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专题 09 平面直角坐标系与函数（11 个高频考点）（强化训练）
【考点1 有序数对】
1．（2022·河北保定·二模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）
表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图
形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
【答案】B
【分析】首先根据题意确定出（0，0）的位置，其次根据轴对称图形的定义确定出位置即可．
【详解】解：由右下角方子的位置用（2，－1）表示，
得：左上角的圆子可以用（0，0）表示，
整个图形若为轴对称图形，则其所棋子放的位置在（1，1）处，
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形、平面直角坐标系的相关知识，解题关键是掌握轴对称图形定义，即一个
图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴．
2．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单
位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ,m)称为M
点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的
极坐标应记为（ ）A．(60°,8) B．(45°,8) C．(60°,4√2) D．(45°,2√2)
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=4，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×4=8，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,8)．
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解
“极坐标”的定义是解题的关键．
3．（2022·湖北宜昌·模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和（3，
4）表示的位置是（ ）A．同一行 B．同一列 C．同行同列 D．不同行不同列
【答案】B
【分析】数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此可作出判断．
【详解】解：第二列第一行用数对（2，1）表示，则数对（3，6）表示第三列，第六行，数对（3，4）表
示表示第三列，第四行．所以数对（3，6）和（3，4）表示的位置是同一列不同行．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，一般用数对表示点位置的方法是第一个数字表示列，第二个数字
表示行，也有例外，具体题要根据已知条件确定．
4．（2022·湖北黄冈·一模）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置
用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴
对称图形．她放的位置是________．
【答案】（-1，1）
【详解】试题分析：根据题目中给出的几个点的坐标可得：最右边的圆子的坐标为(0，0)，则需要构成轴
对称图形的圆子应放在(-1，1)的位置．
5．（2022·江苏扬州·一模）我们定义：平面内两条直线l 、l 相交于点O（l 与l 不垂直），对于该平面内
1 2 1 2
任意一点P，如果点P到直线l 、l 的距离分别为a、b，那么有序实数对（a，b）就叫做点P的“平面斜角
1 2
坐标”．如果常数m、n都是正数，那么在平面内与“平面斜角坐标”（m，n）对应的点共有_________
个．
【答案】4．
【详解】试题分析：根据两条相交直线把平面分成四部分，在每一个部分内都存在一个满足要求距离的坐
标解答．
试题解析：如图，直线l1，l2把平面分成四个部分，
在每一部分内都有一个“距离坐标”为（m，n）的点，
所以，共有4个．
考点：点的坐标．
【考点2 点的坐标】
6．（2022·广东·广州大学附属中学二模）点P(m+2,m−1)在y轴上，则点P的坐标是______．
【答案】(0,−3)
【分析】根据直角坐标系中坐标的性质，得m+2=0,通过求解方程得到m的值，再代入到坐标中计算，即
可得到答案．
【详解】解：∵点P(m+2,m−1)在y轴上，
∴m+2=0,
∴m=−2,
∴m−1=−3,
∴点P的坐标是(0,−3).
故答案为：(0,−3).
