专题 09 平面直角坐标系与函数（11 个高频考点）（强化训练）
【考点1 有序数对】
1．（2022·河北保定·二模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）
表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图
形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
【答案】B
【分析】首先根据题意确定出（0，0）的位置，其次根据轴对称图形的定义确定出位置即可．
【详解】解：由右下角方子的位置用（2，－1）表示，
得：左上角的圆子可以用（0，0）表示，
整个图形若为轴对称图形，则其所棋子放的位置在（1，1）处，
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形、平面直角坐标系的相关知识，解题关键是掌握轴对称图形定义，即一个
图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴．
2．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单
位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ,m)称为M
点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的
极坐标应记为（ ）A．(60°,8) B．(45°,8) C．(60°,4√2) D．(45°,2√2)
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=4，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×4=8，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,8)．
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解
“极坐标”的定义是解题的关键．
3．（2022·湖北宜昌·模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和（3，
4）表示的位置是（ ）A．同一行 B．同一列 C．同行同列 D．不同行不同列
【答案】B
【分析】数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此可作出判断．
【详解】解：第二列第一行用数对（2，1）表示，则数对（3，6）表示第三列，第六行，数对（3，4）表
示表示第三列，第四行．所以数对（3，6）和（3，4）表示的位置是同一列不同行．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，一般用数对表示点位置的方法是第一个数字表示列，第二个数字
表示行，也有例外，具体题要根据已知条件确定．
4．（2022·湖北黄冈·一模）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置
用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴
对称图形．她放的位置是________．
【答案】（-1，1）
【详解】试题分析：根据题目中给出的几个点的坐标可得：最右边的圆子的坐标为(0，0)，则需要构成轴
对称图形的圆子应放在(-1，1)的位置．
5．（2022·江苏扬州·一模）我们定义：平面内两条直线l 、l 相交于点O（l 与l 不垂直），对于该平面内
1 2 1 2
任意一点P，如果点P到直线l 、l 的距离分别为a、b，那么有序实数对（a，b）就叫做点P的“平面斜角
1 2
坐标”．如果常数m、n都是正数，那么在平面内与“平面斜角坐标”（m，n）对应的点共有_________
个．
【答案】4．
【详解】试题分析：根据两条相交直线把平面分成四部分，在每一个部分内都存在一个满足要求距离的坐
标解答．
试题解析：如图，直线l1，l2把平面分成四个部分，
在每一部分内都有一个“距离坐标”为（m，n）的点，
所以，共有4个．
考点：点的坐标．
【考点2 点的坐标】
6．（2022·广东·广州大学附属中学二模）点P(m+2,m−1)在y轴上，则点P的坐标是______．
【答案】(0,−3)
【分析】根据直角坐标系中坐标的性质，得m+2=0,通过求解方程得到m的值，再代入到坐标中计算，即
可得到答案．
【详解】解：∵点P(m+2,m−1)在y轴上，
∴m+2=0,
∴m=−2,
∴m−1=−3,
∴点P的坐标是(0,−3).
故答案为：(0,−3).
【点睛】本题主要考查了直角坐标系，一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中坐标的
性质．
7．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）已知点A、B、C的坐标分别A(1,5)、B(1,0)、C(5,0)，若
点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为______．
【答案】(6,5)或(1,0)
【分析】先根据A、B、C三点的坐标判断∠ABC的位置与大小，再根据点P在∠ABC的平分线上，且
PA=5，判断点P的位置，并写出点P的坐标．
【详解】解：∵A(1,5)、B(1,0)、C(5,0)
∴AB=5，且AB⊥BC
∴∠ABC=90°如图，以A为圆心，AB长为半径画弧，交∠ABC的平分线于两点
∵点P在∠ABC的平分线上，且PA=5
∴当点P在点B处时，P 的坐标为(1,0)
1
当点P在第一象限内时，由△ABP 是等腰直角三角形，可知P 的坐标为(6,5)
2 2
故答案为：(6,5)或(1,0)
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是在平面坐标内根据作图找出点P的位置．
8．（2022·四川达州·一模）若点P(2x,3x−1)到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为______．
4 6
【答案】− 或
5 5
【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．
【详解】解：当点P在第一象限¿，
1
解得：x＞ ，
3
且2x+3x-1=5，
6 1
解得：x= ＞ ，符合题意；
5 3
当点P在第二象限¿，
不等式组无解，不合题意；
当点P在第三象限¿，
不等式组的解集为：x＜0，
则-2x-3x+1=5，
4
解得：x=- ＜0，符合题意；
5
当点P在第四象限¿，
1
不等式组的解集为：0＜x＜ ，
3
故2x-（3x-1）=5，
1
解得：x=2＞ ，不合题意；
3
当点P在x轴上，则3x-1=0，
1 1
解得：x= ，此时2x= ，不合题意；
3 3
当点P在y轴上，则2x=0，解得：x=0，此时|3x-1|=1，不合题意；
4 6
故答案为：x=− 或x=
5 5
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
9．（2022·河北·模拟预测）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为
______．
【答案】(−2,3)
【分析】根据点所在的象限判断即可；
【详解】∵点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴点P的坐标是(−2,3)；
故答案是(−2,3)．
【点睛】本题主要考查了象限内点的表示，准确分析求解是解题的关键．
10．（2022·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下：当
a⩾b时，Q点坐标为(b,−a)；当a<b时，Q点坐标为(a,−b)．
