文档内容
专题 09 圆的综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 利用圆性质求角的度数】................................................................................................................1
【考向二 利用圆性质求线段的长度】............................................................................................................3
【考向三 利用圆性质求圆的半径】..............................................................................................................11
【考向四 利用圆性质求线段的最值】..........................................................................................................12
【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】..................................................................................................15
【考向五 切线的证明综合应用】..................................................................................................................16
【直击中考】
【考向一 利用圆性质求角的度数】
例题：（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形 内接于 ， ，A为
中点， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，A为 中点求出 ，再根据圆内接四边形的性质得到
，即可求出答案．
【详解】解：∵A为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选B．
【点睛】此题考查圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的
圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分
别交 于 两点，连结 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理解决问题即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图， 、 、 、 四个点均在 上， ， ，
则 的度数为___________．
【答案】 ## 度
【分析】首先连接 ，由 、 、 、 四个点均在 上， ， ，可求得
与 的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．
【详解】解：连接 ，
， ，
，，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意
掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，已知四边形 是 的一个内接四边形，且
，则 _______．
【答案】 ##55度
【分析】先根据圆周角定理求出 的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】解： ，
．
四边形 是圆内接四边形， 是四边形 的一个外角，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容，熟知圆内接四边形的任意一个外角等于
它的内对角是解题的关键．
【考向二 利用圆性质求线段的长度】
例题：（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A，B，C，D在 上，点A为 的中点，交弦 于点E．若 ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据圆周角定理求得 ，在 中可得 ，可得 的
长度，故 长度可求得，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵点A为 的中点，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，解直角三角形，作出合适的辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以
为直径的 与 相切于点 ，点 、 在 上，连接 、 、 ，连接 并延长交 于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若点 是弧 的中点， 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据切线的性质可得 ，再由 为 的直径，可得 ，
从而得到 ，再由圆周角定理，即可求证；
（2）根据点 是弧 的中点，可得 ，再由 ，可得 ，从而得到
，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 与 相切，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵点 是弧 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
解得： ，
即 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得
．
2．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图， 与 的 边相切于点 ，与 、 边分别交于点 、
， ， 是 的直径．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据平行线和等腰三角形的性质可得
，再利用“边角边”证明 ，根据全等三角形的性质得到
，即可证明 是 的切线；
（2）设 的半径为 ，则 ，根据勾股定理解 求出r，进而求出 的长度，
再根据相似三角形的性质得到 的长度，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
与 的BC边相切于点B， 是 的直径，
．
，
， .
，
，，
在 与 中，
，
，
，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为r，
．
，
．
，
，
，
解得： ，
．
， ，
，
，
，
，
由（1）知， ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，F是 延
长线上一点，连接 ， ，且 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， 是 的直径，则 ，得到 ，由 得
到 ，又由 得到 ，即可得到结论；
（2）解直角三角形得到 ， ，得到 ，再证明 ，得到 ＝ ＝ ＝
，设 ， ， ，进一步求得 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ．
∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设 ， ， ，
又∵ ，
即 ，
解得 （取正值），
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌
握相关定理是解题的关键．
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图， 为 的直径， 为弦，过点C的切线与
的延长线交于点P，E为 上一点，且 ，连接 并延长交 于点H．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ,由切线的性质可知 ,再证明 ,则 ,可得