【点睛】本题主要考查了直角坐标系，一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中坐标的
性质．
7．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）已知点A、B、C的坐标分别A(1,5)、B(1,0)、C(5,0)，若
点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为______．
【答案】(6,5)或(1,0)
【分析】先根据A、B、C三点的坐标判断∠ABC的位置与大小，再根据点P在∠ABC的平分线上，且
PA=5，判断点P的位置，并写出点P的坐标．
【详解】解：∵A(1,5)、B(1,0)、C(5,0)
∴AB=5，且AB⊥BC
∴∠ABC=90°如图，以A为圆心，AB长为半径画弧，交∠ABC的平分线于两点
∵点P在∠ABC的平分线上，且PA=5
∴当点P在点B处时，P 的坐标为(1,0)
1
当点P在第一象限内时，由△ABP 是等腰直角三角形，可知P 的坐标为(6,5)
2 2
故答案为：(6,5)或(1,0)
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是在平面坐标内根据作图找出点P的位置．
8．（2022·四川达州·一模）若点P(2x,3x−1)到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为______．
4 6
【答案】− 或
5 5
【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．
【详解】解：当点P在第一象限¿，
1
解得：x＞ ，
3
且2x+3x-1=5，
6 1
解得：x= ＞ ，符合题意；
5 3
当点P在第二象限¿，
不等式组无解，不合题意；
当点P在第三象限¿，
不等式组的解集为：x＜0，
则-2x-3x+1=5，
4
解得：x=- ＜0，符合题意；
5
当点P在第四象限¿，
1
不等式组的解集为：0＜x＜ ，
3
故2x-（3x-1）=5，
1
解得：x=2＞ ，不合题意；
3
当点P在x轴上，则3x-1=0，
1 1
解得：x= ，此时2x= ，不合题意；
3 3
当点P在y轴上，则2x=0，解得：x=0，此时|3x-1|=1，不合题意；
4 6
故答案为：x=− 或x=
5 5
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
9．（2022·河北·模拟预测）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为
______．
【答案】(−2,3)
【分析】根据点所在的象限判断即可；
【详解】∵点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴点P的坐标是(−2,3)；
故答案是(−2,3)．
【点睛】本题主要考查了象限内点的表示，准确分析求解是解题的关键．
10．（2022·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下：当
a⩾b时，Q点坐标为(b,−a)；当a0,y <0,A∗B=(x y ,x y )，
1 1 2 2 1 2 2 1
∴x y >0,x y <0，
1 2 2 1
∴A∗B在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了运算符号的判断及点所在的象限，正确利用已知运算法则是解题关键．
14．（2022·江苏·仪征市古井中学一模）若点A（a，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b＋1）在第_____
象限．
【答案】一
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可．
【详解】解：∵点A（a，b﹣2）在第二象限，
∴a＜0，b-2＞0，
∴a＜0，b＞2，
∴-a＞0，b+1＞3＞0，
∴点B（-a，b+1）在第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限
（+，-）．15．（2022·福建·龙海二中一模）若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A
在第_____象限．
【答案】二．
【分析】根据点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，列方程求得x，y的值，结果可
得．
【详解】解：∵点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，
∴﹣3﹣（2x﹣1）＝4﹣（﹣3），
9
解得：x＝﹣ ，
2
∴点A（﹣10，5），
∴点A在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查轴对称及平面直角坐标系内点的坐标特征,熟练掌握相关知识是解题关键.
【考点4 点在坐标系中的平移】
16．（2022·江苏·射阳县第四中学三模）在直角坐标系中，点A(3,2)关于x轴的对称点为A ，将点A 向左
1 1
平移3个单位得到点A ，则A 的坐标为 _____．
2 2
【答案】(0,−2)
【分析】直接利用关于x轴对称点的坐标特点求解，然后再利用平移的性质得出A 坐标．
2
【详解】因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A
1，
所以A (3,−2) ，
1
因为将点A 向左平移3个单位得到点A
1 2
所以A (0,−2)
2
故答案为：(0,−2)．
【点睛】本题考查关于x轴对称点的坐标特点，以及坐标与图形的变化，正确掌握关于x轴对称点的坐标
特点是解题关键．
17．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1，1)、
C(3，1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次交换，如此这样，连续经
过2016次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为______．【答案】(-2014，2)
【分析】先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解．
【详解】解：∵A(1，3)、C(3，1)，
∴M(2，2)，
经过1次变换后M点的坐标为(1，-2)，
经过2次变换后M点的坐标为(0，2)，
经过3次变换后M点的坐标为(-1，-2)，
······
经过n次变换后M点的坐标为(2−n，2×(−1) n)，
则n=2016时，M点的坐标为(-2014，2) ．
故答案为(-2014，2) ．
【点睛】本题主要考查图形变换规律问题，解此题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标
特征．
18．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如图，点A，B的坐标分别为(1,2)，(4,0)，将三角形AOB沿x轴
向右平移，得到三角形CDE，已知DB=1，则点C的坐标为__________．
【答案】(4,2)
【分析】利用DB=1，B（4，0），得出 AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移中点的变化规
律求解即可． △【详解】∵点A. B的坐标分别为(1,2)、(4,0)，将 AOB沿x轴向右平移，得到 CDE，DB=1，
∴OD=3， △ △
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，
∴点C的坐标为：(4,2).
