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专题 09 平面直角坐标系与函数（11 个高频考点）（举一反三）
【考点1 有序数对】...............................................................................................................................................1
【考点2 点的坐标】...............................................................................................................................................3
【考点3 点所在的象限】.......................................................................................................................................3
【考点4 点在坐标系中的平移】...........................................................................................................................4
【考点5 坐标与图形】...........................................................................................................................................5
【考点6 点的坐标规律探索】...............................................................................................................................6
【考点7 常量与变量】...........................................................................................................................................8
【考点8 函数的概念】...........................................................................................................................................9
【考点9 函数的解析式】.....................................................................................................................................10
【考点10 自变量和函数值】.................................................................................................................................10
【考点11 函数的图象】.........................................................................................................................................11
【要点1 平面直角坐标系的相关概念】
（1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
（2）各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴
一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三
象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
【考点1 有序数对】
【例1】（2022·贵州六盘水·中考真题）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚
咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚
咚”时，表示的动物是（ ）A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
【变式1-1】（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，
“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
【变式1-2】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数√2，2，√6，2√2，…，4√2，按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，√14的位置记为(2,3)，则2√7的位置记为________．
【变式1-3】（2022·上海·位育中学模拟预测）定义：直线l 与l 相交于点O，对于平面内任意一点M，点
1 2
M到直线l ，l 的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离
1 2
坐标”是（1，2）的点的个数共有______个．
【要点2 点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.
在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐
标相同.【考点2 点的坐标】
【例2】（2022··模拟预测）已知点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则A点坐标为
（ ）
A．(2,4) B．(−2,−4) C．(−4,−2) D．(4,−2)
【变式2-2】（2022·陕西·西安市远东一中一模）已知抛物线C:y=x2−4mx+m−3，其顶点为D，若点D
到x轴的距离为3，则m的值为（ ）
1 3 1 1 3
A．0或 B． C．− D． 或−
4 4 2 2 4
【变式2-3】（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以
下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O
的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．
（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点
有 _____个．
（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点
距离”为2，则k＝_____．
【考点3 点所在的象限】
【例3】（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
1 1 1
A．− − C．m<0 D．m<−
2 2 2
【变式3-1】（2022·四川攀枝花·中考真题）若点A(−a,b)在第一象限，则点B(a,b)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增
大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【变式3-3】（2022·安徽省马鞍山市第七中学二模）若点P坐标可表示为(m+3,−m+1)，其中m为任意
实数，点P不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【要点3 点在坐标系中的平移】
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） 向 右 平 移 a 个 单 位 P'（x＋a，y）
P（x，y） P'（x，y －b）
向下平移b个单位
向左平移a个单位
（2）二次平移： P （ x ， P （ x － a ， y ＋
再向上平移b个单
y） b）
【考点4 点在坐标系中的平移位】
【例4】（2022·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将点P (−x，1−x)先向右平移3个单位得点P，再
1
将P 向下平移3个单位得点P，若点P 落在第四象限，则x的取值范围是（ ）
1 2 2
A．x>3 B．−23
【变式4-1】（2022·贵州毕节·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2,0)，(0,1)，将
线段AB平移至A′B′，那么a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-2】（2022·河南商丘·一模）如图， ABO的边OB在x轴的负半轴上，O是原点，点B的坐标为
(-4，0)，把 ABO沿x轴向右平移3个单位长△度，得到 DCE，连接AC，DO，若 DOE的面积为6，则图
中阴影部分△ACO的面积为（ ） △ △
△
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-3】（2022·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，
4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ ）A．2.5 B．5 C．10 D．15
【考点5 坐标与图形】
【例5】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针
旋转45°，则点B的对应点B 的坐标为（ ）
1
A．(−√2,0) B．(−√2,0) C．(0,√2) D．(0,2)
【变式5-1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的
OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的
纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，
△ABC的顶点坐标分别为A(−4,4)，B(−2,5)，C(−2,1)．(1)平移△ABC，使点C移到点C (2,2)，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1
(2)将△ABC绕点(0,0)旋转180°，得到△A B C ，画出旋转后的△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)连接A C ，A C ，求四边形A C A C 的面积．
1 2 2 1 1 2 2 1
【变式5-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，
∠ABO=60°,CD为△AOB的中位线，过点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO．将矩形
CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S．已知点B的坐标为
