文档内容
专题 08 平行四边形与多边形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）多边形及其相关计算
（1）多边形的相关概念：
①定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
②对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个
三角形；n边形对角线条数为 ．
（2）多边形的内角和、外角和：
①内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
②外角和：任意多边形的外角和为360°.
（3）正多边形：
①定义：各边相等，各角也相等的多边形，
②正多边形每个内角为 ，每个外角为
③正n边形有n条对称轴，
④对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称
图形.
（二）平行四边形的性质平行四边形的性质： 几何表达式举例：
(1) ∵ABCD是平行四边形
{k 0 ∴AB∥CD AD∥BC
> ¿ ¿ ¿ ¿
(2) ∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD AD=BC
(3) ∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
因为ABCD是平行四边形 ∠DAB=∠BCD
(4) ∵ABCD是平行四边形
D C ∴OA=OC OB=OD
(5) ∵ABCD是平行四边形
O
∴∠CDA+∠BAD=180°
A B
（三）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例：
(1) ∵AB∥CD AD∥BC
{k 0 D C ∴四边形ABCD是平行四边形
< ¿ ¿ ¿ ¿
O (2) ∵AB=CD AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵∠A=∠B ∠C=∠D
A B
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
（四）三角形中位线的性质
A
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. D E
B C
如图：DE= BC
模块三 考点一遍过
考点1：平行四边形的判定
典例1：如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．
(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；
(2)若四边形AFDE是矩形，AE=3，AF=4，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)10【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、矩形性
质理解
【分析】（1）由三角形中位线定理得到DE∥AB，DF∥AC，再由两组对边分别平行的四边形是
平行四边形即可证明四边形AFDE是平行四边形；
（2）先由矩形的性质得到∠A=90°，再由勾股定理得到EF=5，最后根据三角形中位线定理即可
得到BC=2EF=10．
【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边中点，
∴DE、DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接EF，
∵若四边形AFDE是矩形，
∴∠A=90°，
∵AE=3，AF=4，
∴EF=√AE2+AF2=5，
∵E、F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟知三
角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
【变式1】如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
(1)求证：四边形AEDF是中心对称图形；
(2)若AD平分∠BAC，求证：点E，F关于直线AD对称．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【知识点】根据等角对等边证明边相等、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、中心对称
图形的识别
【分析】（1）证明四边形AEDF是平行四边形，即可得证；
（2）由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD．进而利用平行线的性质得∠CAD=∠ADE=∠BAD
从而得AE=DE．四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质即可得证．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是中心对称图形．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE．
又∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AD垂直平分EF，
∴点E，F关于直线AD对称．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、角平分线的定义，平行线
的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，连接AE，
CF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边
形【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点．
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；
（2）根据题意求得AF,CE平行且相等即可证得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
在△ABE和△CDF中，
¿
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC，
又BE=DF，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式3】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG=AC，AE⊥CG交
CG于E， EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】三线合一、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理．