故答案为(4,2).
【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于利用平移的性质.
19．（2022·河北·模拟预测）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标
1
为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为______．
2
【答案】（1，3）．
1
【详解】试题分析：将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个
2
单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
1
∵将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移
2
1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
点睛：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．理解将正方形OABC沿着OB
1
方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位是解题的关键．
2
20．（2022·天津河西·中考模拟）如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到
△A′B′C′，(1)请画出平移后的图形△A′B′C′；
(2)并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(3)求出△A′B′C′的面积．
【答案】(1)见详解
(2)A′(4，0)，B′(1,3)，C′(2,﹣2)
(3)6
【分析】（1）先根据平移的分式确定A′，B′，C′的位置，再将其两两连线，即可；
（2）根据（1）的图形即可求解；
（3）利用割补法求解即可．
（1）
作图如下：
△A′B′C′即为所求；
（2）
由（1）中的图形，可得A′(4，0)，B′(1,3)，C′(2,﹣2)；
（3）根据网格图，构造一个矩形，如图，
1 1 1
S =3×5− ×1×5− ×3×3− ×2×2=6，
△A'B'C' 2 2 2
即所求面积为6．
【点睛】本题主要考查了坐标系和网格图以及中三角形的平移的知识．解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
【考点5 坐标与图形】
21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面上任取一个△ABC，则可以定义面积坐标：对平面内任一
点P，记S =S ，S =S ，S =S (若点P恰好在△ABC的某条边所在的直线上，则记相应三角形
1 △PAB 2 △PAC 3 △PBC
的面积为0)，则点P的面积坐标记为{s ，s ，s }．已知：在△ABC中，B(−3,0)，C(3,0)．
1 2 3
(1)如图1，若点A的坐标为(0,3)．
①写出点D(1,0)的面积坐标______；
②已知几个点的面积坐标分别为：E{3，3，3}，F{0，2，7}，G{5，5，1}，H{2，2，5}，则
其中不在△ABC内部的点是______；(2)把平面内一点M(x,y)的面积坐标记为{m ，m ，m }．
1 2 3
①如图2，当点A的坐标为(−3,3)时，若m =m ，试探究y与x之间的关系；
1 3
②当点A的坐标为(0,3√3)时，点M在以点T(3，t)为圆心，半径为1的圆上运动，若点M的面积坐标始
终满足|m +m −m |=9√3，直接写出t的取值范围．
1 2 3
【答案】(1)①{6，3，0}；②F、G
1 3 1 3
(2)①y= x+ 或y=− x− ；②t≥2+6√3或t≤−2
2 2 2 2
【分析】（1）①分别计算出△DAB，△DAC和△PBC的面积，进而得出结果；②只需验证三个面积之
和是否等于△ABC的面积且没有一个为0即可；
（2）①根据三角形面积公式表示m 和m ，列出方程，从而得出结果；②发现当⊙T在∠BAC的外部时，
1 3
满足条件，进一步求得结果．
【详解】（1）解：①∵A(0，3)，B(−3,0)，C(3,0)，D(1,0)，
1 1
∴S =S = ×4×3=6，S =S = ×2×3=3，S =S =0，
1 △DAB 2 2 △DAC 2 3 △PBC
∴点D(1,0)的面积坐标为{6，3，0}，
故答案为：{6，3，0}；
②∵E{3，3，3}，
∴S =S =S =3，
△EAB △EAC △EBC
∴点E是△ABC的重心，即E(0,1)，
∴点E在△ABC内部；
∵F{0，2，7}，
∴S =0，
△FAB
∴点F在边AB所在直线上；
∵G{5，5，1}，
∴S =5，S =5，S =1，
△GAB △GAC △GBC
1
∴G(0，− )不在△ABC内部；
3
∵H{2，2，5}，
∴S =2，S =2，S =5，
△HAB △HAC △HBC5
∴H(0， )在△ABC内部；
