文档内容
专题 06 五大常考相似模型
一、【知识回顾】
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型模型五：手拉手模型（旋转模型）
二、【考点类型】
考点1：A字模型
典例1：（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图， ，点H在BC上，
AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
【变式1】（2022·广东深圳·深圳市华胜实验学校校考一模）如图，在⊙O中， ，CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，AO的延长线交CD于点E．
(1)求证：AE⊥BC；
(2)求证：DF＝EF；
(3)若 ，求 的值．
【变式2】（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 平分 交
于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，以点 为圆心，以 长为半径作⊙ ，交 于点 ．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)已知 ， ，求⊙ 的半径．
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，D是 上一
点，点E在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝__________．考点2：8字模型
典例2：（2021秋·重庆·九年级校联考期末）如图 与 交于 ，且 ．
（1）求证： ∽ ．
（2）若 ， ， ，求 的长．
【变式1】39．（2021春·全国·九年级专题练习）已知：如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． △
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
【变式2】（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图所示，在 中，两条弦 相交于点E，
连接 ，则下列说法中错误的是（ ）A． B． C． D．
考点3：子母模型（射影定理）
典例3：（2022·辽宁营口·一模）如图， ， 是 的直径， 为 的切线， 为切点，连接 ，
过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 半径为 ， ，求 的长．
【变式1】（2022·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图， 是 的内接三角形，过点 作的切线交 的延长线于点 ， 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【变式2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝
．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．考点4：一线三等角模型（重点）
典例4：（2020秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）将一副三角尺如图①摆放，在 中，
；在 中， ，点 为 的中点， 交 于点 ，
经过点 ．
（1）求 的度数；
（2）如图②，将 绕点 顺时针方向旋转角 （ ），此时的等腰直角三角尺记为
， 交 于点 ， 交 于点 ，试判断 的值是否随着 的变化而变化？如果不变，
请求出 的值；反之，请说明理由．
【变式1】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC
上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与
A、C重合），连接 ，过点P作 ，交 于点E，已知 ， ．设 的长为x．
(1) ___________；当 时，求 的值；
(2)试探究： 是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当 是等腰三角形时，请求出 的值．
【变式3】（2020春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，点 是正 两边上的点，将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在边 上，当 时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
考点5：手拉手模型（重点）
典例5：（2023春·湖北襄阳·九年级统考阶段练习）（1）问题探究：如图1， ， 均为等边三
角形，连接 、 ，求证： ．
（2）类比延伸：如图2，在 和 中， ， ，连接
、 ，求证： ．
（3）拓展迁移：如图3，在四边形 中， ，且 ， ，若将线段 绕点D按
逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，求线段 的长．
【变式1】（2021秋·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ，上的点．将 沿 翻折，点 正好落在线段 上的点 处，使得 ．若 ，则
的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2020·江苏常州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝
30°，顶点A在反比例函y＝ （x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝ 上运动，则m的值为
( )
A．-9 B．-12 C．-15 D．-18巩固训练
一、单选题
1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之
比为（ ）
A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结
论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2013·海南·中考真题）直线l∥l∥l，且l 与l 的距离为1，l 与l 的距离为3，把一块含有45°角的直角
1 2 3 1 2 2 3
三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l 交于点D，则线段BD的长度为
2A． B． C． D．
4.（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在 中， ，点D为线段 上一动点（不与点B，C
重合），连接 ，作 ， 交线段 于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学： ；
乙同学：若 ，则 ；
丙同学：当 时，D为 的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
5.（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知点A，B，C，D，E均在方格纸的格点上，则
与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，直线 ， 与之间距离是1， 与 之间距离是2，且 ， ， 分别经过点A，B，C，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东深圳·深圳市大鹏新区华侨中学校考二模）如图，已知D、E分别是 中 、 边上
的点， 且 ， 的周长2，则 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
8．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在 中， 为 上一点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．9．（2023·贵州遵义·校考一模）如图，在 中， 是 边上的点， ， ，
则 与 的面积比是（ ）
A． B．1：2 C．1：3 D．1：4
10．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ， ， ， 上，若
直线 且间距相等， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11.（2020秋·广西桂林·九年级校考阶段练习）如图， 正方形ABCD中，△ 绕点A逆时针转到 ，
， 分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则 的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
12．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点
F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )A．8 B．10 C．12 D．14
13．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）如图，正方形 的对角线 、 相交于点 ， 是 的
中点， 交 于点 ，若 ，则 等于
A．3 B．4 C．6 D．8
14．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中
DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧 上．则半径OA
的长为（ ）
A． B．2 C． D．
15．（2020·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A
的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（
）A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 中，点 在 上， ，若
， ，则线段 的长为___________．
17．（2022春·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝
，那么BC＝_______．
18.（2020·海南海口·统考二模）如图，在 中， ， ， ，点 在 边上，
与边 、 分别切于点 、 ，则 的值为__________．
19．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将
△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____．20．（2020秋·福建泉州·九年级福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图， 是直角三角形，
， ，点A在反比例函数 的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k
的值为______
21．（2019·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC
的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，
若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____．
22．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）如图，已知 和 是等边三角形，连接 ，连接 并延
长交 于点 ，交 于点 ， ， ，那么 的长为______．23．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角
线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
24．（2021春·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，
连结AG，CE交于点H，若 ， ，则CH的长为________.25．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，在 中， ，点D在边 上，
，则 的长为_____．
三、解答题
26．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在 中， 、 分别是 、 边上的高．求证：
．
27.（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交
⊙O于点E、D，连接EC、CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）求证： ；
（3）若 ，⊙O的半径为3，求OA的长．
28．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点， ， ， ，
，求CD的长．
29．（2018·湖北武汉·统考一模）如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连
CE交AD于F点，若AC＝BC．
（1）求证： ；
（2）若 ，求tan∠CED的值．30．（2021秋·广东佛山·九年级佛山市第十四中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把
沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证： ；
（2）若AB＝2 ，AD＝4，求EC的长．
31．（2020·河南商丘·校考模拟预测）如图， 的一边 经过 的圆心，另一边与 交于点 ，
作 的平分线与 交于点 ，过点 作 的切线，交 的延长线于点 ．
（1）求证：
（2）若 ．①若 ，则 的长为______；
② 的最大值为______．
32．（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图1，在 中， ，D为 边上一
点（不与点B、C重合）将线段 绕点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则线段 与 的数量关
系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在 和 中， 将 绕点A旋转，当点
C，D，E在同一直线时， 与 具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ，将 绕顺时针旋转，点C对
应点E，设旋转角 为 （ ），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段
的长度．33．（2023·全国·九年级专题练习）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰
作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边
长．34．（2023·全国·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放
（点E、A、D在同一条直线上），发现 且 ．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 吗？若能，请给出证明，请
说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形 和菱形 ，将菱形 绕点A按顺时针方向旋转（如图
2），试问当 与 的大小满足怎样的关系时， ；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且 ， ， （如
图3），连接 ， ．试求 的值（用a，b表示）．35．（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图， 是半圆 的直径， 为半圆 上的点（不与 ，
重合），连接 ，点 为 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ， 交
于点 ．
(1)求证： 是半圆 的切线；
(2)若 ， ，求半圆 的半径及 的长．
