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专题 09 几何中的最值问题
几何压轴题中的最值问题，是历年各地中考中的高频考点，其主要类型包括面积的最值问题、线段的最
值问题、角度的最值问题，由于面积的最值问题在上一个专题中已有涉及，所以本主题主要探究的是线段
的有关最值问题。
解决线段的最值问题，从方法上来说主要有几何法和函数法两大方法：
几何法：总的思路是对线段的最值问题进行转化，多数情况下当三点位于同一条直线上时，取得最值，理
论依据主要是两点之间线段最短。再具体的考题中我们可以根据题目的图形、条件或者问题的问法等，再
将最值问题进行细化，将问题抽象成我们常见的几种模型，从而使问题得到解决。例如抽象为：将军饮马
模型、瓜豆原理、胡不归模型、费马点模型以及阿氏圆模型等。
函数法：可以利用坐标法，将所求的线段长度用坐标的方式表示出来，之后利用最值模型求解。
（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）（1）如图1， 和 是等腰直角三角形， ，
点C在 上，点D在线段 延长线上，连接 ， ．线段 与 的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的 绕点O顺时针旋转 （ ）第一问的结论是否仍然成立；如果
成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若 ，点C是线段 外一动点， ，连接 ，
①若将 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最大值______；
②若以 为斜边作 ，（B、C、D三点按顺时针排列）， ，连接 ，当
时，直接写出 的值．（1）由题意易得 ， ， ，然后可证 ，进而问题可求
解；
（2）由题意易得 ， ，然后可证 ，进而问题可求证；
（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得 ，则当A、C、D三点共线时取最大，
进而问题可求解；②过点C作 于点E，连接 ，过点B作 于点F，然后可得点C、
D、B、E四点共圆，则有 ，设 ， ，则 ， ， ，
进而根据勾股定理可进行方程求解．
【答案】（1） ；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）① ，② ．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
故答案为： ；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
；
（3）①如图，
由题意得： ， ，
根据三角不等关系可知： ，
∴当A、C、D三点共线时取最大，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
的最大值为 ；
②过点C作 于点E，连接 ，过点B作 于点F，如图所示：
∴ ，
∴点C、D、B、E四点共圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，设 ， ，则 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 和 中，
由勾股定理得： ，整理得： ①；
在 中，由勾股定理得： ，整理得： ②，
联立①②得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
过点E作 于点M，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，
熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题
的关键．
（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 ．他先将A4
纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 上，点B的对应点为点E，折痕为 ；再沿过点F的直线折叠，
使点C落在 上，点C的对应点为点H，折痕为 ；然后连结 ，沿 所在的直线再次折叠，发现
点D与点F重合，进而猜想 ．
【问题解决】
(1)小亮对上面 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠可知， ， ．
∴ ．
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2) 的度数为________度， 的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段 上，且 ，点Q在线段 上，连结 、 ，如图②，设
，则 的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
（1）根据折叠的性质可得AD=AF， ，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明 是等腰直角三角形，可求出GF的长，从
而可得结论 ；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，
求出PR=AR= ，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【答案】(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【详解】（1）证明：四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠可知， ， ．
∴ ．
∴ ．
由折叠得， ，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折叠得，∠
又∠
∴∠
由 得，∠
∠
又∠
∴∠∴∠
∴
设 则
∴
∴
∴
（3）如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作 交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在 中，∴
∴ 的最小值为
本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，
正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中， ， ．点E是线段AD上的动点
（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长．
（1）证明出 即可求解；
（2）①连接AM．先证明 ．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当
A，G，M三点共线时， ．此时， 取最小值．在 中利用勾股定理即可求
出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作 交FC于点N，即有
，进而有 ．设 ，则 ， ．再根据 ，得到 ，得到 ，则有 ，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：
