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专题 09 三点共线问题
一、【知识回顾】
【三点共线模型】
①函数模型：构建平面直角坐标系，求出三个点坐标，其中两个点构建一次函数模型，判断
第三个点是否在函数图像上，满足则共线
②平角模型
如图，要证明A、B、C三点共线，可以选择一条过 B点的直线PBQ，并连接AB、CB，证明
∠ABP与∠CBP互为邻补角，即∠ABP+∠CBP=180°
③平行线模型
如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AB∥DE，在证明BC∥DE
④垂线模型
如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AC⊥MN，在证明A⊥MN
【三线共点模型】
①证明两条线的交点，在第三条直线上
②证明三条线中两条线的交点和另外两条线的交点是同一个
二、【考点类型】
考点1：三点共线
典例1：（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
将 绕点B按顺时针方向旋转得到 ，当点E恰好落在线段 上时，连接 ， 的平分
线 交 于点F，连接 ．(1)求 的长；
(2)求证：C、E、F三点共线．
【答案】(1) ；
(2)见解析
【分析】（1）将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，可得 ， ，从而可求
，由 ， 平分 ，可得 是 中点， 即可得答案；
（2）连接 ，先证 ，再用 得 ，从而证明
即可．
【详解】（1） ， ， ，
，
将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
， ， ， ，
， ，
，
平分 ，且 ，
，
中， ；
（2）连接 ，如图：由（1）知： 平分 ，且 ，
， ，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
、 、 三点共线．
【点睛】本题考查直角三角形性质及应用，涉及勾股定理、旋转变换、等腰三角形性质等知识，解题的关
键是掌握定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式1】（2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，
，将 绕点 顺时针旋转一定的角度 得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， ，连接
．(1)如图 ，当点 恰好在 上时，求 的大小；
(2)如图 ，若 ，点 是 的中点，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
(3)如图 ，若点 为 中点， 求证： 、 、 三点共线． 求 的最大值．
【答案】(1)
(2)四边形 是平行四边形，详见解析
(3)①详见解析；②4
【分析】（1）由旋转的性质可得 ， ， ，由等腰三角形的性
质可求 ，即可求解；
（2）由旋转的性质可得 ， ， ， ，由“ ”可证
，可得 ，即可求解；
（3） 通过证明点 、点 、点 、点 四点共圆，点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，可得
， ，可得结论；
由直角三角形的性质可求 ，由圆中直径最大可求解．
【详解】（1）解： 将 绕点 顺时针旋转一定的角度 得到 ，
， ， ，
，
；
（2）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
点 是边 中点，
，
，，
，
是等边三角形，
，
绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ， ，
， 为等边三角形，
，
， ， ，
，
，
，
而 ，
四边形 是平行四边形；
（3） 证明：如图 ，连接 ， ， ，
将 绕点 顺时针旋转一定的角度 得到 ，
， ，
为 中点，
，
，
而 ，
点 、点 、点 、点 四点共圆，
，，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
，
，
点 ，点 ，点 三点共线；
解：在 中， ， ， ，
，
点 、点 、点 、点 四点共圆， ，
是直径，
最大值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边
形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式2】（2021春·福建厦门·九年级校考阶段练习）抛物线C ：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为A，抛物
1
线C ：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，其中m≠﹣2，抛物线C 与C 相交于点P．
2 1 2
(1)当m＝1时，求抛物线C 的顶点坐标；
1
(2)已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；
(3)设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．
【答案】(1)抛物线C 的顶点坐标为（1，4）
1
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将m＝1代入抛物线C ：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3，先按照x＝﹣ 求得抛物线C 的顶点横坐
1 1
标，再将横坐标代入解析式求得纵坐标即可；
（2）先得出A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），再用待定系数法求得直线AB的解析式，然后将点C
的横坐标代入直线AB的解析式，计算得出y值等于点C的纵坐标即可证得结论；
（3）联立 ，求得方程组的解，从而可用含m的式子表示出点P的坐标，将
点P的纵坐标配方，由二次函数的性质可得答案．
（1）解：当m＝1时，抛物线C ：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可化为：y＝﹣x2+2x+3，
1
∴其顶点横坐标为：x＝﹣ ＝1，
将x＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣1+2+3＝4，
∴当m＝1时，抛物线C 的顶点坐标为（1，4）；
1
（2）
证明：∵抛物线C ：
1
y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3
＝﹣（x﹣m）2+m+3，
∴A（m，m+3）；
∵抛物线C ：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，
2
∴B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1）代入，得
，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝x+3＝﹣2+3＝1，
∴点C（﹣2，1）在直线AB上，
∴点A，B，C三点共线；
（3）
解：联立 ，