3
故答案为：F、G；
（2）解：①∵A(−3，3)，B(−3,0)，C(3,0)，M(x,y)，
∴AB=3，BC=6，
1 3 1
∴m =S = ×3|x−(−3)|= |x+3|，m =S = ×6|y|=3|y|，
1 △MAB 2 2 3 △MBC 2
∵m =m ，
1 3
3
∴ |x+3|=3|y|，
2
1
∴|y|= |x+3|，
2
1 3 1 3
∴y= x+ 或y=− x− ；
2 2 2 2
②如图，
当⊙O在∠CAB内部时，
S +S −S =S =9√3，
△MAB △MBC △MAC △ABC
即m +m −m =9√3，
1 3 2
∴当⊙T不在∠CAB的内部时，满足条件，如图2，在Rt△CDT中，∠DCT=30°，DT=1，
∴CT=2，
同理可得：HT′=2，
∵OA⊥x轴，CH⊥x轴，
∴∠AOB=∠HCB=90°，
∴∠ABO=∠HBC，
∴△ABO∽△HBC，
BO OA 1
∴ = = ，
BC HC 2
∵A(0,3√3)，
∴HC=6√3，
∴CT′=2+6√3，
∴t≥2+6√3或t≤−2．
【点睛】本题是阅读型题，考查了理解能力，等边三角形的性质，三角形面积公式，圆的切线性质等知识，
解决问题的关键紧扣定义，数形结合，尝试验证．
22．（2022·北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M
绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C
关于点P的“垂直图形”．(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为___________；
②若点B的坐标为(3,1)，则点A的坐标为___________；
(2)E(−3,3)，F(−2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点
F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．
【答案】(1)①(3,0)，②(−1,3)
(2)①(3+a,3+a)，②√22
【分析】(1)① ②根据“垂直图形”的定义可得答案；
(2)①过点E作EP⊥x轴于点P，过点E′作E′H⊥x轴于点H，利用AAS证明△PEG≌△HGE′得
E′H=PG=a+3，GH=EP=3，从而得出答案；②由点E′的坐标可知，满足条件的点E′在第一象限的
⊙O上，求出点E′的坐标，从而解决问题．
（1）
解：①∵点A的坐标为(0,3)，
∴点B的坐标为(3,0)，
故答案为：(3,0)；
②当B(3,1)时，如图，A(−1,3)，故答案为：(−1,3)；
（2）
解：①过点E作EP⊥x轴于点P，过点E′作E′H⊥x轴于点H，
∵∠EGE′=90°，EG=E′G，
∴∠EGP+∠E′GH=90°，∠EGP+∠E=90°，
∴∠E=∠E′GH，
∵∠EPG=∠GHE′，
∴ △PEG≌△HGE′（AAS），
∴E′H=PG=a+3，GH=EP=3，
∴OH=3+a，
∴E′（3+a,3+a）；
②如图，观察图象知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上，∵E′(3+a,3+a)，OE′=2，
∴(a+3) 2+(a+3) 2=22，a+3=√2(负值舍去)，
∴a=√2−3，
∴E′(√2,√2)，
∴EE′=√(√2+3) 2+(√2−3) 2=√22．
∴EE′的长度的最大值为√22．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，“垂直图形”的定义，坐标与图
形，求出点E′的坐标是解题的关键．
23．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点
P（x，y）、P（x，y），其两点间的距离P P =√(x −x ) 2+(y −y ) 2，同时，当两点所在的直线在
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|y﹣y|．
2 1 2 1
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
【答案】(1)AB＝13
(2)AB＝5
(3)△DEF是等腰三角形，理由见解析【分析】(1)直接套公式√(x −x ) 2+(y −y ) 2即可求解；
1 2 1 2
(2)根据题干中“当两点所在的直线平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|
2 1
y﹣y|”即可求解；
2 1
(3)套公式√(x −x ) 2+(y −y ) 2求出三角形三边的长度即可求解．
1 2 1 2
【详解】（1）解：由题意可知A、B两点间的距离为√(2+3) 2+(4+8) 2=13，
故A、B两点间的距离为13．
（2）解：由题意可知，直线AB平行y轴，
∴A、B两点之间的距离为4-(-1)=5．