（1）根据等腰三角形三线合一得到¿=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条
件EF∥BC可证出结论．
1 1 1
（2）先证明BF=DE= BG，再证明AG=AC，可得到BF= (AB−AG)= (AB−AC)．
2 2 2
【详解】（1）证明：∵AG=AC，AE⊥CE，
∴≥=EC．
又∵D是边BC的中点，∴BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB，
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE，
∵D、E分别是BC、GC的中点，
1
∴BF=DE= BG，
2
∵AG=AC，
1 1 1
∴BF= (AB−AG)= (AB−AC)= (10−4)=3．
2 2 2
考点2：平行四边形的性质
典例2：如图，在▱ABCD的边AB、CD上截取线段AF、CE，使AF=CE，连结EF，M、N是线
段EF上的两点，且EM=FN，连结AN、CM．求证：AN∥CM．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用平行线的性质，根据
SAS证明△AFN≌△CEM，由此得∠ANF=∠CME，进而可证AN∥CM．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM(SAS)，
∴∠ANF=∠CME，
∴AN∥CM．
【变式1】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F．CD DF
(1)求证： =
BC DE
(2)当CD=2，AD=3，CF=1时，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)AE=
2
【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定：
（1）先由平行四边形的性质得到∠A=∠C，AD=BC，再由垂直的定义得到
CD DF CD DF
∠AED=∠CFD=90°，据此可证明△AED∽△CFD得到 = ，即 = ；
AD DE BC DE
AE AD
（2）根据相似三角形的性质可得 = ，据此代值计算即可．
CF CD
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∴△AED∽△CFD，
CD DF
∴ = ，
AD DE
∵AD=BC，
CD DF
∴ = ；
BC DE
（2）解：∵△AED∽△CFD，
AE AD AE 3
∴ = ，即 = ，
CF CD 1 2
3
∴AE= ．
2
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为A(4,0),B的坐标为
B(6,2)．(1)请直接写出平行四边形OABC的中心P的坐标=___
(2)求出直线PA的解析式．
【答案】(1)(3,1)
(2)y=−x+4
【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查平行四边形的性质、求一次函数解析式：
（1）利用平行四边形的性质先求出点C的坐标，点P为点C和点A的中点，由此可解．
（2）利用待定系数法求解．
【详解】（1）解：∵A(4,0)，
∴OA=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥OA,BC=OA=4，
∵B(6,2)，
∴C(2,2)，
∵PC=PA，
∴P(3,1)，
故答案为：(3,1)；
（2）解：设直线PA的解析式为y=kx+b，
则有¿，
∴¿，
∴直线PA的解析式为y=−x+4．
【变式3】如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于E点，且DE=5，EC=8．
(1)求▱ABCD的周长；
(2)连结AC，若AC=12，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)36(2)60
【知识点】角平分线的性质定理、利用勾股定理的逆定理求解、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边
形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可；
（2）先证明△ADC为直角三角形 ，再求四边形的面积即可．
【详解】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠BAE=∠AED，
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE=∠BAE，
∴ ∠DAE=∠AED，
∴ AD=ED=5，
∵ EC=8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×(5+5+8)=36．
（2）解：∵ AD=5，DC=5+8=13，AC=12，
AD2+AC2=DC2，
∴ △ADC为直角三角形，即AC⊥AD，
∴平行四边形ABCD的面积=AD×AC=60．
考点3：平行四边形的判定与性质
典例3：如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB和CE交于点F，DF=FB，AF∥DC．
(1)求证：△BEF∽△BAD；
(2)求证：四边形ADCF为平行四边形；
(3)若DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2√13
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、
利用两角对应相等判定相似1
【分析】（1）证明EF是△ABD的中位线，得EF∥AD，EF= AD，继而推出∠BEF=∠BAD，
2
∠BFE=∠BDA，根据相似三角形的判定即可得证；
（2）由（1）知：EF∥AD，根据平行四边形的判定即可得证；
1
（3）根据三角形中位线的性质推出∠BFE=∠ADB=90°，EF= AD=2，继而得到
2
∠BFC=90°，BF=3EF=6，由平行四边形的性质得CF=AD=4，最后利用勾股定理可得出结
论．
【详解】（1）证明：∵DF=FB，
∴点F是DB的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
1
∴EF∥AD，EF= AD，
2
∴∠BEF=∠BAD，∠BFE=∠BDA，
∴△BEF∽△BAD；
（2）由（1）知：EF∥AD，即CF∥AD，
又∵AF∥DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（3）解：∵DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，
∴∠ADB=90°，
1
由（1）知：EF∥AD，EF= AD，
2
1 1
∴∠BFE=∠ADB=90°，EF= AD= ×4=2，
2 2
∴∠BFC=180°−∠BFE=90°，BF=3EF=3×2=6，