；（2）连接 ,根据 为 的直径得 ，根据 得 ，得
，利用勾股定理 ，解得 或 （舍去），则 ，证明
，则 ，设 ，则 ， ，可得
，解 ，则 ， ，由（1）可得 ， ，从而可得
．
【详解】（1）解：如图①，连接 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
与 相切，
，
．
（2）解：如图②，连接 ，为 的直径，
，
，
，
，
，
，解得 或 （舍去），
，
为切线，
．
为 的直径，
，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，解 ，
， ，由（1）可得 ，
，
．
【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股
定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果．
【考向三 利用圆性质求圆的半径】
例题：（2022·福建福州·校考一模）如图，四边形 内接于 ， ， ，则 的半
径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出 ，由圆周角定理得出 ，根据
可得出答案．
【详解】连接 ， ，
∵四边形 内接于 ，
∴
∴
由勾股定理得：
∵ ，
∴
∴ 的半径为：
故选：B．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
1．（2022·福建福州·校考一模）如图， 为 的直径，P为 延长线上的一点，过P作 的切线 ，
A为切点， ，则 的半径等于___________．【答案】3
【分析】连接 ，因为 是 的切线，得 ，结合已知在 中运用勾股定理即可求解．
【详解】连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
，
在 中，
，
即 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，点A，B，C在 上， ，
，则 的半径为 _____．
【答案】
【分析】过点A作 交 的延长线于点E，连接 ，先求出 ，则 ，利用等腰直角三角形的性质得到 ，则 ，利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】解：过点A作 交 的延长线于点E，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，
正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．（2022·云南文山·统考三模）如图，在 中， ，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、
E三点作 ，交 延长线于点F， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)当 与 相切于点D时，求 的半径；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到 ，即可证明；
（2）连接 ，过点O作 ，垂足为M，求出 ， ，再证明 ，
从而求出求 的半径
（3）过点D作 ，垂足为H，过点B作 ，垂足为G，利用等积法求出
，设 ，则 ，利用 ，即可求出 的值．
【详解】（1）∵四边形 是⊙O的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）连接 ，过点O作 ，垂足为M，
，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
在 中， ，
∵ 与 相切于点D，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ 的半径为 ；
（3）过点D作 ，垂足为H，过点B作 ，垂足为G，
∵ 的面积 ，
∴ ，
，
，
∵ ，
，
∴ ，
，
，
∴设 ，则 ，
由（1）得： ，，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能够
根据题目的条件，进行推理证明．
【考向四 利用圆性质求线段的最值】
例题：（2022·安徽合肥·校联考三模）如图， 是 的直径， ，点 在 上，
是 的中点， 是直径 上的一动点，若 ，则 周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据动点最值，将军饮马模型，如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
周长为 ，由对称性知 周长为 ，
根据两点之间线段最短可知 周长的最小为 ，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质
进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，则点 在 上，连接 交 于 ，
由对称性知 ，周长为 ，
根据两点之间线段最短可知 周长的最小为 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 周长的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，
掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东江门·校考一模）矩形 中， ， ，点P为矩形内一个动点且满足
，则线段 的最小值为________．
【答案】 ##
【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得 ，所以P点应该在以 为直径的圆上，根据两边
之差小于第三边及三点共线即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵四边形 为矩形，
， ，
，
，
，
，
∴点P在以 为直径的 上，在 中， ， ，
由勾股定理得， ，
，
∴当P ，D ，O三点共线时， 最小，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解题的
关键．
2．（2022·广东江门·校考一模） 中， ， ，点 为 的对称轴上一动点，
过点 作 与 相切， 与 相交于点 ，那么 的最大值为______________．
【答案】 ##
【分析】设 的对称轴交 于F，连接 ，根据圆周角定理及题意得出点E在以 为直径的圆上，
由勾股定理得出 ，结合图形即可得出最大值．
【详解】解：设 的对称轴交 于F，连接 ，
∵ ，
∴ 的对称轴 ，
∴ 切 于F，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助
线是解题关键．
【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】
例题：（2022·广东江门·校考一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，根据 ，求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的
关键是学会利用分割法解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为 的扇形内，以 为直径作半
圆，交弦 于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知 为直径，则 ，在等腰直角三角形 中， 垂直平分 ， ，
为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形 的面积与 的面积之差．
【详解】解：在 中，AB 2 ，
∵ 是半圆的直径，
∴ ，
在等腰 中， 垂直平分 ， ，
∴D为半圆的中点，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， 是 中点，以点 为圆心，
为半径作弧交 于点 ，以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，则图中阴影部分面积的差
为______．
【答案】
【分析】根据图形可以求得 的长，然后根据图形即可求得 的值．
