文档内容
专题 06 一元一次方程
【专题目录】
技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值
技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧
【题型】一、一元一次方程概念
【题型】二、一元一次方程的解法
【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题
【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题
【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题
【考纲要求】
1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．
2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．
3、会列方程(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一
概念
次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
整 解法依据是等式的基本性质.
式 性质①：若a=b，则a±m=b±m；
一元一次方程
方 a b
解法 =
d d
程 性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则 (d≠0).
解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
【注意】
一元一次方程的特征
1. 只含有一个未知数x
2. 未知数x的次数都是1
3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。
2．解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；(4)合并同类项；
(5)未知数的系数化为1.
【技巧归纳】
技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值
【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值
1．已知方程(m－2)x|m|－1＋16＝0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．
2．已知方程(3a＋2b)x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，求方程的解．
3．已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，求式子199(m＋x)(x－2m)＋9m＋17的值．
【类型】一、利用方程的解求字母系数的值
题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值
4．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．ab＝0 D.＝0
5．关于x的方程(2a＋b)x－1＝0无解，则ab是( )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
6．已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的整数k＝__________．
7．已知x＝是方程6(2x＋m)＝3m＋2的解，求关于y的方程my＋2＝m(1－2y)的解．
8．当m取什么整数时，关于x的方程mx－＝的解是正整数？
题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值
9．如果方程－8＝－的解与关于x的方程2ax－(3a＋5)＝5x＋12a＋20的解相同，确定字母a的值．
题型3：利用方程的错解确定字母系数的值
10．小马虎解方程＝－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x＝2，
试求a的值，并正确解方程．
参考答案
1．解：由题意，得所以m＝－2.
将m＝－2代入原方程，得－4x＋16＝0，解得x＝4.
2.解：由题意，得
所以3a＝－2b，即a＝－b.
当3a＋2b＝0时，原方程可化为ax＋b＝0，则x＝－.
将a＝－b代入方程的解中，得x＝－＝.
3．解：由题意，得所以m＝1.
当m＝1时，原方程可化为－2x＋8＝0，解得x＝4.
当m＝1，x＝4时，199(m＋x)(x－2m)＋9m＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016.4．A 5.B 6.8，－8，10或26
7．解：将x＝代入方程6(2x＋m)＝3m＋2，
得6＝3m＋2，解得m＝－.
将m＝－代入方程my＋2＝m(1－2y)，
得－y＋2＝－(1－2y)，解得y＝.
点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的
值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于
其他字母的计算．
8．解：原方程可化为mx－＝x－，
所以(m－1)x＝1，所以(m－1)x＝2.
因为x必须为正整数且m为整数，故m－1＝1或2.
当m－1＝1，即m＝2时，x＝2；
当m－1＝2，即m＝3时，x＝1.
所以当m＝2或3时，方程的解为正整数．
9．解：－8＝－，
去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)．
去括号、移项、合并同类项，得5x＝50.系数化为1，得x＝10.
把x＝10代入方程2ax－(3a＋5)＝5x＋12a＋20，
得2a×10－(3a＋5)＝5×10＋12a＋20，
去括号、移项，得20a－3a－12a＝5＋50＋20.
合并同类项，得5a＝75，系数化为1，得a＝15.
10．解：由题意得4x－2＝3x＋3a－1，
移项、合并同类项，得x＝3a＋1.
因为x＝2，所以2＝3a＋1，则a＝.
当a＝时，原方程为＝－1，解得x＝－3.
技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧
【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程
题型1：巧化分母为1
1．解方程：－＝.
2．解方程：－＝－10.题型2：巧化同分母
3．解方程：－＝1.
题型3：巧约分去分母
4．解方程：－6.5＝－7.5.
【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程
题型1：巧用拆分法
5．解方程：－＝.
6．解方程：＋＋＋＝1.
题型2：巧用对消法
7．解方程：＋＝3－.
题型3：巧通分
8．解方程：－＝－.
【类型】三、含括号的一元一次方程
题型1：利用倒数关系去括号
9．解方程：－x＝2.
题型2：整体合并去括号
10．解方程：x－＝(x－9)．
题型3：整体合并去分母
11．解方程：(x－5)＝3－(x－5)．
题型4：不去括号反而添括号
12．解方程：＝(x－1)．
题型5：由外向内去括号
13．解方程：＋2＝0.