∵四边形ADCF为平行四边形，
∴CF=AD=4，
在Rt△BCF中，BC=√CF2+BF2=√42+62=2√13，
∴BC的长为2√13．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等
知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等
于第三边的一半．
【变式1】如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD、CF．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
3
(2)若GB=2，BC=6，BF= ，求AB的长．
4
【答案】(1)见解析
15
(2)AB=
4
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用
平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据平行线的性质可得：∠EAF=∠ECD，∠EFA=∠EDC，由E是AC的中点，
可得AE=CE，证明△AEF≌△CED，得到AF=CD，即可证明；
（2）证明△GBF∽△GCD，根据相似三角形的性质求出CD=3，得到AF=CD=3，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ CD∥AB，
∴ ∠EAF=∠ECD，∠EFA=∠EDC，
∵ E是AC的中点，
∴ AE=CE，
∴ △AEF≌△CED(AAS)，
∴ AF=CD，
又∵ CD∥AB，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵ GB=2，BC=6，
∴ CG=GB+BC=2+6=8，
∵ CD∥AB，
∴ △GBF∽△GCD，
3
BF GB
∴ = ，即 4 2，
CD CG =
CD 8
∴ CD=3，
∴ AF=CD=3，
3 15
∴ AB=AF+BF=3+ = ．
4 4【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，点G、
H在BD上，且AE=CF，BG=DH．
(1)若AC=AD，∠CAD=50°，求∠ABC的度数．
(2)试判断EH与 FG的位置关系与数量关系，并说明理由．
【答案】(1)65°
(2)EH∥FG，EH=FG．理由见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形
性质和判定证明
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
1
（1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到∠ADC=∠ACD= (180°−∠CAD)=65°，
2
然后根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据题意证明OE=OF，OG=OH，得出四边形EHFG是平行四边形，即可解决问题．
【详解】（1）∵AC=AD，∠CAD=50°，
1
∴∠ADC=∠ACD= (180°−∠CAD)=65°，
2
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=65°；
（2）EH∥FG，EH=FG．
理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，BG=DH，
∴OE=OF，OG=OH．
∴四边形 EHFG是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，以AB为边作△ABE，使得BE=BC，AE=AC，过点C作CE⊥CD交AB于点F．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若△AEB的面积是10，CD=5，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、利用
平行四边形性质和判定证明
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的判定与性质，平行线的判定等知识点．
注意掌握数形结合思想的应用．
（1）证明AB垂直平分CE，得出AB⊥CE，结合CE⊥CD，证出AB∥CD，结合AD∥BC即
可证明．
（2）由（1）可知，AB垂直平分CE，四边形ABCD是平行四边形，得出EF=CF，AB=CD=5．
结合S =10，即可求出EF=4，即可解答．
△AEB
【详解】（1）证明： AC=AE，BC=BE，
AB垂直平分CE， ∵
∴AB⊥CE．
∴CD⊥CE，
∵AB∥CD．
∴又 AD∥BC，
四∵边形ABCD是平行四边形．
∴（2）解：由（1）可知，AB垂直平分CE，四边形ABCD是平行四边形，
EF=CF，AB=CD=5．
∴ 1
S = AB⋅EF=10，
△AEB 2
∵
1
×5×EF=10，
2
∴
EF=4，
∴CF=4．
∴考点4：三角形中位线
典例4：如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，点F在DB上，且DF=2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BM=2，求线段BC的长．
【答案】BC=8．
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边AB、AC的
DE DF
中点得到，DE∥BC，BC=2DE，从而得到△≝∽△BMF，即可得到 = ，代入数据即可
BM BF
得到答案．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE．
∴△≝∽△BMF．
DE DF
∴ = ．
BM BF
∵DF=2BF，BM=2，
DE
∴ =2．
2
∴DE=4．
∴BC=2DE=8．
【变式1】如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当BD=CE时，判断四边形DEFG的形状，井证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，理由见解析【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟记
相关内容即可求解；
1
（1）由题意得DE是△ABC的中位线，推出DE∥BC且DE= BC；FG是△OBC的中位线，推
2
1
出FG∥BC且FG= BC；可得DE∥FG且DE=FG；即可求证；
2
（2）由点F，G分别是OB，OC的中点，推出OF=BF,OG=CG；由四边形DEFG是平行四边形，
3 3
推出OF=OD,OG=OE，可得BD= DF,CE= EG，即可求解；
2 2
【详解】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE∥BC且DE= BC；
2
∵点F，G分别是OB，OC的中点．