（3）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：
DE=√(−2−1) 2+(2−6) 2=5，
EF=√(4+2) 2+(2−2) 2=6，
DF=√(4−1) 2+(2−6) 2=5，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点之间距离的求法，其本质是勾股定理的应用，读懂题意即可求
解．
24．（2022·江苏南京·二模）藏宝地之谜．
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，
上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P．从木桩P走到橡
树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里
打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树
B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正
当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成
土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是
徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？不妨任取一个位置作为P，根据材料画出下图．
(1)以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设
点B的坐标为(10,0)．
①若P的坐标为(6,10)，则Q的坐标为______；
②若P的坐标为(−4,8)，则Q的坐标为______；
(2)猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
(3)写出证明（2）中猜想的思路．
(4)将材料中两处“再走这么多步”同时改为______，可使（2）中的猜想仍然成立．
【答案】(1)①(0,−10)；②(0,−10)；
(2)当P在不同位置时，Q的位置不变；
(3)证明见解析；
1
(4)再走 这么多步．
2
【分析】（1）①如图1，作辅助线，构建三角形全等，证明ΔAEP≅ΔCOA(AAS)和ΔPEB≅ΔBOD，
可得结论；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，同理可得结论；
（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）如图3，设点B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，同理根据两三角形全等可得结论；
1
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走 这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．同理设点
2
B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，证明ΔAFP∽ΔCGA，ΔBFP∽ΔDEB，可得结论：当P在
不同位置时，Q的位置不变．
（1）解：①如图1，过点P作PE⊥AB于E，
∵∠PAC=∠PAE+∠CAO=90°，∠PAE=∠APE=90°，
∴∠APE=∠CAO，
∵AP=AC，∠AEP=∠AOC=90°，
∴ΔAEP≅ΔCOA(AAS)，
∴CO=AE=10+6=16，
同理得ΔPEB≅ΔBOD(AAS)，
∴OD=BE=10−6=4，
∴CD=16−4=12，
∵Q是CD的中点，
∴Q(0,−10)；
故答案为：(0,−10)；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得ΔAFP≅ΔCGA，ΔBFP≅ΔDEB，
∴CG=AF=10−4=6，AG=PF=8，DE=BF=10+4=14，BE=PF=8，
∴C(−2,−6)，D(2,−14)，∵Q是CD的中点，
∴Q(0,−10)；
故答案为：(0,−10)；
（2）
解：猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）
解：如图3，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得ΔAFP≅ΔCGA，ΔBFP≅ΔDEB，
∴CG=AF=x+m，AG=PF= y，DE=BF=m−x，BE=PF= y，
∴C(y−m,−x−m)，D(m−y,x−m)，
∵Q是CD的中点，
∴Q(0,−m)；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
（4）
1
解：将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走 这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．理由如下：