把①代入②，得：﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1，
解得x＝﹣ ，
把x＝﹣ 代入①，得：
y＝﹣ +2m×（﹣ ）﹣m2+m+3＝﹣m2﹣4m﹣ ，∴方程组的解为： ，
∴点P的坐标为（﹣ ，﹣m2﹣4m﹣ ），
∴点P的纵坐标q＝﹣m2﹣4m﹣ ＝﹣（m+2）2+ ，
∵m≠﹣2，-1＜0，
∴q的取值范围是q＜ ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线的顶点坐标的求法、待定系数法求函数的解析式、三点
共线的证明及二次函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期末）如图，已知矩形ABCD中， 于点E，
．
(1)若 ，求CE的长；
(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质以及等角的余角相等可得 ，进而可得 ，列出
比例式代入数值，即可求得 ；
（2）根据题意点C关于AD的对称点为F，由（1）可得 ，根据对称可得C，D，F三点共线，
进而根据矩形的性质可得 ， ，证明 ，得到 ，即可证
明 ，即B，E，F三点共线.
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
.，
.
，
，
，
.
， ，
.
.
.
(2)
由（1）得 .
，
.
.
∵点C与点F关于AD对称，
， .
，∴C，D，F三点共线．
．
∵四边形ABCD是矩形，
， .
， .
， .
.
，
∴B，E，F三点共线.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
考点2：三线共点
典例2：（2021·福建·统考中考真题）如图，已知线段 ，垂足为a．
（1）求作四边形 ，使得点B，D分别在射线 上，且 ， ， ；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形 的边 的中点，求证：直线 相交于同一点．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据 ，点B在射线 上，过点A作 ；根据等边三角形性质，得 ，
分别过点A、B， 为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；
（2）设直线 与 相交于点S、直线 与 相交于点 ，根据平行线和相似三角形的性质，得
，从而得 ，即可完成证明．
【详解】（1）作图如下：四边形 是所求作的四边形；
（2）设直线 与 相交于点S，
∵ ，
∴ ，
∴
设直线 与 相交于点 ，
同理 ．
∵P，Q分别为 的中点，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点S与 重合，即三条直线 相交于同一点．
【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键
是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．
【变式1】（2020·福建·统考中考真题）如图， 为线段 外一点．
（1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形 中， ， 相交于点 ， ， 的中点分别为 ，求证：
三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；
(2)通过证明角度之间的大小关系，得到 ，即可说明 三点在同一条直线上．
【详解】解：（1）
则四边形 就是所求作的四边形．
（2）∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
∵ 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，∴ ．
连接 ， ，又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵点 在 上∴ ，∴ ，∴ 三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、
空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
巩固训练
、单选题
1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段
CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则 ；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4 ﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4 ﹣4；其中正确有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】证明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理可判断①，证明DP⊥EC，结
合BF⊥DP，可判断②，当E，P，F共线时，求解∠DPC＝∠DPE＝ ． 在CD上取一
点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝ ，DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝ x，可得 x+x＝
4，解方程可判断③，连接CE，BD．由③可知，当CF＝4 ﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝ ，证明点E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：①如图1中，延长DP交BF于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，
在△DCP和△BCF中，
，
∴△DCP≌△BCF（SAS），
∴∠CDP＝∠CBF，
∵∠CPD＝∠BPH，
∴∠DCP＝∠BHP＝90°，
∴DP⊥BF，故①正确．
②∵C，E关于DP对称，
∴DP⊥EC，
∵BF⊥DP，
∴ ，故②正确．
③如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝ ．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝ ，
∴
∴∠JDP＝∠JPD＝ ，
∴DJ＝JP，
设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝ x，
∴ x+x＝4，
∴x＝4 ﹣4，
∴CF＝4 ﹣4，故③错误，
④如图3中，连接CE，BD．
由③可知，当CF＝4 ﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝ ，
∴∠CDE＝ ，
∴点E在DB上，
∵A，C关于BD对称，
∴EA＝EC，∵∠ECF＞∠EFC，
∴EF＞EC，
∴EF＞EA，
∴此时△AEF不是等腰三角形，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，二次根