题型6：由内向外去括号
14．解方程：2＝x.
参考答案
1．解：去分母，得2(4x－1.6)－5(3x－5.4)＝10(1.8－x)．
去括号、移项、合并同类项，得3x＝－5.8.
系数化为1，得x＝－.
点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 .
2．解：去分母、去括号，得8x＋4－2x＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x＝－18.
系数化为1，得x＝－3.
点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1.
3．解：化为同分母，得－＝.
去分母，得0.1x－0.16＋0.5x＝0.06.
解得x＝.
4．解：原方程可化为＋1＝.
去分母，得4－6x＋0.01＝0.01－x.
解得x＝.
点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．
5．解：拆项，得－－＋＝2－.
移项、合并同类项，得＝2.
系数化为1，得x＝4.
点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化．
6．解：拆项，得＋＋＋＝1.
整理得x－＝1.解得x＝.
点拨：因为＝x－，＝－，＝－，＝－，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .
7．解：原方程可化为＋＝＋，
即＝.所以x＝.
点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－＝，两边消去这一项可避免去分母运算．
8．解：方程两边分别通分后相加，得＝.
化简，得＝.
解得x＝－.
点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程
左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
9．解：去括号，得－1－3－x＝2.
移项、合并同类项，得－x＝6.
系数化为1，得x＝－8.
点拨：观察方程特点，由于与互为倒数，因此让乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小
括号，非常简便．
10．解：原方程可化为x－x＋(x－9)－(x－9)＝0.合并同类项，得x＝0.
系数化为1，得x＝0.
11．解：移项，得(x－5)＋(x－5)＝3.
合并同类项，得x－5＝3.
解得x＝8.
点拨：本题将x－5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来
简便．
12．解：原方程可化为[(x－1)＋1－(x－1)]＝(x－1)．
去中括号，得(x－1)＋－(x－1)＝(x－1)．
移项、合并同类项，得－(x－1)＝－.
解得x＝.
13．解：去中括号，得－2＋2＝0.[来源:学科网]
去小括号，得x－＝0.
移项，得x＝.
系数化为1，得x＝3.
14．解：去小括号，得2[x－x＋]＝x.
去中括号，得x＋1＝x.
移项，合并同类项，得x＝－1.
系数化为1，得x＝－.
【题型讲解】
【题型】一、一元一次方程概念
例1、关于 的一元一次方程 的解为 ，则 的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【详解】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．
例3、解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：
【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题
例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生
产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（ ）
A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）
C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）
【答案】D
【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉
需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．
【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题
例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元
一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）
A．180 B．170 C．160 D．150
【答案】A
【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方
程，解出即可．
【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，
由题意得：80%x﹣120=20%×120，
解得：x=180．
即该超市该品牌粽子的标价为180元．
故选：A．
【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题
例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，
那么他做对的题数是（ ）
A．17道 B．18道 C．19道 D．20道
【答案】C
【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.
【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19
故选C.
一元一次方程（达标训练）
一、单选题
1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【详解】解：①不含未知数，故错②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
2．（2022·浙江温州·三模）解方程 ，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘 即可．
【详解】A， 故此选项不符合题意．
B， 故此选项不符合题意．
C， 故此选项不符合题意．
D， 故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，
熟练掌握等式的性质是解此题的关键．
3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x的方程 的解是 ，则a的值为（ ）
A． B．9 C． D．1
【答案】D
【分析】把 代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得 ．
故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2022·河北石家庄·二模） 是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把x＝1代入各选项进行验算即可得解．
【详解】解：A、5−1＝4≠6，故本选项错误；
B、 ， ，4≠6，故本选项错误；
C、当x=1时，x-1=0即分式的分母为0，故本选项错误；
D、 ，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．
5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的 洛书 中记载了最早的三阶幻方 九宫图．在
如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．
【详解】解：设幻方正中间的数字为 ，
依题意得： ，
解得： ．
故选A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川达州·二模）方程2x-3=5的解为________.
