文档内容
专题 09 圆的综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 利用圆性质求角的度数】................................................................................................................1
【考向二 利用圆性质求线段的长度】............................................................................................................3
【考向三 利用圆性质求圆的半径】..............................................................................................................11
【考向四 利用圆性质求线段的最值】..........................................................................................................12
【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】..................................................................................................15
【考向五 切线的证明综合应用】..................................................................................................................16
【直击中考】
【考向一 利用圆性质求角的度数】
例题：（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形 内接于 ， ，A为
中点， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分
别交 于 两点，连结 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图， 、 、 、 四个点均在 上， ， ，
则 的度数为___________．3．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，已知四边形 是 的一个内接四边形，且
，则 _______．
【考向二 利用圆性质求线段的长度】
例题：（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A，B，C，D在 上，点A为 的中点，
交弦 于点E．若 ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以
为直径的 与 相切于点 ，点 、 在 上，连接 、 、 ，连接 并延长交 于
点 ， 与 交于点 ．(1)求证： ；
(2)若点 是弧 的中点， 的半径为 ， ，求 的长．
2．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图， 与 的 边相切于点 ，与 、 边分别交于点 、
， ， 是 的直径．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
3．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，F是 延
长线上一点，连接 ， ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长．
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图， 为 的直径， 为弦，过点C的切线与
的延长线交于点P，E为 上一点，且 ，连接 并延长交 于点H．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【考向三 利用圆性质求圆的半径】
例题：（2022·福建福州·校考一模）如图，四边形 内接于 ， ， ，则 的半
径为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·校考一模）如图， 为 的直径，P为 延长线上的一点，过P作 的切线 ，
A为切点， ，则 的半径等于___________．2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，点A，B，C在 上， ，
，则 的半径为 _____．
3．（2022·云南文山·统考三模）如图，在 中， ，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、
E三点作 ，交 延长线于点F， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)当 与 相切于点D时，求 的半径；
(3)若 ，求 的值．
【考向四 利用圆性质求线段的最值】
例题：（2022·安徽合肥·校联考三模）如图， 是 的直径， ，点 在 上，
是 的中点， 是直径 上的一动点，若 ，则 周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【变式训练】
1．（2022·广东江门·校考一模）矩形 中， ， ，点P为矩形内一个动点且满足
，则线段 的最小值为________．
2．（2022·广东江门·校考一模） 中， ， ，点 为 的对称轴上一动点，
过点 作 与 相切， 与 相交于点 ，那么 的最大值为______________．
【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】
例题：（2022·广东江门·校考一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为 的扇形内，以 为直径作半
圆，交弦 于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， 是 中点，以点 为圆心，
为半径作弧交 于点 ，以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，则图中阴影部分面积的差
为______．3．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图， ， 分别是 的直径和弦，半径 于点 ．
过点 作 的切线与 的延长线交于点 ， ， 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，Rt△ABC中， ， ， 为 上一点， ，以
为圆心，以 为半径作圆与 相交于点 ，点 是⊙O与线段BC的公共点，连接 ，并
且 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 ， 为 的直径，过点A作弦 垂直于直径
于F，点B恰好为 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【考向五 切线的证明综合应用】
例题：（2022·湖南株洲·校考二模）如图，在菱形 中， 是对角线 上一点 ， ，
垂足为 ，以 为半径的 分别交 于点 ，交 的延长线于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 是 的中点， ， ．
①求扇形 的面积；
②求 的长．【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，点 为
延长线上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
2．（2022·广东云浮·校联考三模）如图1，⊙O是 的外接圆， 是直径， ， 交⊙O于
点E，且 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若点E为线段 的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；
(3)如图2，作 于点F，连接 交 于点G，求 的值．
