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专题 09 分式方程
【专题目录】
技巧1：分式的意义及性质的四种题型
技巧2：分式运算的八种技巧
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
技巧4：分式求值的方法
【题型】一、分式有意义的条件
【题型】二、分式的运算
【题型】三、分式的基本性质
【题型】四、解分式方程
【题型】五、分式方程的解
【题型】六、列分式方程
【考纲要求】
1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．
2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义
和值为零的约束条件．
3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。
4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．
【考点总结】一、分式
分式概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
分
有意义的 因为0不能做除数，所以在分式中，若B≠0，则分式有意义；若B＝0，那么分
式
条件 式没有意义．
的
值为0 在分式中，当A＝0且B≠0时，分式的值为0
相
分式的基本 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子
关
性质 表示是：＝，＝(其中M是不等于0的整式)
概
约分 将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
念
通分 将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
分 分式加 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即±＝.异分母的分式相加减，先通
式 减 分，变为同分母的分式，然后相加减，即±＝.
运 分式乘 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即·＝.分式除以分
算 除 式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷＝·＝分式的
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇
混合运
到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
算
【考点总结】二、分式方程
定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法：①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根
分
作答.
式
解法
方 （4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的
程 值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们
把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
运用 解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
【注意】
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
分式混合运算的运算
运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；
2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
3.确定分式的符号，然后约分；
4.结果应是最简分式.
【技巧归纳】
技巧1：分式的意义及性质的四种题型
【类型】一、分式的识别
1．在，，，2m，，中，不是分式的式子有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
【类型】二、分式有无意义的条件
3．若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为( )
A．a＝4 B．a>4 C．a<4 D．a≠4
4．当x＝________时，分式无意义．
5．已知不论x为何实数，分式总有意义，试求m的取值范围．
【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若的值为正数，则x的取值范围是( )
A．x＜－2 B．x＜1 C．x＞－2且x≠1 D．x＞1
7．若分式的值为负数，则x的取值范围是________．
8．已知分式的值为0，求a的值及b的取值范围．
【类型】四、分式的基本性质及其应用
9．下列各式正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
10．要使式子 ＝ 从左到右的变形成立，x应满足的条件是( )
A．x＞－2 B．x＝－2 C．x＜－2 D．x≠－2
11．已知 ＝＝≠0，求 的值．
12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求＋＋的值．
技巧2：分式运算的八种技巧
【类型】一、约分计算法
1．计算：－.
【类型】二、整体通分法
2．计算：a－2＋.
【类型】三、顺次相加法
3．计算：＋＋＋.
【类型】四、换元通分法
4．计算：(3m－2n)＋－(3m－2n)2＋.
【类型】五、裂项相消法
5．计算：＋＋＋…＋.
【类型】六、整体代入法
6．已知＋＝，＋＝，＋＝，求的值．
【类型】七、倒数求值法
7．已知 ＝－1，求的值．
【类型】八、消元法
8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求的值．
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值
1．已知关于x的分式方程＝与分式方程＝的解相同，求m2－2m的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围
2．若关于x的方程＝＋2有解，求m的取值范围．
【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值
3．如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－4
4．若关于x的方程＋＝有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【类型】四、利用分式方程无解求字母的值
5．若关于x的分式方程＝a无解，则a＝________.
6．已知关于x的方程－m－4＝无解，求m的值．
7．已知关于x的分式方程－＝1.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
技巧4：分式求值的方法
【类型】一、直接代入法求值
1．先化简，再求值：÷，其中a＝5.
【类型】二、活用公式求值
2．已知实数x满足x2－5x＋1＝0，求x4＋的值．
3．已知x＋y＝12，xy＝9，求的值．
【类型】三、整体代入法求值
4．已知＋＋＝1，且x＋y＋z≠0，求＋＋的值．
【类型】四、巧变形法求值
5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋的值．
【类型】五、设参数求值
6．已知＝＝≠0，求的值．
【题型讲解】
【题型】一、分式有意义的条件
例1、使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【题型】二、分式的运算例2、分式 化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、分式的基本性质
例3、若 = ，则 的值为（ ）
A．5 B． C．3 D．
【题型】四、解分式方程
例4、方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【题型】五、分式方程的解
例5、关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
【题型】六、列分式方程
例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周
3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每
人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
分式方程（达标训练）
一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程 有解，则实数m
应满足的条件是（ ）
A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠1
2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程 的解为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2022·天津南开·二模）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州贵阳·三模）计算 的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
5．（2022·江苏淮安·一模）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程 的解为 ______．
7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算 ﹣ ＝_____．
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）解方程： ．
分式方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．
某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则
列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
3．（2022·安徽·三模）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北黄石·模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数 ．则下列各式中比 的值大的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程 有解，则a的取值范围是________．
7．（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足 ，则 的值等于__________．
三、解答题
8．（2022·重庆市育才中学二模）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，
经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该
超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙
种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液
每天的利润之和可达到4700元？