∴FG是△OBC的中位线，
1
∴FG∥BC且FG= BC；
2
∴DE∥FG且DE=FG；
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵点F，G分别是OB，OC的中点．
∴OF=BF,OG=CG，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴OF=OD,OG=OE，
3 3
∴BD= DF,CE= EG，
2 2
∵BD=CE，
∴DF=EG，
∴四边形DEFG是矩形
【变式2】在等腰三角形ABC中，∠BAC=80°，AB=AC=4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点
E，过点E作EF∥BC交AC于点F．(1)求∠AEF的度数；
(2)若G是BC的中点，连接FG，求FG的长．
【答案】(1)∠AEF=65°
(2)FG=2
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、
与三角形中位线有关的求解问题
【分析】（1）由角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质可得∠EAC=∠AEF，进而
解答即可．
（2）由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ACD=∠FEC，即可证明EF=CF，再利用直角三
角形的性质可证明AF=CF，即可得GF是△ABC的中位线，进而可证明结论．
【详解】（1）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCD，
∴∠ACD=∠FEC，
∴EF=CF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ACD=90°，∠AEF+∠FEC=90°，
∴∠EAC=∠AEF，
∵∠BAC=80°，AB=AC=4，
∴∠ACB=∠ABC=50°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=50°，
∴∠AEF=∠EAC=65°；
（2）解：∵∠EAC=∠AEF，
∴AF=EF，
∴AF=CF，∵G是BC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
1 1
∴FG= AB= ×4=2．
2 2
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，
三角形的中位线等知识的综合运用．
【变式3】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
1
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF= (AC−AB)；
2
(2)如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：________．
【答案】(1)见解析；
1
(2)EF= (AB−AC)．
2
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、与三角形中位
线有关的证明
【分析】（1）利用ASA证明△ABE≌△ADE，根据全等三角形的性质得出BE=DE，AB=AD，
再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题；
（2）先证明AB=AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=PE，根据三角形的中位线定理即可
解决问题．
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，
解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE于点E，
∴∠BEA=∠DEA=90°，
在△ABE和△ADE中，
¿，∴△ABE≌△ADE(ASA)，
∴BE=DE，AB=AD，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
1 1 1
∴EF= DC= (AC−AD)= (AC−AB)；
2 2 2
（2）解：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP
，
∴∠AEP=∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∵∠BAE=∠PAE，
∴∠ABE=∠APE，
∴AB=AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE=PE，
∵点F为BC的中点，
∴EF是△BCP的中位线，
1 1 1
∴EF= PC= (AP−AC)= (AB−AC)，
2 2 2
1
故答案为：EF= (AB−AC)．
2
考点5：多边形的内角和
典例5：如图，在正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（ ）．A．72° B．36° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查正多边形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正变形的性质是解题的关键；
由题意易得正五边形的内角为108°，AB=BC=CD=DE=AE，然后可得∠AEB=∠DEC=36°，
进而问题可求解．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
(5−2)×180°
∴∠AED=∠A=∠D= =108°，AB=BC=CD=DE=AE，
5
180°−108°
∴∠AEB=∠DEC= =36°，
2
∴∠BEC=∠AED−∠AEB−∠DEC=36°；
故选B．
【变式1】如图，以正六边形ABCDEF的AB边向内作一个长方形ABHG，连接BE交GH于点I，
则∠BIG=( )
A．108° B．120° C．126° D．135°
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质．利用正六边形的轴对称性质，可
得∠ABE=∠CBE，然后根据正多边形内角的求法，可得出∠ABE=60°，再根据长方形对边平行
的特点可得AB∥GH，利用同旁内角互补即可求解．
【详解】解：由正六边形ABCDEF的轴对称性质可知，BE为对称轴，
∴∠ABE=∠CBE，
(6−2)×180°
由多边形的内角和定理可求得：∠ABC= =120°，
6
1
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=60°，
2
由长方形ABHG的性质可知，AB∥GH，
∴∠BIG=180°−∠ABE=120°．故选：B．
【变式2】如图，正五边形ABCDE和正八边形FGHIJKLM如图所示放置，其中AB与FG重合，则