过点G作 交BC于点H．即有 ．则有 ，根据 ，可得
，进而求出 ， ．由 得 ，即可求出AF．求出AF
之后，由（1）的结论可得 ．设 ，则 ，即有 ，解得解方程即可求出
DE．
【答案】(1)见解析
(2)①5；② 或
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①解：如图2-1，连接AM．∵ ，
∴ 是直角二角形．
∴ ．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ，
当A，G，M三点共线时， ．
此时， 取最小值．在 中， ．
∴ 的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 交FC于点N，
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
由①知 的最小值为5、即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，解得 ，即 ．
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 交BC于点H．
∴ ．
∴ ，
由①知 的最小值为5，即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
由 得 ，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴ ．
由（1）的结论可得 ．设 ，则 ，
∴ ，
解得 或 ．
∵ ， ，
∴ 或 ．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握
相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
1．（2022·贵州遵义·统考二模）如图1，四边形ABCD为正方形， ， 为等腰直角三角形，E
在BA的延长线上，点F在AD上， ， ．如图2，将 绕点A顺时针旋转x度（
）得到 ．
(1)如图2，连接 ， ，判断线段 与线段 之间的关系，并说明理由；
(2)如图3，连接 ，若 ，求 的最小值和最大值；
(3)如图4，直线 与直线 交于点N，连接CN，若 ，求CN的长．
【答案】(1) 且
(2) 的最小值为 最大值为
(3)【分析】（1）证明△ 可得 再由三角形内角和定理可得 ；
（2）根据点与圆的位置可判断出 在最大值和最小值；
（3）根据勾股定理可得出 ， 由 五点在同一个圆上可证明△
，可求出 再证明△ ，可求出 从而
可得出结论．
【详解】(1)∵四边形 是正方形，
∴
∵△ 是等腰直角三角形，
∴
∴∠
又∠
∴∠
在△ 和△ 中，
∴△
∴
延长 交 于 交 于点 如图，∵∠ ∠
∴∠ ,
∴
综上，线段 与线段 之间的关系为 且
(2)根据题意知， 点在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图，
当 在 上时， 的值最小，在 的延长线上时， 的值最大，
∵
∴
又
∴ 的最小值为 最大值为
(3)由（1）知，
连接 如图，在 中，
∴
∵ ，
∴
在 中， ，
∴
∴ （负值舍去）
∴
∵∠
∴ 五点在同一个圆上，如图，设 与 交于点 ，
∴∠
又∠ ，
∴△
∴
∴
∴
∴
连接 则∠∴△
∴
∴
∴
2．（2022·陕西延安·统考二模）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形
ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索
(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．
①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；
②B'M=______；
拓展延伸
(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD
内部或边上，连接AB'．
①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
【答案】(1)①BE；②
(2)①3；②B'C+2PQ的最小值为 ．
【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND= AB= ，∠B=∠EB′C，进而求解；
（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求
解；
②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．
【详解】（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND= AB= ，∠B=∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′=MN-NB′
=MN- ；
故答案为：①BE；② ；
（2）解：①∵AB=3AE=3，
∴AE=1，BE=2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，
∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，
∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积= ×AB×B′E= ×3×2=3，
故答案为：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，
∴PQ∥B′E，
∵P是AE的中点，
∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，∴PQ= B′E，
即B'C+2PQ=B′C+B′E，
∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE= ，
即B'C+2PQ的最小值为 ．
3．（2022·河南南阳·统考二模）如图①②， 和 均为直角三角形， ，
， ，点C在边EF的延长线上， ，射线EM与AD交于点
M， （ ）．
(1)如图①，当点B落在射线EF上时，EM与BA的延长线相交于点G，则 ______．
(2)如图②，把 绕点C逆时针旋转 度（ ）， 的值是否保持不变？请仅就图②给出
你的证明．
(3)若 ，在 绕点C旋转过程中，直接写出线段AD的最大值和最小值．
【答案】(1)(2) 保持不变，见解析
(3)线段AD的最大值为 ，最小值为
【分析】（1）在Rt△DEF中，根据 ， ，求出 ，在Rt△ABC中，根据
， ，求出 ，在Rt△GEB中，根据 ， ，求出
，算出AG，证明 ，得出 即可；
（2）过B点作 ，交射线EM于点G，连接AG，根据 ， ，证明
，得出 ， ，证明 ，得 ，进而得出
即可；
（3）由题意得，点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，当点D、A、C三点共线时， 是最小
值， 是最大值，然后求出DC、AC即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在Rt△DEF中， ， ，