2
如图4，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为(m,0)，A(−m,0)，P(x,y)，
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，同①得ΔAFP∽ΔCGA，ΔBFP∽ΔDEB，相似比为2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴CG= AF= x+ m，AG= PF= y，DE= BF= m− x，BE= PF= y，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
∴C( y−m，− x− m)，D(m− y， x− m)，
2 2 2 2 2 2
∵Q是CD的中点，
1
∴Q(0,− m)；
2
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
1
故答案为：再走 这么多步．
2
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全
等三角形的判定与性质，中点坐标公式，三角形相似的性质和判定等知识；本题综合性强，熟练证明三角
形全等是解题的关键．
25．（2022·广东中山·三模）在直角坐标系中，把横、纵坐标都为整数的点称为整点，顶点都是整点的三
角形称为整点三角形．如图，已知整点A(1,3)，B(3,4)，请在所给网格中按要求画三角形．
(1)在图1中画出一个整点△OBP，使得点P在第一象限，横、纵坐标之和等于5，且点A在△OBP的外部．
(2)在图2中画出一个整点△OBQ，使得点Q在第一象限，横、纵坐标的平方和等于17，且点A在△OBQ
的内部．【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）设P(x，y)，由题意知x+y=5，求出整数解即可；
（2）设Q（x，y）由题意知x2+ y2=17，求出满足条件的整数解即可．
(1)
解：设P(x，y)，由题意知x+y＝5，
∵点P是在第一象限的整点，
∴P（1，4）或（4，1）或（2，3）或（3，2）
满足条件的整数点P（3，2）或（4，1）或（2，3）的图像分别为：如图所示：（任意一个图像即可）
(2)
解：设Q（x，y）由题意知x2+ y2=17，点Q是在第一象限的整数点，
∴Q（1，4）或（4，1）
∴满足条件的点的整数点Q(1，4)作图如下：
【点睛】本题考查了表格作图、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会转化的思想
思考问题．
【考点6 点的坐标规律探索】
26．（2022·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，
D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处．
A．(3,−2) B．(−1,−1) C．(1,−2) D．(1,1)
【答案】D
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD及矩形ABCD的周长，由
2022=288×(14÷2)+1.5+2+1.5+1，可得出当t=2022秒时瓢虫在点D左侧2个单位处，再结合点D的
坐标即可得出结论．
【详解】解：∵A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，
∴AB=CD=3，AD=BC=4
∴C ABCD=2（AB+AD）=14．
矩形
∵2022=288×(14÷2)+1.5+2+1.5+1，
∴当t=2022秒时，瓢虫在点D左侧2个单位处，
∴此时瓢虫的坐标为(1,1)．
故选：D
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t=2022秒时瓢虫在点D处是解题的关
键．
27．（2022·四川省渠县中学一模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点：（1，0），（2，0），
（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…按图中“→”所指方向排列，根据这个规律可得第2022个
点的坐标为（ ）
A．（63，3） B．（63，4） C．（64，3） D．（64，5）【答案】D
【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的
点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数，
据此求解．
【详解】解：把第一个点(1，0)作为第一列，(2，1)和(2，0)作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数，
n(n+1)
