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树德中学高 2023级高一下学期期末考试数学试题
命题人：刘大华 审题人：邓连康、常勇、韦莉
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
A. B. C. D.
要求的.
1. 如图，四边形 在斜二测画法下得到平行四边形 ， ， ，则该四边形
8. 已知函数 ，若 在 上成
的周长为（ ）
立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
C1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
y'
A1 B1 S 全部选对的得6分， A 部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 的 内 角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
，则（ ）
C' B' C
C
O' A' x' B D A. B.
A B A B C
第1题图 第3题图 第5题图 第7题图 C. 为锐角三角形 D. 的最大值为
10. 如图，在矩形 中， ， 为 的中点，现将 沿 翻折至 ，
2. 在矩形 中， ， ，以该矩形的边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形 平面 ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
E'
成的面所围成的空间几何体的表面积为（ ） A. 存在某个位置，使得
A. B. C. D.
3. 如图所示，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 B. 三棱锥 体积的最大值为 D C
（ ） C. 当 ，直线 与底面 所成角的正弦值
A. B. C. D. 为 A E B
4. 已知两条不同的直线 ，三个不同的平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 D. 若二面角 的平面角为 ，则
11. 已知直线 ，A是 之间的一定点并且点A到 的距离分别为1，2，B是直线 上一动点，
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则
作 ，且使AC与直线 交于点C， ，则（ ）
D. 若 ， ，则
A. 面积的最小值为
5. 如图所示，在三棱锥 中， 平面 ，且 是边长为 的正三角形，若 ，
则点 到平面 的距离为（ ） B. 点 到直线 的距离为定值
A. B. C. D. C. 当 时， 的外接圆半径为
D. 的最大值为
6. 已知函数 和 ，则这两个函数图象在 的交点个数为（ ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
A. B. C. D.
12. 已知向量 ，向量 ，若 与 共线，则实数 的值为_______.
7. 如图所示，已知在三棱锥 中，二面角 为直二面角， ， ，
，若三棱锥 的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 13. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， , 为边 上
一点，记 、 的面积分别为 、 ，若 ，则 ________.
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学科网（北京）股份有限公司14. 已 知 在 四 面 体 中 ， ， ， ， ，
，平面 满足 ，记平面 截得该四面体 的多边形的面积为 ，则 的最大
值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知复数 ，其中 为虚数单位， .
（1）若在复平面内复数 位于第二象限，求实数 的取值范围； 18. (17分)为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通
便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该
（2）当 时， 是方程 的一个根，求 和 的值.
市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示， 区域规划为游客餐饮服务
区， 区域规划为微型游乐场， 区域规划为网红打卡区. 已知 ， m，
m， ，
C
（1）若 m，求 的长；
（2）若 ，求 的值；
（3）求微型游乐场 面积的最小值.
16. (15分)已知振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移 随
时间 的变化规律可以用函数 来刻画，已知位移 部分图
象如图所示. A B
D E
（1）求该振子在单位时间内往复运动的次数和 的解析式；
（2）将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 y
倍， 19. (17分)如图，在长方形 中， ， ， ，将 沿
2 折起至 ，使平面 平面 .
纵坐标不变，得到 ，求 在 的值域.
（1）证明： 平面 ；
O 1 5 t （2）若二面角 的平面角的余弦值为 ，求 的长；
12 24
（3）设直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，证明：
.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
17. (15分)如图，在五面体 中， ， ，平面 平面 ,
S'
， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2） E F 若点 、 分别为 、 的中点，证明：平面
S C
平面 ；
S
C
（3）求 该五面体的体积.
D
（注： D 本题用空间向量法求解或证明不给分，若
需要作 C 辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助
线. O ）
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A
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A
B （i） （ii）