式的除法运算，轴对称的性质，熟练的应用以上知识解题是关键．
2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AD BC，AB CD，E在AD上．AD＝m，
AE＝n（m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落
在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（ ）
A．m+ n B． C． D．m﹣n
【答案】D
【分析】连接DD′，证明∠EFD是直角，然后证明△BEF和△EFE全等即可得出结论．
【详解】解：如图，
连接DD′，
∵D、F、D′三点共线，四边形EFC′D′是由四边形EFCD翻折得到，
∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF，
∴∠EFD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEB＝∠NEB，
∴∠BEF＝90°，
在△BEF和△DFE中，
，
∴△BEF≌△DFE（ASA），
∴EF＝ED，
∵AD＝m，AE＝n，
∴EF＝ED＝m﹣n．
故选：D．
【点睛】本题结合矩形考查了折叠变换，熟知折叠的性质并灵活运用是解题的关键，折叠是一种对称变换，
它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2 ，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，
E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】 ，先证明 ，得出 ， ，得出
，过点 作 ，在 中，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，即可求
解．
【详解】解：连接 ，在 和 ，
PA，PB，分别切⊙O于点A，B，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
又 ，
，
，
，
过点 作 ，如下图
根据等腰三角形的性质，
点 为 的中点，，
在 中，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的切线，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，
掌握切线的性质来求解．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，将
Rt△ABC绕点C顺时针旋转到Rt△A’B’C．当A’、B’、A三点共线时，AA’=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质，可得BC的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C的长，∠A′、
∠A′B′C，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判定，可得AB′，根据线段的和差，
可得答案．
【详解】解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得
∠BAC=30°，BC=3．
由旋转的性质，得
A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．
由等腰三角形的性质，得
∠CAB′=∠A′=30°．由邻补角的定义，得
∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．
由三角形的内角和定理，得
∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．
∴∠B′AC=∠B′CA=30°，
AB′=B′C=BC=3．
A′A=A′B′+AB′=6+3=9，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，利用等腰
三角形的判定得出AB′=B′C是解题关键．
5．（2022秋·山东日照·八年级统考期中）如图，已知 和 都是等边三角形，且 、 、 三
点共线． 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连结 ．以下五个结论：①
；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤ ．其中正确结论的有
（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，则①正确；
②∵∠ACB=∠DCE=60°
∴∠BCD=60°
∴△DCE是等边三角形
∴∠EDC=60°=∠BCD
∴BC//DE∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+ ∠DEO=∠DEC=60°，②正确；
③∵∠DCP=60°=∠ECQ
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ
∴△CDP≌△CEQ（ASA）
∴CР=CQ
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴△PC2是等边三角形，③正确；
④∠CPQ=∠CQP=60°
∴∠QPC=∠BCA
∴PQ//AE，④正确；
⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）
∴AP=BQ，⑤正确．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的
判定与性质是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在正方形 中，点E在 上， ，连接 ，
取 中点F，过F作 且使得 ，连接 并延长，将 绕点C旋转到 ，当
， ， 三点共线且 时， ______．
【答案】
【分析】解：如图，过 作 于 交 于 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，证
明 ， ，设 ，求解 ，求解 ，， ，证明 ，
，过 作 于 ，求解 ，
， ，可得 ，过 作 于 ，可得
，再解直角三角形可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 交 于 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，
∵ 中点为F， ， ，
∴ ， ，
设 ，
∵正方形 中， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由辅助线可得：四边形 为矩形，
∴ ， ，
由 ，
∴ ， ，
∴ ，
过 作 于 ，
由 ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
过 作 于 ，
由旋转可得： ，
∴设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平
分线的性质，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，本题难度很大，计算量大，对学生要求高，