（1）(−2,3)的变换点坐标是_____________．
（2）若(a,−0.5a+2)的变换点坐标是(m,n)，则m的最大值是_____________．
4
【答案】 (−2,−3)
3
【分析】（1）－2＜3，满足a<b时，点的坐标为(a,−b)，据此写出即可；
（2）分a⩾b和a<b，两种情况讨论解答．
【详解】（1）∵－2＜3，满足a<b，
∴(−2,3)的变换点坐标是(−2,−3)，
故填：(−2,−3)：
4
（2）当a≥−0.5a+2时，a≥ ，此时该点的变换点坐标是(−0.5a+2,−a)，
3
4
m=−0.5a+2≤ ；
3
4
当a＜−0.5a+2时，a＜ ，此时该点的变换点坐标是(a,0.5a−2)，
3
4
m=a＜ ，
3
4
故m的最大值是 ，
34
故填： ．
3
【点睛】本题考查不等式的应用、点的坐标特征，读懂“变换点”的坐标定义是关键．
【考点3 点所在的象限】
11．（2022·江苏南通·一模）将点A(5,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′落在第____________
象限．
【答案】四
【分析】画出图形，利用图象解决问题即可．
【详解】解：如图A′ (3,−5)，所以在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，解题的关键是正确画出图形，属于中考常考题型．
12．（2022·广东广州·模拟预测）若点P(x,y)的坐标满足方程组¿，则点P不可能在第__________象限．
【答案】三
【分析】先根据加减消元法用含有k的代数式表示出x，y，再根据k的取值范围分析得出答案．
【详解】解方程组¿，
得¿，
所以点P（3-k，2k-3）．
当k＞3时，3-k＜0，2k-3＞0，点P在第二象限；
当1.5＜k＜3时，3-k＞0，2k-3＞0，点P在第一象限；
当k＜1.5时，3-k＞0，2k-3＜0，点P在第四象限．
所以点P不可能在第三象限．故答案为：三．
【点睛】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组，分情况讨论k的值是解题的关键．要掌握平面直
角坐标系内各象限的符合特征，即第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限
（+，-）．
13．（2022·山东济南·一模）对于平面坐标系中任意两点A(x ,y )、B(x ,y )定义一种新运算“*”为：
1 1 2 2
(x ,y )∗(x ,y )=(x y ,x y )，根据这个规则，若A(x ,y )在第三象限，B(x ,y )在第四象限，则
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2
A∗B在第________象限．
【答案】四．
【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】解：∵A(x ,y )在第三象限，B(x ,y )在第四象限，
1 1 2 2
∴x <0,y <0,x >0,y <0,A∗B=(x y ,x y )，
1 1 2 2 1 2 2 1
∴x y >0,x y <0，
1 2 2 1
∴A∗B在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了运算符号的判断及点所在的象限，正确利用已知运算法则是解题关键．
14．（2022·江苏·仪征市古井中学一模）若点A（a，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b＋1）在第_____
象限．
【答案】一
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可．
【详解】解：∵点A（a，b﹣2）在第二象限，
∴a＜0，b-2＞0，
∴a＜0，b＞2，
∴-a＞0，b+1＞3＞0，
∴点B（-a，b+1）在第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限
（+，-）．15．（2022·福建·龙海二中一模）若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A
在第_____象限．
【答案】二．
【分析】根据点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，列方程求得x，y的值，结果可
得．
【详解】解：∵点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，
∴﹣3﹣（2x﹣1）＝4﹣（﹣3），
9
解得：x＝﹣ ，
2
∴点A（﹣10，5），
∴点A在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查轴对称及平面直角坐标系内点的坐标特征,熟练掌握相关知识是解题关键.
【考点4 点在坐标系中的平移】
16．（2022·江苏·射阳县第四中学三模）在直角坐标系中，点A(3,2)关于x轴的对称点为A ，将点A 向左
1 1
平移3个单位得到点A ，则A 的坐标为 _____．
2 2
【答案】(0,−2)
【分析】直接利用关于x轴对称点的坐标特点求解，然后再利用平移的性质得出A 坐标．
2
【详解】因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A
1，
所以A (3,−2) ，
1
因为将点A 向左平移3个单位得到点A
1 2
所以A (0,−2)
2
故答案为：(0,−2)．
【点睛】本题考查关于x轴对称点的坐标特点，以及坐标与图形的变化，正确掌握关于x轴对称点的坐标
特点是解题关键．
17．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1，1)、
C(3，1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次交换，如此这样，连续经
过2016次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为______．【答案】(-2014，2)
【分析】先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解．
【详解】解：∵A(1，3)、C(3，1)，
∴M(2，2)，
经过1次变换后M点的坐标为(1，-2)，
经过2次变换后M点的坐标为(0，2)，
经过3次变换后M点的坐标为(-1，-2)，
······
经过n次变换后M点的坐标为(2−n，2×(−1) n)，
则n=2016时，M点的坐标为(-2014，2) ．
故答案为(-2014，2) ．
【点睛】本题主要考查图形变换规律问题，解此题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标
特征．
18．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如图，点A，B的坐标分别为(1,2)，(4,0)，将三角形AOB沿x轴
向右平移，得到三角形CDE，已知DB=1，则点C的坐标为__________．
【答案】(4,2)
【分析】利用DB=1，B（4，0），得出 AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移中点的变化规
律求解即可． △【详解】∵点A. B的坐标分别为(1,2)、(4,0)，将 AOB沿x轴向右平移，得到 CDE，DB=1，
∴OD=3， △ △
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，
∴点C的坐标为：(4,2).
故答案为(4,2).
【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于利用平移的性质.