【答案】x=4
【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得．
【详解】解：2x-3=5，移项得2x=8，
系数化为1得：x=4，
故答案为：x=4．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．
7．（2022·四川广元·二模）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且 ．若
点C点在数轴上且满足 ，则C点对应的数为________．
【答案】8或20##20或8
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论，
即可求解．
【详解】解：∵
∴a＋4＝0，b−12＝0
解得：a＝−4，b＝12
∴A表示的数是−4，B表示的数是12
设数轴上点C表示的数为c
∵AC＝3BC
∴|c＋4|＝3|c−12|
当点C在线段AB上时
则c＋4＝3（12−c）
解得：c＝8
当点C在AB的延长线上时
则c＋4＝3（c−12）
解得：c＝20
综上可知：C对应的数为8或20．
【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数
形结合思想是解本题的关键．
三、解答题
8．（2022·四川广元·一模）解方程： ．【答案】
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案.
【详解】解：去括号，得 .
移项及合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.
9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物
资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包
括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元，B型口罩单价80元．
(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发
放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的
数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（ ）盒．求该街
道社区人口总数．
【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒
(2)该街道社区人口总数为50000人
【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可
求解；
（2）根据题意可得 ，从而得到m=12，即可求解．
(1)
解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，
依题意得： ，解得： ．
答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．
(2)
解：依题意得： ，
解得：m=12，∴m+3m−28=20．
∴该街道社区人口总数= ×500=50000（人）．
答：该街道社区人口总数为50000人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是
解题的关键．
一元一次方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三
问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3
钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得
以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2022·浙江温州·二模）若代数式 的值为8，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
【答案】C
【分析】由 的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得．【详解】解：∵ 的值为8，
∴2x+2+3x+6=8，
∴x=0，
当x=0时， 2×(-2)+3×(-1)=-7．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知 ，下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．
【详解】由 ，得 ，故A成立；
，故B成立；
根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，
，故C成立；
，故D不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．
4．（2022·河北保定·一模）已知分式： 的某一项被污染，但化简的结果等于 ，
被污染的项应为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设被污染的部分为p，然后根据等式的性质解关于p的方程，求出p的表达式即可．
【详解】解：设被污染的部分为p，
则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性
质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则．
5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程 存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足 ，则a、b互为相反数．
③若 ，则 ．
④若 ，则 ．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】将 提公因式2得 ，由x、y为整数，则 为偶数，因为107为奇数，即原等
式不成立，即可判断①；将 ，整理得 ，即得出 ，由于实数a、b不
相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②； 整理得 ，即得
，即 ，故可判断③；由 ，得出 ，即可变形
为 ，可以得出 或 ，故可判断④．【详解】解：∵ ，
∴如果x、y为整数，那么 为偶数，
∵107为奇数，
∴ 不存在整数解，故①错误；
∴ ，
∵实数a、b不相等，
∴a、b互为相反数，故②正确；
∴ ，即 ，故③正确；
∵
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 或 ，故④不一定正确．
综上可知正确的有②③．
故选B．
【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题
6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长
方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是
______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．
【答案】 4.5 81
【分析】设小正方形的边长为xcm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小
正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．
【详解】解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：
6+7.5-x=x+3+1.5，
解得：x=4.5，
则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,
大正方形的面积为92=81(cm2),
故答案为：4.5；81．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正
方形的边长．
7．（2022·上海静安·二模）方程 的解是________．
【答案】x=1
【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得
【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
所以，原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题
8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知b是最小
的正整数，且a、c满足 ．
(1)①直接写出数a、c的值 ， ；
②求代数式 的值；
(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；
(3)请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是 ．
【答案】(1)①-2，6；②64
(2)3
(3)4或0
【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c，②把a和c的值代入 求值即可；
（2）根据题意，求出b的值，然后求出线段AC的中点，即可求出结论；
（3）设点 表示的数为 ，然后根据点D的位置分类讨论，分别根据 列出方程即可分别求出结
论．
（1）
解：
①∵ ，
∴ ， ，
解得 ， ．
故答案为：-2，6．
②把 ， 代入 ，
；
（2）
解：∵b是最小的正整数，
∴ ，∴线段AC的中点为 ，
设与点B重合的点表示的数为n，则(1+n)÷2=2，
解得：n=3．
∴与点B重合的点表示的数是3．
故答案为：3．
（3）
解：因为a=-2，b=1，c=6，设点 表示的数为 ，若 ，分三种情况讨论：
①若点 在点A的左侧，则x<-2且 ，
解得 (不符合题意，舍去)；
②若点D在点A、B之间，则-21且x-(-2)=2(x-1)，
解得：x=4．
综上所述，点 表示的数是0或4．
故答案为：0或4．
【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关
键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．