细心的计算是解本题的关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图 中， 与 的平分线相交于H，过点H作
交 于E，交 于F， 于D，以下四个结论① ；② ；
③点H到 各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时， 一定为等腰三角形．其中正确结论的
序号为 _____．【答案】②③④
【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解；②证明 为等腰三角形，
即可得证；③利用角平分线的性质，即可得证；④证明 ，即可得证．
【详解】解，①∵ 与 的平分线相交于H，
∴ ，
∴
，故①错误；
②∵ 与 的平分线相交于H，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③过 作 ，
∵ 与 的平分线相交于H， ，
∴ ，
∴点H到 ABC各边的距离相等，故③正确；
④若B，H△，D三点共线时，则 ，且 平分 ，∴ ，
又∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
∴ 一定为等腰三角形，故④正确．
故答案为：②③④；
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平
分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
8．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，将△ABE沿BE对折，点
A的对应点为 ，连接 C，当E、 、C恰好三点共线时，AE的值为____________
【答案】4
【分析】根据翻折的性质可得BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，然后根据四边形ABCD是矩形，利用勾股定
理即可解决问题．
【详解】解：根据翻折的性质可知：BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB=10，
在Rt△DEC中，根据勾股定理得：
，
∴AE=AD-DE=10-6=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查折叠的性质和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．
9．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
① ；② ；③A、C、E三点共线；④若 ，则 ．其中正确的结论
有____．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质可判断①；结合图形可判断②；利用平行四边
形的性质及全等三角形的判定和性质，对顶角的性质可判断③；利用平行四边形的性质及三角形的面积公
式可判断④．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，
∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，
∴∆DME≅∆BNE，
∴DM=BN，
∴AM=CN，故①正确；
由图可得：BM>AB≠AD=BC，
故②错误；
连接AE、CE，
四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴∆ADE≅∆CBE，
∴AE=CE，∠AED=∠CEB，
点A、E、C三点共线，故③正确；如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点，
∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点，
∴DQ=2EP，
，
，
∴ ，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意综合运用这些知识点是
解题关键．
10．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 都在反比例函数
的图象上，且 ．现给出以下说法：
①若A，O，B三点共线，则 ；
②若 ，则A，O，B三点共线；
③线段OA长度的最小值是 ；
④以A，O，B为顶点的三角形不可能是直角三角形．其中正确的是__________．（写出所有正确说法的序号）
【答案】③
【分析】根据反比例函数的图像性质及两点间的距离公式逐个分析求解即可．
【详解】解：对于①：直线AO的解析式为 ，当A，O，B三点共线时，点 在直线AO
上，
∴ ，即： ，整理得到： ，
又 ，此时A、B两点重合，
而已知前提是A，O，B三点共线，即A点与B点不重合，故①错误；
对于②：当 时， ，
∴ ，整理得到： ，
又 ，即 ，
∴ ，
而A，O，B三点共线时，由①中可知 ，
∴由 推不出A，O，B三点共线，故②错误；
对于③：∵ ，
∴ ，故③正确；
对于④：当以 为直角三角形的直角顶点时：
， ，
，
∵ ，∴ ，
整理得到： ，
又 ，即 ，
∴ ，
∴只需要满足： ，此时△ABO必定是以A为直角的直角三角形，故④错误；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像及性质、两点之间距离公式及完全平方式的变形，熟练掌握图形的
性质，计算过程中细心即可．
三、解答题
11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 中， ，在 中，
， ， ．
(1)试说明 与 满足什么等量关系时，点D、点C、点E三点共线．
(2)连接 ，连接 交 于F点，若点F恰好是线段 的中点，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意易证 ，可得 ，可得 ，由同角的余角可知 ，由三角形的内角和可得 ，当 时，可得
，求得 ，即可证明结论；
（2）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明 ，则 ， ，再证明
，可得结论．
【详解】（1）当 时，点D、点C、点E三点共线．理由如下：
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ．
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
故当 时，点D、点C、点E三点共线；
（2）证明：如图，过A作 于M，∵ ，
∴ ，．
∵F是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的
性质和判定解决问题，属于中考常考题型．
12．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 出发，沿 以每秒5个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ，连接 ．设点 的运动时间为 秒 ．
(1)线段 的长为__________，线段 的长为__________（用含 的代数式表示）；
(2)当点 与点 重合时，求 的值；
(3)当 、 、 三点共线时，求 的值；