19．（2022·河北·模拟预测）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标
1
为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为______．
2
【答案】（1，3）．
1
【详解】试题分析：将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个
2
单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
1
∵将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移
2
1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
点睛：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．理解将正方形OABC沿着OB
1
方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位是解题的关键．
2
20．（2022·天津河西·中考模拟）如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到
△A′B′C′，(1)请画出平移后的图形△A′B′C′；
(2)并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(3)求出△A′B′C′的面积．
【答案】(1)见详解
(2)A′(4，0)，B′(1,3)，C′(2,﹣2)
(3)6
【分析】（1）先根据平移的分式确定A′，B′，C′的位置，再将其两两连线，即可；
（2）根据（1）的图形即可求解；
（3）利用割补法求解即可．
（1）
作图如下：
△A′B′C′即为所求；
（2）
由（1）中的图形，可得A′(4，0)，B′(1,3)，C′(2,﹣2)；
（3）根据网格图，构造一个矩形，如图，
1 1 1
S =3×5− ×1×5− ×3×3− ×2×2=6，
△A'B'C' 2 2 2
即所求面积为6．
【点睛】本题主要考查了坐标系和网格图以及中三角形的平移的知识．解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
【考点5 坐标与图形】
21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面上任取一个△ABC，则可以定义面积坐标：对平面内任一
点P，记S =S ，S =S ，S =S (若点P恰好在△ABC的某条边所在的直线上，则记相应三角形
1 △PAB 2 △PAC 3 △PBC
的面积为0)，则点P的面积坐标记为{s ，s ，s }．已知：在△ABC中，B(−3,0)，C(3,0)．
1 2 3
(1)如图1，若点A的坐标为(0,3)．
①写出点D(1,0)的面积坐标______；
②已知几个点的面积坐标分别为：E{3，3，3}，F{0，2，7}，G{5，5，1}，H{2，2，5}，则
其中不在△ABC内部的点是______；(2)把平面内一点M(x,y)的面积坐标记为{m ，m ，m }．
1 2 3
①如图2，当点A的坐标为(−3,3)时，若m =m ，试探究y与x之间的关系；
1 3
②当点A的坐标为(0,3√3)时，点M在以点T(3，t)为圆心，半径为1的圆上运动，若点M的面积坐标始
终满足|m +m −m |=9√3，直接写出t的取值范围．
1 2 3
【答案】(1)①{6，3，0}；②F、G
1 3 1 3
(2)①y= x+ 或y=− x− ；②t≥2+6√3或t≤−2
2 2 2 2
【分析】（1）①分别计算出△DAB，△DAC和△PBC的面积，进而得出结果；②只需验证三个面积之
和是否等于△ABC的面积且没有一个为0即可；
（2）①根据三角形面积公式表示m 和m ，列出方程，从而得出结果；②发现当⊙T在∠BAC的外部时，
1 3
满足条件，进一步求得结果．
【详解】（1）解：①∵A(0，3)，B(−3,0)，C(3,0)，D(1,0)，
1 1
∴S =S = ×4×3=6，S =S = ×2×3=3，S =S =0，
1 △DAB 2 2 △DAC 2 3 △PBC
∴点D(1,0)的面积坐标为{6，3，0}，
故答案为：{6，3，0}；
②∵E{3，3，3}，
∴S =S =S =3，
△EAB △EAC △EBC
∴点E是△ABC的重心，即E(0,1)，
∴点E在△ABC内部；
∵F{0，2，7}，
∴S =0，
△FAB
∴点F在边AB所在直线上；
∵G{5，5，1}，
∴S =5，S =5，S =1，
△GAB △GAC △GBC
1
∴G(0，− )不在△ABC内部；
3
∵H{2，2，5}，
∴S =2，S =2，S =5，
△HAB △HAC △HBC5
∴H(0， )在△ABC内部；
3
故答案为：F、G；
（2）解：①∵A(−3，3)，B(−3,0)，C(3,0)，M(x,y)，
∴AB=3，BC=6，
1 3 1
∴m =S = ×3|x−(−3)|= |x+3|，m =S = ×6|y|=3|y|，
1 △MAB 2 2 3 △MBC 2
∵m =m ，
1 3
3
∴ |x+3|=3|y|，
2
1
∴|y|= |x+3|，
2
1 3 1 3
∴y= x+ 或y=− x− ；
2 2 2 2
②如图，
当⊙O在∠CAB内部时，
S +S −S =S =9√3，
△MAB △MBC △MAC △ABC
即m +m −m =9√3，
1 3 2
∴当⊙T不在∠CAB的内部时，满足条件，如图2，在Rt△CDT中，∠DCT=30°，DT=1，
∴CT=2，
同理可得：HT′=2，
∵OA⊥x轴，CH⊥x轴，
∴∠AOB=∠HCB=90°，
∴∠ABO=∠HBC，
∴△ABO∽△HBC，
BO OA 1
∴ = = ，
BC HC 2
∵A(0,3√3)，
∴HC=6√3，
∴CT′=2+6√3，
∴t≥2+6√3或t≤−2．
【点睛】本题是阅读型题，考查了理解能力，等边三角形的性质，三角形面积公式，圆的切线性质等知识，
解决问题的关键紧扣定义，数形结合，尝试验证．
22．（2022·北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M
绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C
关于点P的“垂直图形”．(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为___________；
②若点B的坐标为(3,1)，则点A的坐标为___________；
(2)E(−3,3)，F(−2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点
F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．
【答案】(1)①(3,0)，②(−1,3)
(2)①(3+a,3+a)，②√22
【分析】(1)① ②根据“垂直图形”的定义可得答案；
(2)①过点E作EP⊥x轴于点P，过点E′作E′H⊥x轴于点H，利用AAS证明△PEG≌△HGE′得
E′H=PG=a+3，GH=EP=3，从而得出答案；②由点E′的坐标可知，满足条件的点E′在第一象限的
⊙O上，求出点E′的坐标，从而解决问题．
（1）
解：①∵点A的坐标为(0,3)，
∴点B的坐标为(3,0)，
故答案为：(3,0)；
②当B(3,1)时，如图，A(−1,3)，故答案为：(−1,3)；
（2）
解：①过点E作EP⊥x轴于点P，过点E′作E′H⊥x轴于点H，
∵∠EGE′=90°，EG=E′G，
∴∠EGP+∠E′GH=90°，∠EGP+∠E=90°，
∴∠E=∠E′GH，
∵∠EPG=∠GHE′，
∴ △PEG≌△HGE′（AAS），
∴E′H=PG=a+3，GH=EP=3，
∴OH=3+a，
∴E′（3+a,3+a）；
②如图，观察图象知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上，∵E′(3+a,3+a)，OE′=2，
∴(a+3) 2+(a+3) 2=22，a+3=√2(负值舍去)，
∴a=√2−3，
∴E′(√2,√2)，
∴EE′=√(√2+3) 2+(√2−3) 2=√22．
∴EE′的长度的最大值为√22．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，“垂直图形”的定义，坐标与图
形，求出点E′的坐标是解题的关键．
23．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点