【详解】解： 在矩形 中， ， 是 中点，，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
3．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图， ， 分别是 的直径和弦，半径 于点 ．
过点 作 的切线与 的延长线交于点 ， ， 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，可以证得 ，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到
，即 ，即可证得 是 的切线；
（2）根据垂径定理得到 ，根据切线的性质得到 ，求得
，根据等腰三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到
，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的切线， 是 的直径，，
于点 ，
，
，
在 和 中，
，
（SAS），
，
，
是 的半径，
是 的切线．
（2）解： 于点 ，
，
， 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，
正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，Rt△ABC中， ， ， 为 上一点， ，以
为圆心，以 为半径作圆与 相交于点 ，点 是⊙O与线段BC的公共点，连接 ，并且 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由 是直径，得出 ，进而得出 ，由圆
周角定理得出 ，进而得出 ，然后得出 ，再证明
，得出 ，再证明 是等边三角形，进而得出 ，证明 ，
即可得出 ，即可得出结论．
（2）先求出等边三角形 的面积为： ，由（1）可得出 ，求出扇形
的面积为： ，再由勾股定理得出 ，求出 的面积为： ，然后
可求得阴影部分的面积．
【详解】（1）如图，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是⊙O的切线．
（2）∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 的面积为： ，
∵ ，
∴扇形 的面积为： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴由勾股定理可得： ，
∴ 的面积为： ，
∴阴影部分的面积为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，正确作辅助线是解
题的关键．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 ， 为 的直径，过点A作弦 垂直于直径
于F，点B恰好为 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见详解；
(2)2；
(3) ．
【分析】（1）连接 ， ， 为 的直径，得到两个直角及两条线段相等，再根据弧的中点得到
弧相等，从而等到角相等，证明两个三角形全等即可得到答案；
（2）连接 ，根据弧的中点得到弧相等，从而等到圆周角圆心角的关系，结合平角 ，求出
的度数，在 中根据勾股定理即可得到答案；
（3）由（2）可得圆心角度数直接求扇形面积，再算出 的面积即可得到阴影部分面积．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， 为 的直径，
∴ ， ，
∵点B是 的中点，
∴ ，
∴ ，在 与 中，
∵ ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵点B是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 垂直于直径 于F， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
解得： ；
（3）由（2）可得，
，
在 中，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角
形和等边三角形是解题的关键．
【考向五 切线的证明综合应用】
例题：（2022·湖南株洲·校考二模）如图，在菱形 中， 是对角线 上一点 ， ，
垂足为 ，以 为半径的 分别交 于点 ，交 的延长线于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 是 的中点， ， ．
①求扇形 的面积；
②求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②
【分析】（1）过点 作 于点 ，证明 即可；
（2）①先求出 ，再求出 ， ，代入扇形面积公式即可；
②过 作 ，由 ，对应边成比例求出 的长．
【详解】（1）解：证明：如图，过点 作 于点 ，
是菱形 的对角线，
，， ，
，
是 的切线．
（2）① 是 的中点， ，
，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
扇形 的面积 ；
②如图，过 作 于点 ，
， ， ，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
．【点睛】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，
关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的性质以及三角形相似的证明与性质的应用，特别是菱形
的性质．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，点 为
延长线上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据圆周角定理得出 ，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明
为直角即可；
（2）通过证得 ，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接 ， ，
是直径，
，
，
，
，．
，
，
，
，
又 是 的半径
是 的切线；
（2） ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
， ，
，
，即
， ，
，
的半径为7．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，
解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
2．（2022·广东云浮·校联考三模）如图1，⊙O是 的外接圆， 是直径， ， 交⊙O于
点E，且 ．(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若点E为线段 的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；
(3)如图2，作 于点F，连接 交 于点G，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理得出 ，再由等量代换得出 ，利用切线的判定即可证
明；
（2）连接 ，根据等边三角形的判定和性质得出 为等边三角形，再由平行四边形及菱形的
判定证明即可；
（3）根据相似三角形的判定得出 及 ，再由其性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是⊙O的直径，
，
， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ 为⊙O的切线；
（2）证明：连接 ，如图所示，∵
∴ 为等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵
，
∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
而 ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查切线的判定及圆周角定理，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