∠MAE的度数为 ．
【答案】27°/27度
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和，根据题意分别求得∠MAB,∠EAB，进而根据
∠MAE=∠MAB−∠EAB即可求解．
1 1
【详解】解：依题意，∠EAB= (5−2)×180°=108°，∠MAB= (8−2)×180°=135°
5 8
∴∠MAE=∠MAB−∠EAB=135°−108°=27°
故答案为：27°．
【变式3】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度．
【答案】360
【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题
【分析】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，首先根据三角形外角的性质可知：图
示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，∵∠A+∠C=∠2 ∠B+∠D=∠1
， ，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠E+∠F=360°，
故答案为：360．
考点6：多边形的外角、内角
典例6：如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则∠ABC
的度数是（ ）
A．120° B．142° C．144° D．150°
【答案】C
【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角的求法，三角形内角和，求出每个正五边形和正方
形的内角度数和每个外角度数．
【详解】解：如图所示：
∵正五边形的每个外角是360°÷5=72°，正方形的外角是360°÷4=90°，
∴∠DBF=90°−∠BDF=90°−72°=18°，
又∵正五边形每个内角是108°，正方形的内角是90°，
∴∠ABC=360°−∠ABD−∠DBF−∠CBF=180°−108°−90°−18°=144°，
故选：C．
【变式1】如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形
的外部作正方形BCMN．若∠ABN=126°，则n的值为（ ）A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得
到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案．
【详解】解：∵正方形BCMN，
∴∠NBC=90°，
∵∠ABN=126°，
∴∠ABC=360°−90°−126°=144°，
∴正n边形的一个外角为180°−144°=36°，
360°
∴n的值为 =10；
36°
故选：B．
【变式2】已知一个多边形的边数为n．
（1）若n=5，则这个多边形的内角和是 °；
（2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则n= ．
【答案】 540 8
【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式(n−2)×180°以及多边形
的外角和为360°是解本题的关键．
（1）直接根据多边形内角和公式为(n−2)×180°求解即可；
（2）根据多边形的外角和为360°，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
【详解】（1）解：当n=5时，(5−2)×180°=540°，
所以这个多边形的内角和为540°；
故答案为：540
（2）由题意得，(n−2)×180°=360°×3，
解得：n=8，
故答案为：8．
【变式3】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．
如图，就是一组正多边形，边数为n(n≥3)，观察每个正n边形中∠α的变化情况，当n=18时，∠α= °．
正多边形的边数 3 4 5 6
∠α的度数 60° 45° 36° 30°
【答案】10°
【知识点】正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中
∠α的值，找到计算思路，据此求出当n=18时的度数∠α，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角
的关系是解题的关键
180°
【详解】解：正三角形中， ∠α= =60°，
3
360° 1
正四边形的每个内角为 =90°，∠α= (180°−90°)=45°，
4 2
360° 1
正五边形的每一个内角为180°− =108°，∠α= (180°−108°)=36°，
5 2
360° 1
正六边形的每一个内角为180°− =120°，∠α= (180°−120°)=30°，
6 2
⋯
360°
依次类推，正n边形的每一个内角为180°− ，
n
1[ ( 360°)] 180°
则∠α= 180°− 180°− = ，
2 n n
180°
∴当n=18时，∠α= =10°．
18
故答案为：10°
考点7：多边形的对角线
典例7：多边形的内角和为720°，则它共有对角线( )
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】D
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题
【分析】先根据内角和求出这个多边形的边数，再根据对角线条数与边数之间的关系式即可进行解
答．
【详解】解：设这个多边形有n条边，(n−2)×180°=720°，解得：n=6，
n(n−3) 6×3
∴这个多边形对角线的条数为： = =9．
2 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和为
n(n−3)
(n−2)×180°以及多边形对角线的条数和边的关系式为 ．
2
【变式1】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个
多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【答案】C
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数
少1即可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．
【变式2】如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，
则一个凸n(n≥4)边形有 条对角线．
n(n−3)
【答案】
2
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、多边形对角线的条数问题
【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键．