P（x，y）、P（x，y），其两点间的距离P P =√(x −x ) 2+(y −y ) 2，同时，当两点所在的直线在
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|y﹣y|．
2 1 2 1
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
【答案】(1)AB＝13
(2)AB＝5
(3)△DEF是等腰三角形，理由见解析【分析】(1)直接套公式√(x −x ) 2+(y −y ) 2即可求解；
1 2 1 2
(2)根据题干中“当两点所在的直线平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|
2 1
y﹣y|”即可求解；
2 1
(3)套公式√(x −x ) 2+(y −y ) 2求出三角形三边的长度即可求解．
1 2 1 2
【详解】（1）解：由题意可知A、B两点间的距离为√(2+3) 2+(4+8) 2=13，
故A、B两点间的距离为13．
（2）解：由题意可知，直线AB平行y轴，
∴A、B两点之间的距离为4-(-1)=5．
（3）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：
DE=√(−2−1) 2+(2−6) 2=5，
EF=√(4+2) 2+(2−2) 2=6，
DF=√(4−1) 2+(2−6) 2=5，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点之间距离的求法，其本质是勾股定理的应用，读懂题意即可求
解．
24．（2022·江苏南京·二模）藏宝地之谜．
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，
上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P．从木桩P走到橡
树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里
打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树
B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正
当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成
土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是
徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？不妨任取一个位置作为P，根据材料画出下图．
(1)以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设
点B的坐标为(10,0)．
①若P的坐标为(6,10)，则Q的坐标为______；
②若P的坐标为(−4,8)，则Q的坐标为______；
(2)猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
(3)写出证明（2）中猜想的思路．
(4)将材料中两处“再走这么多步”同时改为______，可使（2）中的猜想仍然成立．
【答案】(1)①(0,−10)；②(0,−10)；
(2)当P在不同位置时，Q的位置不变；
(3)证明见解析；
1
(4)再走 这么多步．
2
【分析】（1）①如图1，作辅助线，构建三角形全等，证明ΔAEP≅ΔCOA(AAS)和ΔPEB≅ΔBOD，
可得结论；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，同理可得结论；
（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）如图3，设点B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，同理根据两三角形全等可得结论；
1
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走 这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．同理设点
2
B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，证明ΔAFP∽ΔCGA，ΔBFP∽ΔDEB，可得结论：当P在
不同位置时，Q的位置不变．
（1）解：①如图1，过点P作PE⊥AB于E，
∵∠PAC=∠PAE+∠CAO=90°，∠PAE=∠APE=90°，
∴∠APE=∠CAO，
∵AP=AC，∠AEP=∠AOC=90°，
∴ΔAEP≅ΔCOA(AAS)，
∴CO=AE=10+6=16，
同理得ΔPEB≅ΔBOD(AAS)，
∴OD=BE=10−6=4，
∴CD=16−4=12，
∵Q是CD的中点，
∴Q(0,−10)；
故答案为：(0,−10)；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得ΔAFP≅ΔCGA，ΔBFP≅ΔDEB，
∴CG=AF=10−4=6，AG=PF=8，DE=BF=10+4=14，BE=PF=8，
∴C(−2,−6)，D(2,−14)，∵Q是CD的中点，
∴Q(0,−10)；
故答案为：(0,−10)；
（2）
解：猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）
解：如图3，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得ΔAFP≅ΔCGA，ΔBFP≅ΔDEB，
∴CG=AF=x+m，AG=PF= y，DE=BF=m−x，BE=PF= y，
∴C(y−m,−x−m)，D(m−y,x−m)，
∵Q是CD的中点，
∴Q(0,−m)；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
（4）
1
解：将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走 这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．理由如下：
2
如图4，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，同①得ΔAFP∽ΔCGA，ΔBFP∽ΔDEB，相似比为2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴CG= AF= x+ m，AG= PF= y，DE= BF= m− x，BE= PF= y，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
∴C( y−m，− x− m)，D(m− y， x− m)，
2 2 2 2 2 2
∵Q是CD的中点，
1
∴Q(0,− m)；
2
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
1
故答案为：再走 这么多步．
2
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全
等三角形的判定与性质，中点坐标公式，三角形相似的性质和判定等知识；本题综合性强，熟练证明三角
形全等是解题的关键．
25．（2022·广东中山·三模）在直角坐标系中，把横、纵坐标都为整数的点称为整点，顶点都是整点的三
角形称为整点三角形．如图，已知整点A(1,3)，B(3,4)，请在所给网格中按要求画三角形．
(1)在图1中画出一个整点△OBP，使得点P在第一象限，横、纵坐标之和等于5，且点A在△OBP的外部．
(2)在图2中画出一个整点△OBQ，使得点Q在第一象限，横、纵坐标的平方和等于17，且点A在△OBQ
的内部．【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）设P(x，y)，由题意知x+y=5，求出整数解即可；
（2）设Q（x，y）由题意知x2+ y2=17，求出满足条件的整数解即可．
(1)
解：设P(x，y)，由题意知x+y＝5，
∵点P是在第一象限的整点，
∴P（1，4）或（4，1）或（2，3）或（3，2）
满足条件的整数点P（3，2）或（4，1）或（2，3）的图像分别为：如图所示：（任意一个图像即可）
(2)
解：设Q（x，y）由题意知x2+ y2=17，点Q是在第一象限的整数点，
∴Q（1，4）或（4，1）
∴满足条件的点的整数点Q(1，4)作图如下：