则n列共有 个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
2
因为1+2+3+⋯+63=2016，
则第2022个数一定在第64列，由下到上是第6个数．
因而第2022个点的坐标是（(64，5)．
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，探究规律，解此题的关键是根据图形得出规律．
28．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x
1 1 1
轴，与直线l交于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再作A B ⊥x轴，交直线l于
1 1 2 2 2
点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；……按此作法进行下去，则点A 坐标为
2 2 3 3
__________，点A 坐标为__________.
n
【答案】 (4,0) (2n−1,0)
【分析】根据直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x轴，可得A (2,0)，同理可得A (4,0),A (8,0)
1 1 1 2 3 4
…，依规律可得点A 坐标为(2n−1,0)．
n
【详解】∵直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x轴，
1 1 1
∴当x=1时，y=√3，即B (1,√3)，
1∴tan∠A OB =√3，
1 1
∴∠A OB =60°,∠A B O=30°，
1 1 1 1
∴OB =2OA =2，
1 1
∵以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ，
1 2
∴A (2,0)，
2
同理可得，A (4,0),A (8,0)…
3 4
∴点A 坐标为(2n−1,0)，
n
故答案为：(4,0)，(2n−1,0)．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性，也可采用解直角三
角形教学解答，在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意．
29．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，在平面直角坐标系中，从点
P (−1,0),P (−1,−1),P (1,−1),P (1,1),P (−2.1),P (−2,−2)，…依次扩展下去，则P 的坐
1 2 3 4 5 6 2022
标为_______．
【答案】(−506，−506)
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，
被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点P 在第三象限，再根据第三项象限点
2022
的规律即可得出结论．
【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，
∵2022÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，
∴点P 在第三象限，
2022
又∵第三象限的点P（-1，-1），点P（-2，-2），点P （-3，-3），
2 6 10
∴点P （-506，-506）．
2022
故答案为：（-506，-506）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规
律，然后进一步推理得出点的坐标．
30．（2022·河北廊坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…．在x轴正半轴上，点B ，
1 2 3 1
√3
B ，B ，…，在直线y= x(x≥0)上．已知点A (1,0)，且△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均
2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
为等边三角形．
（1）线段B B 的长度为_________；
1 2
（2）点A 的坐标为_________；
2022
（3）线段B B 的长度为_________．
2021 2022
【答案】 √3 （22021，0） 22020√3
√3
【分析】设等边 BnAnAn 的边长为an，由y= x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的
+1 3
△
性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn =90°，从而得出BnBn =√3an，设An的坐标为（an，0），由点A
+1 +1 1
的坐标为（1，0），得到a=1，a=1+1=2，a=1+a+a=4，a=1+a+a+a=8，…，an=2n-1．即可求得A 的
1 2 3 1 2 4 1 2 3 2022
坐标BB=√3a=√3，B B =√3a =√3×22020=22020√3．
1 2 1 2021 2022 2020
【详解】解：设等边 BnAnAn 的边长为an，
+1
△ √3
∵点B，B，B，…是在直线y= x（x≥0）上的第一象限内的点，
1 2 3 3
∴∠AnOBn=30°，
又∵△BnAnAn 为等边三角形，
+1∴∠BnAnAn =60°，
+1
∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn =90°，
+1
∴BnBn =OBn=√3an，
+1
∵点A 的坐标为（1，0），
1
设An的坐标为（an，0），
∴a=1，a=1+1=2，a=1+a+a=4，a=1+a+a+a=8，…，
1 2 3 1 2 4 1 2 3
∴an=2n-1．
∴A （22021，0）．
2022
∴BB=√3a=√3，B B √3a =√3×22020=22020√3．
1 2 1 2021 2022 2021
故答案为：BB=√3a=√3，A A =22020， B √3a =√3×22020=22020√3．
1 2 1 2021 2022 2021 2022 2021
【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的
关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn =an=2n-1．
+1
【考点7 常量与变量】
31．（2022·云南昭通·二模）变量x，y的一些对应值如下表所示：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
1 1 1 1
y … 1 －1 − − …
3 2 2 3
1 1
根据表格中的数据规律，当x＝6时，y的值为（ ）A．－6 B．6C．− D．
6 6
【答案】C