(6,0)，当S=2√3时，矩形CDEO顶点D的坐标为__________．
【考点6 点的坐标规律探索】
【例6】（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A (2,0)，B (0,1)，A B 的中点为C ；
1 1 1 1 1
A (0,3)，B (−2,0)，A B 的中点为C ；A (−4,0)，B (0,−3)，A B 的中点为C ；A (0,−5)，
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
B (4,0)，A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为_____．
4 4 4 4 2022【变式6-1】（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个
单位，再向右平移1个单位，得到点A (1,1)；把点A 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点
1 1
；把点 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 ；把点 向下平移4个
A (−1,3) A A (−4,0) A
2 2 3 3
单位，再向右平移4个单位，得到点A (0,−4)；…；按此做法进行下去，则点A 的坐标为_________．
4 10
【变式6-2】（2022·辽宁辽宁·二模）在平面直角坐标系中，等边 AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)．
每一次将 AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边长扩大为△原来的2倍，第一次旋转后得到
ΔA OB△；第二次旋转后得到ΔA OB ，…，依次类推，则点A 的坐标为（ ）
1 1 2 2 2022A． B．
(−22022,0) (22022,−√3×22022
)
C． D．
(22021,−√3×22021
)
(22022,0)
√3
【变式6-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线l:y= x+√3与x轴相交于点A，与y轴相交
3
于点B，过点B作BC ⊥l交x轴于点C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点B ，过点B 作B C ⊥l交x轴于点
1 1 1 1 1 1 1 1 2
C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点B …，按照如此规律操作下去，则点B 的纵坐标是______________．
2 2 2 2 2 2022
【考点7 常量与变量】
【例7】（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关
系式为C=2πr．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【变式7-1】（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … −3 3 6 …
y … −2 2 1 …
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比
例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【变式7-2】（2022·重庆巴蜀中学一模）荡秋千时，秋千离地面的高度 ℎ(m)与摆动时间t(s)之间的关系如
图所示，下列结论正确的是（ ）
A．变量h不是关于t的函数 B．当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m
C．h随着t的增大而减小 D．秋千静止时离地面的高度是1m
【变式7-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）一列行驶中的火车的速度为每小时160千米，用t（时）表示
行驶的时间，s（千米）表示行驶的里程．其中常量是___________，变量是___________，s关于t的函数
表达式是___________，当t=2.5时，函数s的值是___________．
【要点4 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称
y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是
否对应唯一确定的y值．
【考点8 函数的概念】
【例8】（2022·广西南宁·二模）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2022·河北·二模）观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（ ）
A．x 2 2 2 2 2 2 …
y -1 0 1 2 3 4 …
B．
x 10 20 30 40 50 60 …
y -10 -10 -10 -10 -10 -10 …
C．
x 1 2 3 2 1 0 …
y 1 1 2 2 3 3 …
D．
x 10 10 20 20 30 30 …
y 10 20 30 40 50 60 …
【变式8-2】（2022·广东·一模）下列各式中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．y=√x−2+√1−x B．y=x3
1
C．y= √−x2 D．y=±√x
x
【变式8-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）变量x，y有如下关系：①y=3x2；②y2=8x；③y=4x．
其中y是x的函数的是________．（填序号）
【要点5 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)
函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变
量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【考点9 函数的解析式】
【例9】（2022·贵州贵阳·一模）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为11．
(1)写出y与x的关系式为______；
(2)若y≤3，请求出符合条件的整数x的值．
【变式9-1】（2022·辽宁大连·中考真题）汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量y
（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x
的函数解析式是（ ）300
A．y=0.1x B．y=−0.1x+30 C．y= D．y=−0.1x2+30x
x
【变式9-2】（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）写出一个y关于x的函数，满足当x>0时，y>0：
_________．
【变式9-3】（2022·广东番禺中学三模）将长为20cm的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y（cm❑ 2
），扇形半径为x（cm），且0＜x＜10，则y与x的函数关系式为____________．
【考点10 自变量和函数值】
x 1
【例10】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+3 x−1
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
√x−4
【变式10-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）在函数y= 中，自变量x的取值范围是
x
____________.
【变式10-2】（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
1
【变式10-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）若函数y= [(x2 −100 x+196)+|x2 −100 x+196|]，当
2
自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是 __．
【要点6 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出
它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【考点11 函数的图象】
9
【例11】（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为 平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几
4
米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．
(1)建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱
笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；
(2)列表：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：
1 3 5 7 9
x 1 2 3 4 5
2 2 2 2 213 34 15 58 73 109
y 10 6 a b
2 5 2 7 8 10
表中a=________，b= ________；
(3)描点、画出函数图象：
9
如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，( ,b)补充完整，并根据描出的点画出该函
2
数的图象；
(4)解决问题：
根据以上信息可得，当x=__________时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为_________米．
【变式11-1】（2022·四川雅安·中考真题）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．
过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中
近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】（2022·青海西宁·中考真题）如图， ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在
边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距△离为x， DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致
是（ ） △A． B．
C． D．
【变式11-3】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N
是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2√5）
是图象的最低点，那么a的值为（ ）
8√2 4 4
A． B．2√2 C． √2 D． √5
3 3 3