【点睛】本题考查了表格作图、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会转化的思想
思考问题．
【考点6 点的坐标规律探索】
26．（2022·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，
D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处．
A．(3,−2) B．(−1,−1) C．(1,−2) D．(1,1)
【答案】D
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD及矩形ABCD的周长，由
2022=288×(14÷2)+1.5+2+1.5+1，可得出当t=2022秒时瓢虫在点D左侧2个单位处，再结合点D的
坐标即可得出结论．
【详解】解：∵A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，
∴AB=CD=3，AD=BC=4
∴C ABCD=2（AB+AD）=14．
矩形
∵2022=288×(14÷2)+1.5+2+1.5+1，
∴当t=2022秒时，瓢虫在点D左侧2个单位处，
∴此时瓢虫的坐标为(1,1)．
故选：D
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t=2022秒时瓢虫在点D处是解题的关
键．
27．（2022·四川省渠县中学一模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点：（1，0），（2，0），
（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…按图中“→”所指方向排列，根据这个规律可得第2022个
点的坐标为（ ）
A．（63，3） B．（63，4） C．（64，3） D．（64，5）【答案】D
【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的
点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数，
据此求解．
【详解】解：把第一个点(1，0)作为第一列，(2，1)和(2，0)作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数，
n(n+1)
则n列共有 个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
2
因为1+2+3+⋯+63=2016，
则第2022个数一定在第64列，由下到上是第6个数．
因而第2022个点的坐标是（(64，5)．
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，探究规律，解此题的关键是根据图形得出规律．
28．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x
1 1 1
轴，与直线l交于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再作A B ⊥x轴，交直线l于
1 1 2 2 2
点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；……按此作法进行下去，则点A 坐标为
2 2 3 3
__________，点A 坐标为__________.
n
【答案】 (4,0) (2n−1,0)
【分析】根据直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x轴，可得A (2,0)，同理可得A (4,0),A (8,0)
1 1 1 2 3 4
…，依规律可得点A 坐标为(2n−1,0)．
n
【详解】∵直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x轴，
1 1 1
∴当x=1时，y=√3，即B (1,√3)，
1∴tan∠A OB =√3，
1 1
∴∠A OB =60°,∠A B O=30°，
1 1 1 1
∴OB =2OA =2，
1 1
∵以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ，
1 2
∴A (2,0)，
2
同理可得，A (4,0),A (8,0)…
3 4
∴点A 坐标为(2n−1,0)，
n
故答案为：(4,0)，(2n−1,0)．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性，也可采用解直角三
角形教学解答，在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意．
29．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，在平面直角坐标系中，从点
P (−1,0),P (−1,−1),P (1,−1),P (1,1),P (−2.1),P (−2,−2)，…依次扩展下去，则P 的坐
1 2 3 4 5 6 2022
标为_______．
【答案】(−506，−506)
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，
被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点P 在第三象限，再根据第三项象限点
2022
的规律即可得出结论．
【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，
∵2022÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，
∴点P 在第三象限，
2022
又∵第三象限的点P（-1，-1），点P（-2，-2），点P （-3，-3），
2 6 10
∴点P （-506，-506）．
2022
故答案为：（-506，-506）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规
律，然后进一步推理得出点的坐标．
30．（2022·河北廊坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…．在x轴正半轴上，点B ，
1 2 3 1
√3
B ，B ，…，在直线y= x(x≥0)上．已知点A (1,0)，且△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均
2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
为等边三角形．
（1）线段B B 的长度为_________；
1 2
（2）点A 的坐标为_________；
2022
（3）线段B B 的长度为_________．
2021 2022
【答案】 √3 （22021，0） 22020√3
√3
【分析】设等边 BnAnAn 的边长为an，由y= x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的
+1 3
△
性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn =90°，从而得出BnBn =√3an，设An的坐标为（an，0），由点A
+1 +1 1
的坐标为（1，0），得到a=1，a=1+1=2，a=1+a+a=4，a=1+a+a+a=8，…，an=2n-1．即可求得A 的
1 2 3 1 2 4 1 2 3 2022
坐标BB=√3a=√3，B B =√3a =√3×22020=22020√3．
1 2 1 2021 2022 2020
【详解】解：设等边 BnAnAn 的边长为an，
+1
△ √3
∵点B，B，B，…是在直线y= x（x≥0）上的第一象限内的点，
1 2 3 3
∴∠AnOBn=30°，
又∵△BnAnAn 为等边三角形，
+1∴∠BnAnAn =60°，
+1
∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn =90°，
+1
∴BnBn =OBn=√3an，
+1
∵点A 的坐标为（1，0），
1
设An的坐标为（an，0），
∴a=1，a=1+1=2，a=1+a+a=4，a=1+a+a+a=8，…，
1 2 3 1 2 4 1 2 3
∴an=2n-1．
∴A （22021，0）．
2022
∴BB=√3a=√3，B B √3a =√3×22020=22020√3．
1 2 1 2021 2022 2021