【分析】观察表中数据，易得xy=−1，由此进行求解．
【详解】解：观察表格中的数据，易得xy=−1，
1 1
∴当x=6时，y=− =− ．
x 6
故选：C．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，解决本题的关键是能够从表格中找出两个变量之间的等
量关系．
32．（2022·山东济南·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】①根据正方形的周长公式判断即可；②根据“路程=速度×时间”判断即可；③根据“水箱中的剩
余水量=水箱的水量−0.8x”判断即可．
【详解】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y=4x，故①符合题意；
汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y=30x，故②符合题意；
水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量=水箱
的水量−0.8x，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就
能够通过图象得到函数问题的相应解决．
33．（2022·河南·辉县市太行中学模拟预测）科学研究表面，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸
长． 某同学测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的重量x(kg)之间的关系如下表所示：
x（kg） 0 1 2 3 4 5
y（cm） 20 20.5 21 21.5 22 22.5
下列说法不正确的是( )A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．y与x的关系表达式是y=0.5x
D．所挂物体的重量为3.6kg时，弹簧的长度为21.8cm
【答案】C
【分析】由表中的数据进行分析发现：所挂物体的重量增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为20cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
【详解】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A选项不符合题意；
B、所挂物体的重量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm，故B选项不符合题意；
C、y与x的关系表达式是y=0.5x+20，故C选项符合题意；
D、由C知，则当x=3.6时，y=21.8，即所挂物体的重量为3.6kg时，弹簧的长度为21.8cm，故D选项不
符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的概念，函数表达式，根据表格求得函数关系式是解题的关键．
34．（2022·广东·深圳市龙岗区布吉贤义外国语学校模拟预测）我们知道：“距离地面越高，气温就越
低．”下表表示的是某地某时气温t（°C ）随高度h（km）变化而变化的情况：
距离地面高度（km） 0 1 2 3 4 5
温度（°C） 20 14 8 2 −4 −10
(1)上表中自变量是_______，因变量是_______；
(2)请说明温度是怎样随距离地面高度的增加而变化的；
(3)已知某山顶的气温为−22℃，求此山顶距离地面的高度．
【答案】(1)高度，温度．
(2)温度随着距离地面高度的增加而降低．
(3)7km
【分析】（1）根据表格数据变化即可得出结果；
（2）由表格中的数据变动可直接得出结果；
（3）由表格可知当高度每上升1km时，温度下降6℃，然后计算即可．
【详解】（1）解：上表反映了温度和高度两个变量之间的关系．高度是自变量，温度是因变量．
故答案为∶ 高度，温度；
（2）解：由表格可知温度随着距离地面高度的增加而降低．
（3）解：由表格可知当高度每上升1km时，温度下降6℃，
所以当高度为6km时，温度为−16℃，当高度为7km时，温度为−22℃，
所以此山顶距离地面的高度是7km．
【点睛】题目主要考查自变量与因变量及通过表格得出二者之间的关系，理解题意，根据表格数据得出相
关信息是解题关键．35．（2022·陕西安康·模拟预测）一种水果的总售价y（元）与售出水果的质量x（千克）之间的关系如下
表：
售出水果的质量x（千
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
克）
总售价y（元） 0 3 6 9 12 15 18
(1)自变量是______，每千克水果的售价是______元．
(2)y与x的关系式为____________．
【答案】(1)售出的水果的质量；6；
(2)y=6x
【分析】（1）根据自变量的定义即可得到答案；根据售价=总售价÷售出的质量即可得到每千克水果的售
价；
（2）根据表格中的数据即可得到答案．
（1）
解：由题意得自变量为售出水果的质量，每千克水果的售价是3÷0.5=6元，
故答案为：售出的水果的质量；6；
（2）
解：由表格中的数据可知，售出的水果每增加0.5千克，总售价就增加3元，
x
∴y=0+ ×3=6x，
0.5
故答案为：y=6x．
【点睛】本题主要考查了自变量的定义，函数关系式，熟知相关知识是解题的关键．
【考点8 函数的概念】
36．（2022·湖南·长沙市华益中学一模）下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】依据函数的定义即可判断．
【详解】选项B中，当x＞0时对每个x值都有两个y值与之对应，不满足函数定义中的“唯一性”，而选
项A、C、D对每个x值都有唯一y值与之对应．
故选B．
【点睛】本题考查了函数的定义．判定依据是看是否满足定义中的“任意性”、“唯一性”．
37．（2022·广西河池·中考模拟）下列关系式中，y不是自变量x的函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝|x| D．y2＝x
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定
函数的个数．
【详解】A、y＝x当x取值时，y有唯一的值对应；
B、y＝x2当x取值时，y有唯一的值对应；
C、y＝|x|当x取值时，y有唯一的值对应；
D、y2＝x当x取值时，y有不唯一的值对应，故D错误，
故选D．
【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取
值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
38．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学模拟预测）下列各选项中分别有两个变量x、
y，则y不是x的函数的是（ ）A．
B．
C．y=−2x−1
D．在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量
0
