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专题 09 特殊平行四边形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．下列条件不能够判定“平行四边形ABCD是菱形”的是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．AD=CD D．AC=BD
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线相等
3．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
5．如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE=OB=2．连接OE，若
∠AEO=75°，则DE的长为（ ）
3
A． B．√3 C．2 D．2√3−2
2
6．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为边DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折
叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为（ ）
5
A．1 B．2 C． D．3
2
1
7．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的同样的长
2为半径作狐，两弧交于M，N两点；②作直线MN，交CD于点E，连接BE．若直线MN恰好经过点
A，则下列说法错误的是（ ）
√3
A．∠ABC=60° B．tan∠ABE=
2
C．S =2S D．若AB=4，则BE=4√7
△ABE △ADE
8．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OA＝8，OC＝4，把 ABC沿直线AC折叠，得到 ADC，
CD交x轴于点E，则点E的坐标是（ ） △ △
A．（4，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（5，0）
1
9．数学课上，嘉嘉作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于 AB
2
长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现
AC=BC=AD=BD，AB=CD，根据他的作图方法和测量可知四边形ADBC是正方形，嘉嘉的理
由是（ ）
A．两组对边分别平行的菱形是正方形 B．四条边相等的菱形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形
10．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE．求证：四边形
FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、乙、丙 D．甲、丙
11．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对
边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
12．如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折
叠，使得点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若BP：PC=1：3，则折痕EH
的长为（ ）
A．2√2 B．√10 C．3 D．3√2
13．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B、C、F三点共线，连接DG交BE、
CE、CF分别于N、P、Q，下面结论正确的有（ ）
①BE=DG；②BM=DQ；③CM=CP；④∠BNQ=90°．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，点A为大小是45°角α的顶点，∠α的两边分别与正方形ABCD的另两边交于点P，Q．
对于下面说法：
①2∠APQ=∠PQC+90°；
②PA、QA分别是∠BPQ、∠PQD的角平分线；
③当∠β=22.5°时，△APQ的面积最小
其中正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
15．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上，下列结
论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+√3，其中正确的序号是( )
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
二、填空题
16．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是．
17．正方形的一条边长是4，那么它的面积是 ，对角线长是 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为6cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
19．如图，长方形ABCD中∠ACB=68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于 ．
20．如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=8，点M是AD的中点，点N是射线DC上一点，且
CN=6，连接BN，将△DMN沿MN翻折至△D′MN，使D恰好落在BN上，则m= ．
21．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2,3)，则点F的
坐标为 ．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 ．
23．如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则
MA+MB+MD的最小值是 ．
24．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使DA边落在DC边上，点
A落在点H处， 折痕为DE； 使CB边落在CD边上， 点B落在点G处， 折痕为CF． 若矩形
HEFG与原矩形ABCD相似，AD=3， 则HG的长为 ．
25．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，E为边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，点B的对应点为
点F，CF交AD于G，EF交AD于H，若AB=3AE，则CG：FG= ．
三、解答题
26．如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对称
点为B′．当点B′恰好落在边CD上时，求CB′的长．27．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，
连接AE和BF相交于点M．
求证：AE=BF ．
28．已知：在 ▱ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以
下四个关系式中：①DE=BF；②∠FBE=∠EDF；③CE=CF；④BE=DF.选择一个合适的作
为已知条件，使 ▱ABCD是菱形．
(1)你选择的条件是______．
(2)添加了条件后，请证明 ▱ABCD为菱形．
▱ABCD为菱形．
29．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB,BC上的点，且AE=BF，过点E作EG⊥EF
交AD于点G．求证：EF=EG．30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B作
BF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AOBF为矩形；
(2)若OE=2√5,BD=2AC，求菱形ABCD的面积．
31．如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，△OAB
是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若 ，求 的长．
S =4√3 BD
四边形ABCD
32．已知：如图， ▱ABCD中，F是AB中点，连接DF，DF延长线交CB的延长线于点E，连接
AE．(1)求证：△AFD≌△BFE；
(2)若BF=BC，∠EDC=60°，判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论．
33．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过
点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．求证：四边形CEFG是菱形．
34．如图，在四边形ABCD中，点P在直线AC上，连接BP，过点P分别作AC，BP的垂线，交
直线BC，CD于点E，F．
【类比探究】
(1)如图①，四边形ABCD为正方形，P在对角线AC上，判断线段BE，CF的数量关系并给出证明；
(2)如图②，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4，点P在对角线AC上，判断线段BE，CF的
数量关系并给出证明；
(3)如图③，在（2）的条件下，当点P在CA延长线上时，请直接写出线段BE，CF的数量关系．
35．【模型建立】
（1）如图①，已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD．用等式写出线
段AE,DE,CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF,AE=EF．用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图③，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，
AE⊥EF,AE=EF．用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由．
【能力提升】
36．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AB上，点F在BD的延长线上，
BE=DF，EF与AD相交于点G，连接CE，CF．
(1)求证：△EBC≌△FDC．
(2)求证：DF2=DC⋅DG．
37．如图，点E为矩形ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，点A的对应点为A′，
且A′落在△BCD内部，延长EA′分别交对角线BD与边BC于点G、F．
(1)求证：EF=BF．
(2)当BG=EF时，
①若∠AEB=55°，求∠GBF的度数．
②若AB=3，BC=4，求DE的长度．
38．现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板
材上作EF⊥AE，且EF=AE．
(1)如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为_____；(2)如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
(3)如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出
四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
39．如图，矩形ABCD中，点E是边 AB 的中点，点F、G是分别边 AD 、BC上任意一点，且
AE=BG，∠FEG=α．
(1)如图，若AE=AF，则EF与 EG 的数量关系为 ，α= ；
(2)在（1）的条件下，若点 P 为边BC上一点，连接EP，将线段 EP 以点 E 为旋转中心，逆时
针旋转 90°，得到线段EQ，连接FQ，在图2中补全图形，请猜想 FQ与GP的数量关系，并证明
你的结论；
(3)在（2）的条件下，若∠EQF=30∘，EF=√2a，求FQ（用含a的代数式表示）
40．[问题提出]
如图1，已知点E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，且AE=EF，
∠AEF=∠ABC=α(α≥90°)，AF交CD于点G．探究∠GCF与α的数量关系．
[ ]
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图1，求∠GCF与α的数量关系．
[问题拓展]
DG 2 BE
（3）将图1特殊化，如图3，当α=120°， = ，求 的值．
CG 3 CE