∴ ，
∵在Rt△ABC中， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵在Rt△GEB中 ，
∴∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2） 保持不变．理由如下：
过B点作 ，交射线EM于点G，连接AG，
∵ ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）由题意得，点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，如图所示：
∴当点D、A、C三点共线时， 是最小值， 是最大值，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵在Rt△ABC中， ， ，
∴ ，
∴线段AD的最大值为 ，最小值为 ．
4．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，点E在对角线AC
上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG＝60°，交直线DC于点G．(1)在线段BC上取一点T，使CE=CT，求证：FT=CG；
(2)图中AB＝7，AE＝1．
①点F在线段BC上，求 EFG周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N不能落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范
围．
【答案】(1)见解析
(2)最大值为 ，最小值为 ；
【分析】（1）证明△EFT≌△EGC（AAS）即可；
（2）①先证明点F在线段BC上时， 是等边三角形，确定 周长最小和周长最大时点F的位置，
从而可求出FE的长，进一步可解决问题；
②找出点N落在DC上的位置，求出CF的长，当N落在DE上，求出CF的长，从而确定CF的范围．
（1）∵四边形 是菱形，
∴
∵∠
∴∠
∴△ 是等边三角形，
∴∠
∵
∴△ 是等边三角形，
∴ ，∴∠ ∠
∴∠
∵∠ ，
∴ 即∠
∴∠
在△ 和△ 中，
，
∴△
∴FT=CG；
（2）如图1，当点F与点B重合时，
同（1）可得，
∵∠ ，
∴ 是等边三角形，
同理可得，当点F在BC边上时， 均是等边三角形，
当 时，FE最短，如图，∵ ，
∴ ，
又∠
∴∠ ，
∴
∴
∴等边三角形 的周长最小值为：
当点F与点B重合时，如图3，
过点E作 交BC于点H，则
∴ ，
在 中， ，
∴此时，△ 的周长最大，最大值为3BE= ；
∴△ 的周长的最小值为 ，最大值为 ；②如图4，当N在CD上时，
作CM⊥AB于M，点F′关于AB的对称点N在DC上，
∴
∴
在Rt△BOF′中，∠OBF′=∠ABC=60°，
∴
∴CF′=14，
如图5，当N在DE上时，
∵N与F′关于AB对称，
∴∠ABN=∠ABC=60°，
∵∠BAC=60°，∴∠ABN=∠BAC=60°，
∴BN∥AE，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM，
∴
∴
∴MC=42，
∴MB=MC-BC=42-7=35，
∴
∴
∴BN=5，
∴BF′=BN=5，
∴CF′=2
∴ ．
5．（2022·河北唐山·统考二模）问题情境：
在数学课上，老师给出了这样一道题：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的长．
探究发现：
（1）如图2，勤奋小组经过思考后发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利
用直角三角形的性质可求BC的长，其解法如下：过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则 ．
△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……
请你根据勤奋小组的思路，完成求解过程．
拓展延伸：
（2）如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接
BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；
（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度不
断变化，直接写出AF的最大值和最小值．
【答案】（1）过程见解析；BC=3 -3 ；（2）四边形ADFC是菱形；证明见解析；（3）AF的最大值
是6 ，最小值是12-6 ．
【分析】（1）过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△AEB是等边三角形，再证明△HBE是等
腰直角三角形，并且求得∠BDH＝30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理
即可求出EH的长和DH的长，进而求出DE的长，再由DE＝BC求得BC的长；
（2）四边形ADFC是菱形，先求出∠ACF＝∠AEF＝30°，∠ADF＝∠ABF＝30°，∠CAD＝∠CAE＋
∠DAE＝150°，则∠CFD＝360°−∠ACF−∠ADF−∠CAD＝150°，可证明FC∥AD，FD∥AC，则四边形ADFC
是平行四边形，而AD＝AC，即可证明四边形ADFC是菱形；
（3）作FK⊥AB于点K，连接AF，先证明∠KAF＝∠KFA＝45°，则AK＝FK，由∠FBK＝30°得BF＝
2FK，根据勾股定理求得BK＝ FK，然后再由FK＋ FK＝6，求出FK的长，即可求出BF的长，再根
据两点之间线段最短求出AF的最大值和最小值即可．
【详解】解：（1）如图2，过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则BC＝DE＝DH-HE．
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，
AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
∴∠BAE＝∠CAE-∠BAC＝60°，AD＝AB＝AE＝6，∴△AEB是等边三角形．
∴BE＝AB＝6，∠AEB＝∠ABE＝60°，
∴∠C＝∠ABC＝ ＝75°，
∠AED＝∠ADE＝ ＝75°，
∴∠HBE＝∠HEB＝180°-60°-75°＝45°，
∴HE＝HB，∠H＝90°，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠BDH＝∠ADE-∠ADB＝30°，
∵BD＝ ＝ ＝6 ，
∴HE＝HB＝ BD＝3 ，DH＝ ＝ ＝3 ，
∴BC＝DE＝DH-HE＝3 -3 ，即BC的长为3 -3 ．
（2）四边形ADFC是菱形．
证明：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°（如图3），
∴∠CAE＝∠BAD＝120°，∠DAE＝∠BAC＝30°，
AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
∴AE＝AC＝AB＝AD，
∴∠ACF＝AEF＝ ＝30°，
