一模）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿
子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．
7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组 ，则 的值为______．
三、解答题
8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程 ．
二元一次方程组（提升测评）一、单选题
1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式 和 能合并，则
a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
{mx−ny=8
2．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知 是二元一次方程组 的解，则 的立方根
nx+my=1
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组 的解是 ．现给出另一个二元一次方程组
，它的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人
共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆
车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于 ， 的方程组 的解是整数，那么整数
的值为（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，C． ， ， ， D． ， ， ，
二、填空题
6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知
所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺
织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x人，库绢有y
匹，则可列方程组为______．
三、解答题
7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6
个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．
(1)求排球和篮球的单价．
(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的 ，如何购买总
费用最少．
(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购
进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？