故答案为：BB=√3a=√3，A A =22020， B √3a =√3×22020=22020√3．
1 2 1 2021 2022 2021 2022 2021
【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的
关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn =an=2n-1．
+1
【考点7 常量与变量】
31．（2022·云南昭通·二模）变量x，y的一些对应值如下表所示：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
1 1 1 1
y … 1 －1 − − …
3 2 2 3
1 1
根据表格中的数据规律，当x＝6时，y的值为（ ）A．－6 B．6C．− D．
6 6
【答案】C
【分析】观察表中数据，易得xy=−1，由此进行求解．
【详解】解：观察表格中的数据，易得xy=−1，
1 1
∴当x=6时，y=− =− ．
x 6
故选：C．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，解决本题的关键是能够从表格中找出两个变量之间的等
量关系．
32．（2022·山东济南·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】①根据正方形的周长公式判断即可；②根据“路程=速度×时间”判断即可；③根据“水箱中的剩
余水量=水箱的水量−0.8x”判断即可．
【详解】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y=4x，故①符合题意；
汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y=30x，故②符合题意；
水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量=水箱
的水量−0.8x，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就
能够通过图象得到函数问题的相应解决．
33．（2022·河南·辉县市太行中学模拟预测）科学研究表面，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸
长． 某同学测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的重量x(kg)之间的关系如下表所示：
x（kg） 0 1 2 3 4 5
y（cm） 20 20.5 21 21.5 22 22.5
下列说法不正确的是( )A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．y与x的关系表达式是y=0.5x
D．所挂物体的重量为3.6kg时，弹簧的长度为21.8cm
【答案】C
【分析】由表中的数据进行分析发现：所挂物体的重量增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为20cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
【详解】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A选项不符合题意；
B、所挂物体的重量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm，故B选项不符合题意；
C、y与x的关系表达式是y=0.5x+20，故C选项符合题意；
D、由C知，则当x=3.6时，y=21.8，即所挂物体的重量为3.6kg时，弹簧的长度为21.8cm，故D选项不
符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的概念，函数表达式，根据表格求得函数关系式是解题的关键．
34．（2022·广东·深圳市龙岗区布吉贤义外国语学校模拟预测）我们知道：“距离地面越高，气温就越
低．”下表表示的是某地某时气温t（°C ）随高度h（km）变化而变化的情况：
距离地面高度（km） 0 1 2 3 4 5
温度（°C） 20 14 8 2 −4 −10
(1)上表中自变量是_______，因变量是_______；
(2)请说明温度是怎样随距离地面高度的增加而变化的；
(3)已知某山顶的气温为−22℃，求此山顶距离地面的高度．
【答案】(1)高度，温度．
(2)温度随着距离地面高度的增加而降低．
(3)7km
【分析】（1）根据表格数据变化即可得出结果；
（2）由表格中的数据变动可直接得出结果；
（3）由表格可知当高度每上升1km时，温度下降6℃，然后计算即可．
【详解】（1）解：上表反映了温度和高度两个变量之间的关系．高度是自变量，温度是因变量．
故答案为∶ 高度，温度；
（2）解：由表格可知温度随着距离地面高度的增加而降低．
（3）解：由表格可知当高度每上升1km时，温度下降6℃，
所以当高度为6km时，温度为−16℃，当高度为7km时，温度为−22℃，
所以此山顶距离地面的高度是7km．
【点睛】题目主要考查自变量与因变量及通过表格得出二者之间的关系，理解题意，根据表格数据得出相
关信息是解题关键．35．（2022·陕西安康·模拟预测）一种水果的总售价y（元）与售出水果的质量x（千克）之间的关系如下
表：
售出水果的质量x（千
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
克）
总售价y（元） 0 3 6 9 12 15 18
(1)自变量是______，每千克水果的售价是______元．
(2)y与x的关系式为____________．
【答案】(1)售出的水果的质量；6；
(2)y=6x
【分析】（1）根据自变量的定义即可得到答案；根据售价=总售价÷售出的质量即可得到每千克水果的售
价；
（2）根据表格中的数据即可得到答案．
（1）
解：由题意得自变量为售出水果的质量，每千克水果的售价是3÷0.5=6元，
故答案为：售出的水果的质量；6；
（2）
解：由表格中的数据可知，售出的水果每增加0.5千克，总售价就增加3元，
x
∴y=0+ ×3=6x，
0.5
故答案为：y=6x．
【点睛】本题主要考查了自变量的定义，函数关系式，熟知相关知识是解题的关键．
【考点8 函数的概念】
36．（2022·湖南·长沙市华益中学一模）下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】依据函数的定义即可判断．
【详解】选项B中，当x＞0时对每个x值都有两个y值与之对应，不满足函数定义中的“唯一性”，而选
项A、C、D对每个x值都有唯一y值与之对应．
故选B．
【点睛】本题考查了函数的定义．判定依据是看是否满足定义中的“任意性”、“唯一性”．
37．（2022·广西河池·中考模拟）下列关系式中，y不是自变量x的函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝|x| D．y2＝x
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定
函数的个数．
【详解】A、y＝x当x取值时，y有唯一的值对应；
B、y＝x2当x取值时，y有唯一的值对应；
C、y＝|x|当x取值时，y有唯一的值对应；
D、y2＝x当x取值时，y有不唯一的值对应，故D错误，
故选D．
【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取
值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
38．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学模拟预测）下列各选项中分别有两个变量x、
y，则y不是x的函数的是（ ）A．
B．
C．y=−2x−1
D．在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量
0<x≤20 20<x≤40 40<x≤60 60<x≤80 80<x≤100
x/y
邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00
【答案】B
【分析】根据函数的概念“一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数．”即可求
解．
【详解】在函数关系中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．
B选项中，部分x值有两个y值与其对应，所以B选项中的图像y不是x的函数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的定义，熟知定义并正确判断是解题的关键．