∠ADF＝∠ABF＝ ＝30°，
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，∴∠CFD＝360°-∠ACF-∠ADF-∠CAD＝150°，
∴∠ACF＋∠CAD＝180°，∠ACE＋∠CFD＝180°，
∴FC∥AD，FD∥AC，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∵AD＝AC，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）解：如图3，作FK⊥AB于点K，连接AF，
∵四边形ADFC是菱形，
∴CF＝DF，
∵∠BCF＝∠EDF＝75°−30°＝45°，BC＝DE，
∴△BCF≌△EDF（SAS），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE＝6，AF＝AF，
∴△BAF≌△EAF（SSS），
∵∠BAE＝120°−30°＝90°，
∴∠BAF＝∠EAF＝45°，
∵∠AKF＝∠BKF＝90°，
∴∠KAF＝∠KFA＝45°，
∴AK＝FK，
∵∠FBK＝30°，
∴BF＝2FK，
∵BK＝ ，
∵AK＋BK＝AB＝6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
当点F在线段AB的延长线上，如图4，则AF＝AB＋BF＝ ，此时AF的值最大，等于 ；
当点F在线段AB上，如图5，则AF＝AB−BF＝ ，此时AF的值最小，等于 ．
综上所述，AF的最大值是 ，AF的最小值是 ．
6．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，
已知正方形的边长为 ， ．
(1)如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．
(2)如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；
(3)如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若 ，求GC的长．
【答案】(1)BF=DE，BF⊥DE；
(2)CF的最大值为 ，最小值为
(3)
【分析】（1）延长BF交AD于点H，交DE于点G，由四边形ABCD是正方形得AB=AD，∠BAD=90°，
而AF=AE，∠EAF=90°，所以∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，即可证明△BAF≌△DAE，得BF=DE，
∠ABF=∠ADE，则∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，即可证明BF⊥DE；
（2）连接AC，因为正方形的边长为 ， ，根据勾股定理求出AC的长，再根据“两点之间线
段最短”得AC-AF≤CF≤AC+AF，可知当CF=AC-AF时，CF的值最小，当CF=AC+AF时，CF的值最大，求出CF的最大值和最小值即可；
（3）连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，由正方形ABCD的边长为 ，DG：CB=1：3得
AB=CB=CD，根据勾股定理求得BG，取BD的中点O，连接OG、OC，以点O为圆心、以OG长为半径作
圆，则点B、C、D、G都在⊙O上，可得∠CGD=∠CBD=45°，∠GCD=∠GBD，可求得
GI=DI=DG•sin∠CGD，再根据tan∠GCD=tan∠GBD求出CI的长，即可求出CG的长．
【详解】（1）如图2，延长BF交AD于点H，交DE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AF=AE，∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴BF=DE，∠ABF=∠ADE，
∵∠AHB=∠GHD，
∴∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，
∴∠DGH=90°，
∴BF⊥DE，
故答案为：BF=DE，BF⊥DE．
（2）如图3，连接AC，∵正方形的边长为 ，
∴AB=BC= ,，AF=AE=∵∠ABC=90°，
∴AC=
∴AC-AF= ,AC+AF=
∵AC-AF≤CF≤AC+AF，
∴当CF的最大值为 ，最小值为 ；
（3）如图4，连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，
∵正方形ABCD的边长为 ，DG：CB=1：3，
∴AB=CB=CD= ，
,
∵∠BCD=90°，
∴BD= ,，∠CBD=∠CDB=45°，
由（1）得BF⊥DE，
∴∠BGD=90°，
∴BG= ,
取BD的中点O，连接OG、OC，则OG=OC=OB=OD= BD，
以点O为圆心、以OG长为半径作圆，则点B、C、D、G都在⊙O上，
∴∠CGD=∠CBD=45°，∠GCD=∠GBD，
∴GI=DI=DG•sin∠CGD=DG•sin45°= ，
，
，，
，
．
7．（2022·广东·统考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且
AQ=1，证明：PB=2PQ；
（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求
2PC+PB的最小值；
（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动
点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；
（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定
理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，
∴PA2=AQ⋅AB=4．
∴ ．
又∵∠A=∠A，
∴△PAQ∽△BAP．
∴ ．
∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，
∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，
∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC= =5，
∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．
∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂
直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，
∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，∵PC−PQ≤QC，
∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= = ，
∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2 ．
∴2PC−PB的最大值为2 ．