(4)当 为钝角三角形时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)5t；3t
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据路程 速度 时间即可求出 ；再由勾股定理求得 ，然后证 ，得
，即可求出 ，
（2）当点 与点 重合时，则 即可；
（3）当 、 、 三点共线时，可得 ，根据相似三角形对应边成比例，即可得出关于 的方
程；
（4）过 作 于 ，当点 在 上时， ，当点 在 左边时， 都为钝角，求
出点 在 上时， 的值，当点 在 边上时， ，若点 在 外，则 为钝角，再
利用相似求出点 在 上时的 ，从而解决问题．
【详解】（1）解： 点 的运动速度为每秒5个单位，
，在 中，由勾股定理，得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：当点 与点 重合时，
则 ，
；
（3）解： ， ， ，
，
， ，
，
又由旋转的性质知， ，
当 、 、 三点共线时，如图，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，
（4）解：由旋转的性质知 ，
，
不可能为钝角，
若点 在 内部， 也不可能为钝角，
①如图，过 作 于 ，
当点 在 上时， ，
当点 在 左边时， 都为钝角，
，
四边形 为矩形，
又 ，
四边形 为正方形，
， ，
，
，
，
，
，， ，
，
，
，
，
当 时， 为钝角，
②如图，
当点 在 边上时， ，若点 在 外，则 为钝角，
，
，
又 ，
，
，
， ， ，
，
，
又 点 最多只能运动到点 ，当点P运动到点C时， 不存在，
，
当 时， 为钝角三角形．综上所述：当 或 时， 为钝角三角形．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，
直角三角形的性质等知识，根据题意，画出图形，熟练利用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图， 是等腰直角三角形， ，
，D在线段 上，E是线段 的一点．现以 为直角边，C为直角顶点，在 的下方
作等腰直角 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ．
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若 ，求 的长．
(3)如图3，若 ，连接 ，当E运动到使得 时，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6；
(3)4
【分析】（1）如图1中，根据 证明 即可．
（2）利用全等三角形的性质，证明 ，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作 于H．证明 是底角为 的等腰三角形，求出 ， ， ，即可
解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，∵ ， 都是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图3中，作 于H．∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角
形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属
于中考压轴题．
14．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等腰直角 中， ， ，点 ，
分别为 ， 的中点， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 交 于点 ．
(1)证明： ；
(2)①当点F运动到什么位置时，四边形 是正方形？请你说明理由；
②当 时，求证：点 三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)①F运动到线段EF的中点，②见解析
【分析】（1）依题意，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，可得 ， ，
由 推出 ，然后通过 证明即可；
（2）①根据点 分别是 的中点， ， ，得出 也是等腰直角三角形，
根据点 是 的中点，得出 ，证明 ，得出 ，进而得出
，可得四边形 是矩形，由 ，即可得证；
②由三角形内角和定理可得： ，进而得出 ，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，由旋转知： ，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图，当点 运动到线段 的中点时，四边形 是正方形，点 分别是 的中点， ， ，
即： 也是等腰直角三角形，
，
点 是 的中点，
即： ，
， ， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形，
②证明：如图，
，
，
，
，
点 三点共线．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知直线y＝﹣2x＋4与交y轴于点A，交x轴于点B，直线
CD经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，若AB CD．
(1)求直线CD的解析式；
(2)如图（1）若点E，F分别为AB，CD的中点，求证：E，O，F三点共线；
(3)如图（2）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），直线AM交CD于点N，求△ABM与△CNM面
积和的最小值．
【答案】(1)y＝﹣2x﹣2
(2)见解析
(3)12 ﹣12
【分析】（1）由AB CD， ，设 解析式为 ，用待定系数法即可得 解析式为
；
（2）先求出 ， ，而 为 中点， 为 中点，可得 、 坐标，设直线 为 ，
用待定系数法可求出直线 为 ，即可证明 在直线 上，即 ， ， 三点共线；
（3）设 ，可得直线 为 ，解 得 ， ，
，又 ，即可得 ，从而得到答案．
【详解】（1）解：∵AB CD，AB解析式是y＝﹣2x+4，
∴设CD解析式为y＝﹣2x+b，
将C（﹣1，0）代入得0＝2+b，
∴b＝﹣2，
∴CD解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）证明：在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，
∴A（0，4），B（2，0），
∵E为AB中点，
∴E（1，2），
在y＝﹣2x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（0，﹣2），C（﹣1，0），
为 中点，
， ，
设直线 为 ，将 ， ， 代入得：
，
解得 ，
直线 为 ，
在 中，当 时， ，
在直线 上，即 ， ， 三点共线；
（3）设 ，其中 ，直线 为 ，
，
，
直线 为 ，解
得 ，
， ，
，
∵a>0,b>0时，有 ,
∴ ,
，
，
，
即 ，
与 面积和的最小值为 ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三点共线、不等式等知识，解题的关键是用含t
的代数式表示△ABM与△CNM面积和．