39．（2022·上海奉贤·三模）下列所述不属于函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
B、x+2随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键．
40．（2022·安徽·合肥市五十中学东校三模）下列各图像中， y 不是 x 的函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念，观察图像，逐项进行判断即可．
【详解】解：ABC.给出一个x都对应唯一y值，y是x的函数，故ABC不符合题意
D.一个x值对应两个y值，y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念：如果给x的一个值，y都有唯一确定的值与其
对应，那么y是x的函数，是解题关键．
【考点9 函数的解析式】
41．（2022·广东·一模）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如表所示，
x ﹣1 0 1
y 3 2 1
则y与x之间的关系式可能是（ ）
3
A．y＝x B．y＝x2+x+1 C．y＝﹣x+2 D．y＝
x
【答案】C
【分析】将其中一组数值代入每一个函数式中，即可得到答案．
【详解】解：A．当x＝﹣1时，y＝x＝﹣1≠3，不符合方程y＝x，故A选项不合题意；B．当x＝﹣1时，y＝x2+x+1＝1≠3，不符合方程y＝x2+x+1，故B选项不合题意；
C．当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，符合方程y＝﹣x+2，故C选项符合题意；
3 3
D．当x＝﹣1时，y＝ ＝﹣3≠3，不符合方程y＝ ，故D选项不合题意．
x x
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数关系式，找出题目中两未知数的对应变化规律是解题的关键．
42．（2022·浙江温州·一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用
完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（ ）
2 5000
A．y＝2x B．y= C．y＝5000x D．y=
x x
【答案】D
【分析】行驶千米数=汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵汽车行驶每100千米耗油x升，
100
∴1升汽油可走 米，
x
100 5000
∴y=50× = ．
x x
故选：D．
【点睛】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是找到行驶千米数的等量关系，注意先求得一升汽油所
走的千米数．
43．（2022·广东·执信中学三模）半径为2的扇形，设其圆心角的度数为n，面积S随着n的变化而变化，
则面积S关于圆心角度数n的函数解析式为__________
π
【答案】S= n
90
【分析】根据扇形的面积公式尽快顶点结论．
n·π×22
【详解】解：由扇形的面积公式得，S= ，
360
π
∴面积S关于圆心角度数n的函数解析式为S= n，
90
π
故答案为：S= n．
90
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和函数关系式．熟记扇形的面积公式是解题的关键．
44．（2022·内蒙古·呼和浩特市启秀中学二模）一个等腰三角形周长为36cm，它的腰长为xcm，底边为ycm，那么y关于x的函数关系式为_________，腰长x的取值范围为_________．
【答案】 y=−2x+36 9<x<18
【分析】先由三角形的周长公式即可求得y关于x的函数关系式；再利用三角形的边长为正数和三边关系即
可求得自变量的范围．
【详解】根据三角形的周长公式，得：2x+y=36，即y=-2x+36，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x+36；
由三角形的两边之和大于第三边得：2x＞y即：2x＞-2x+36，
∴x＞9，
又y=-2x+36＞0，∴x＜18，
∴9＜x＜18，
∴腰长x的取值范围为9＜x＜18，
故答案为：y=−2x+36；9<x<18．
【点睛】本题结合等腰三角形的边长关系考查了一次函数，解答的关键是会根据已知列出函数关系式，会
利用三边关系求自变量的取值范围．
45．（2022·河北邯郸·模拟预测）如图，A，B，C，D是一条公路上连续的四个里程碑，已知每相邻两个
里程碑相距100米，甲从 A开始以1m/s的速度匀速走向D，2分钟后，乙从A开始以2m/s的速度匀 速
走向D．设甲行走的时间为ts，甲、乙二人走过的路程分别为 S (m)、S (m)．
1 2
（1）请直接写出 S 、S 与t之间的函数关系式；
1 2
（2）乙追上甲时的地点在哪两个里程碑之间？ 请通过计算说明；
（3）甲、乙二人在行进过程中能否同时在 B，C之间（不包含点B，C）？ 如果能，求出满足这一条件
的时间段；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）（1）S =t，S =2t−240；
1 2
（2）在 C和D之间；
（3）能，170<t<200，理由见解析
【分析】（1）根据题意求解函数关系式即可；
（2）根据解追击问题：路程相等列方程，进而解方程即可解答；
（3）根据甲、乙两人同时行进在B、C之间时的路程范围列出不等式组，进而解出不等式组的解集即可解答．
【详解】解：（1）由题意可知：S =t，
1
S =2(t−120)=2t−240；
2
（2）令 S =S ，即 t=2t−240，
1 2
解得t=240，
此时 S =240，
1
∵200<240<300，
∴乙追上甲时在 C和D之间；
（3）能，理由：根据题意得，¿，
即¿ ，
解得 170<t<200，
即当 170<t<200时，甲、乙二人在行进过程中能同时在 B、C 之间．
【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答的关键是认真审题，仔
细分析，寻找相关信息，列出等量或不等量关系解决问题．
【考点10 自变量和函数值】
46．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室二模）变量x，y的一些对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
根据表格中的数据规律，当x=−4时，y的值是（ ）
A．2 B．-2.5 C．-1.5 D．-2
【答案】D
1
【分析】根据表格数据得到函数为y= x，把x=-2代入求得．
2
1
【详解】解：据表格分析，当x增加1时，y增加 ，则可设函数的解析式为：
2
1
y= x+b，
2
将x=0，y=0代入即可得b=0，
1
则函数的解析式为：y= x，
2
∴当x=-4时，y=-2．故选：D．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是根据表格数据得到函数的解析式．
5x
47．（2022·四川·泸州国家高新区初级中学校模拟预测）函数y= 的自变量x的取值范围是______．
2x−1
1
【答案】x≠ ##x≠0.5
2
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
5x
【详解】解：函数y= 中，
2x−1
2x−1≠0，
1
解得x≠ ，
2
1
故答案为：x≠ ．
2
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整
式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根
式时，被开方数非负．
√x−2
48．（2022·辽宁·丹东市第十七中学一模）函数y= +(x−3) 0 的自变量x的取值范围是___________
x−1
【答案】x≥2且x≠3
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂底数不为0，列式计算即可得解．
【详解】解：依题意有x−2≥0且x−1≠0且x−3≠0，
解得x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变
量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根
式时，被开方数非负．
√x