先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据
此归纳规律即可解答．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角
线，
n(n−3)
则一个n边形共有 （n≥4，且n为整数）条对角线．
2n(n−3)
故答案为： ．
2
【变式3】凸n边形内角与外角和的总和为1440°，则n等于 ；这个凸n边形有
条对角线．
【答案】 8 20
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题主要考查了多边形内角和、多边形的对角线等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式
与对角线条数公式是解题的关键．
设多边形的边数是n，根据多边形内角和公式得到(n−2)⋅180°=1440°−360°，解得n即可；再
n(n−3)
根据多边形的对角线的条数公式 得到对角线的条数即可．
2
【详解】解：设所求正n边形边数为n，则(n−2)⋅180°=1440°−360°，解得n=8；十边形的对
8(8−3)
角线共为 =20条．
2
故答案为：8，20．
考点8：平面镶嵌
典例8：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶
嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（ ）
A．正四边形和正五边形 B．正四边形和正六边形
C．正四边形和正七边形 D．正四边形和正八边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角，利用它们的和为360
度即可求解．
【详解】解：A. 正四边形的每一个内角为90°，正五边形的每一个内角为108°，不能拼成360°，
不符合题意；
B. 正四边形的每一个内角为90°，正六边形的每一个内角为120°，不能拼成360°，不符合题意；
900°
C. 正四边形的每一个内角为90°，正七边形的每一个内角为 ，不能拼成360°，不符合题意；
7
D. 正四边形的每一个内角为90°，正八边形的每一个内角为135°，能拼成360°，符合题意；
故选：D．
【变式1】阅读下列材料，回答下面的问题．
用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，
叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是360°．
现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题：
和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是
________；
A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了平面镶嵌，平面镶嵌时在拼接点处的内角度数和为360，正五边形的一个内角
为108°，还剩下252°，而252°=108°+144°，所以还需要一个正五边形和一个正十边形，所以一
个拼接点处应有2个正五边形和1个正十边形．
(5−2)×180°
【详解】解：正五边形一个内角为 =108°，
5
(4−2)×180°
正四边形一个内角为 =90°，
4
(6−2)×180°
正六边形一个内角为 =120°，
6
(10−2)×180°
正十边形一个内角为 =144°，
10
(12−2)×180°
正十二边形一个内角为 =150°，
12
与正五边形进行镶嵌，在每个拼接点处内角的和应为360°，
∵360°−108°=252°，
而252°=108°+144°，
内角为144°的是正十边形，
所以一个拼接点处应有2个正五边形和1个正十边形．
故选：C．
【变式2】要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记
作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；
（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为
．
【答案】 6a 7a 3√7a
【知识点】用勾股定理解三角形、平面镶嵌、正多边形和圆的综合
【分析】（1）由图形可知，方案Ⅰ中纸盒底面半径应为正六边形的对角线长加边长，方案Ⅱ中纸盒
底面半径应为正六边形对角线长加边长，再上边长的一半，由此计算即可；
（2）考虑将12个正六边形对称放置，然后确定其外接圆，利用正六边形的边长以及勾股定理求解
最小半径即可．
【详解】（1）如图1所示，方案Ⅰ中纸盒底面半径最小值即为OA的长度，
∵正六边形的边长为2a，
∴OA=2a+4a=6a；
如图2所示，方案Ⅱ中纸盒底面半径最小值即为OB的长度，
∴OA=a+2a+4a=7a；
故答案为：6a；7a；
（2）如图所示方式，装12支铅笔的底面圆半径最小，此时最小半径为OC，连接CQ、PC、PQ，
∵正六边形的边长为2a，
∴CP=3×2√3a=6√3a，PQ=2a+4a+4a+2a=12a，∵∠CPQ=90°，
∴CQ=√CP2+PQ2=6√7a，
1
∴OC= CQ=3√7a，
2
故答案为：3√7a．
【点睛】本题考查正多边形与圆，以及镶嵌问题，掌握正多边形与圆的性质，灵活运用勾股定理进
行计算是解题关键．
【变式3】用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360°．现在有七种不同的
正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正
十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是： ．
（请用序号表示，只需写出两种即可）
【答案】①②③或①②⑥或②③⑥
【知识点】平面镶嵌
【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，
然后根据平面镶嵌的条件解答即可．
180°×(n−2)
【详解】解：用公式 分别计算出正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，正六
n
边形的内角为120°，正八边形内角为135°，正十边形的内角为144°，正十二边形的内角为150°，
正十五边形的内角为156°，
∵60°+90°+90°+120°=360°，
∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；
∵60°+60°+90°+150°=360°，
∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
∵90°+120°+150°=360°，
∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．
【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．