49．（2022·上海闵行·二模）已知函数f (x)= ，那么f (3)=_______．
x−1
√3
【答案】
2
√x √3
【分析】由函数f (x)= ，代入f(3)= ，求解即可．
x−1 3−1√x
【详解】∵函数f (x)= ，
x−1
√3 √3
∴f(3)= = ，
3−1 2
√3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．
50．（2022·甘肃天水·二模）小泽根据学习函数的经验，对函数y=√x−1的图象与性质进行了探究．下面
是小泽的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=√x−1的自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ；
(2)下表为y与x的几组对应值：
x 1 2 3 4 5 …
y 0 1 1.41 1.73 2 …
在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)当x=6时，对应的函数值y约为 ；
(4)结合图象写出该函数的一条性质： ．
【答案】(1)x⩾1，y⩾0
(2)见解析
(3)2.24
(4)y随x的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）根据二次根式的性质即可得出结论；
（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（3）把x=6代入函数解析式，求出y的值即可；
（4）根据函数图象即可得出结论．（1）
解：函数y=√x−1的自变量x的取值范围是x⩾1，函数y=√x−1的函数值y的取值范围是y⩾0；
（2）
解：如图所示：
（3）
解：当x=6时，y=√6−1=√5≈2.236≈2.24，
故对应的函数值y约为2.24；
（4）
解：由图象可得：y随x的增大而增大．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
【考点11 函数的图象】
51．（2022·山东济宁·三模）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒
1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD−DC−CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动
同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数
关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<2，2≤x<3）分别求解y与x的解析式，从而求解．
【详解】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AN，
此时AM=3xcm，AN=xcm
1 3
y=S = ×AM×AN= x2 ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
△AMN 2 2
当1≤x<2时，M、N分别在线段BC、AN，
此时AN=xcm，△AMN底边AN上的高为AB=3cm，
1 3
y=S = ×AN×AB= x，为一次函数，图象为直线；
△AMN 2 2
当2≤x<3时，M、N分别在线段CD、AN，
此时AN=xcm，△AMN底边AN上的高为DM=(9−3x)cm，1 1 3 9
y=S = ×AN×DM= x(9−3x)=− x2+ x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
△AMN 2 2 2 2
结合选项，只有B选项符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本
题的关键．
52．（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点
F在边AB上，且BF=2AF，动点P从点F出发，以每秒1cm的速度沿F→BC→D的方向运动，到达点
D时停止．设点P运动x（秒）时，△AEP的面积为y(cm2 )，如图2是y关于x的函数图象，则图2中a，
b的值分别是（ ）
3 3
A．16，2 B．15， C．13， D．13，3
2 2
【答案】C
【详解】由图可知，当点P从点F到点B时，用了4秒，所以FB=4 ，
∵ BF=2AF，
∴AF=2 ，
∴AB=CD=6 ，
又因为当点P从点B到点C时，用了3秒，
∴BC=AD=3 ，
∴a=4+3+6=13，
∵ 点E是边AD的中点，
1 1 3 3
∴b= ×AE×AF= × ×2= ，
2 2 2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，掌握三角形的高与面积的关系是解题关键．
53．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，
直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，在实验中有3个阶段：①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出
时，③铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
①铁块在液面以下，液面的高度不变；
②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象．注意，函数值随时间的变化问题，不一定要通过求解析式来解决．
54．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出
发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合
右侧函数图像分析当x=2021时，则y的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】要对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段AB上移动；②当点P在线段BC上移动；③当点
P在线段CD上移动；④当点P在线段DA上移动；探讨得出规律即可．
【详解】解：①当点P在线段AB上移动，
1
即0＜x≤4时，y＝ AP•BC＝2x；
2
②当点P在线段BC上移动，
1 1
即4＜x＜8时，y＝ PC•AB＝ (8−x)•4＝16−2x；
2 2
③当点P在线段CD上移动，
1 1
即8＜x≤12时，y＝ PC•AD＝ (x−8)•4＝2x−16；
2 2
④当点P在线段DA上移动，
1 1
即12＜x＜16时，y＝ AP•CD＝ (16−x)•4＝32−2x，
2 2
点P的运动轨迹以16为单位循环，
当x=2021时，2021÷16=126……5，
此时y=16−2×5=6，
故答案为：C．
【点睛】本题考查动点函数问题，分段函数的应用，函数的解析式的求法以及动点的运动规律，分类探讨
是解决问题的关键．
55．（2022·浙江嘉兴·一模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗
忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可
绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)请说明点D的实际意义．
(3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
【答案】(1)y是关于x的函数；理由见解析
(2)点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%；
(3)见解析
【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答；
（2）根据点的坐标的意义即可解答；
（3）提出一条合理的建议即可．
【详解】（1）解：根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，
∴y是关于x的函数；
（2）解：点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%；
（3）解：由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知
新．
【点睛】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是
解题的关键．
