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专题 08 平行四边形与多边形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）多边形及其相关计算
（1）多边形的相关概念：
①定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
②对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个
三角形；n边形对角线条数为 ．
（2）多边形的内角和、外角和：
①内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
②外角和：任意多边形的外角和为360°.
（3）正多边形：
①定义：各边相等，各角也相等的多边形，
②正多边形每个内角为 ，每个外角为
③正n边形有n条对称轴，
④对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称
图形.
（二）平行四边形的性质平行四边形的性质： 几何表达式举例：
(1) ∵ABCD是平行四边形
{k 0 ∴AB∥CD AD∥BC
> ¿ ¿ ¿ ¿
(2) ∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD AD=BC
(3) ∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
因为ABCD是平行四边形 ∠DAB=∠BCD
(4) ∵ABCD是平行四边形
D C ∴OA=OC OB=OD
(5) ∵ABCD是平行四边形
O
∴∠CDA+∠BAD=180°
A B
（三）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例：
(1) ∵AB∥CD AD∥BC
{k 0 D C ∴四边形ABCD是平行四边形
< ¿ ¿ ¿ ¿
O (2) ∵AB=CD AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵∠A=∠B ∠C=∠D
A B
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
（四）三角形中位线的性质
A
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. D E
B C
如图：DE= BC
模块三 考点一遍过
考点1：平行四边形的判定
典例1：如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．
(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；
(2)若四边形AFDE是矩形，AE=3，AF=4，求BC的长．
【变式1】如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．(1)求证：四边形AEDF是中心对称图形；
(2)若AD平分∠BAC，求证：点E，F关于直线AD对称．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，连接AE，
CF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【变式3】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG=AC，AE⊥CG交
CG于E， EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．
考点2：平行四边形的性质
典例2：如图，在 ▱ABCD的边AB、CD上截取线段AF、CE，使AF=CE，连结EF，M、N是线
段EF上的两点，且EM=FN，连结AN、CM．求证：AN∥CM．
【变式1】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F．CD DF
(1)求证： =
BC DE
(2)当CD=2，AD=3，CF=1时，求AE的长．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为A(4,0),B的坐标为
B(6,2)．
(1)请直接写出平行四边形OABC的中心P的坐标=___
(2)求出直线PA的解析式．
【变式3】如图，在 ▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于E点，且DE=5，EC=8．
(1)求 ▱ABCD的周长；
(2)连结AC，若AC=12，求 ▱ABCD的面积．
考点3：平行四边形的判定与性质
典例3：如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB和CE交于点F，DF=FB，AF∥DC．
(1)求证：△BEF∽△BAD；
(2)求证：四边形ADCF为平行四边形；
(3)若DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，求BC的长．
【变式1】如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD、CF．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
3
(2)若GB=2，BC=6，BF= ，求AB的长．
4
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，点G、
H在BD上，且AE=CF，BG=DH．
(1)若AC=AD，∠CAD=50°，求∠ABC的度数．
(2)试判断EH与 FG的位置关系与数量关系，并说明理由．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，以AB为边作△ABE，使得BE=BC，
AE=AC，过点C作CE⊥CD交AB于点F．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若△AEB的面积是10，CD=5，求CF的长．
考点4：三角形中位线
典例4：如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，点F在DB上，且DF=2BF．连接EF
并延长，与CB的延长线相交于点M．若BM=2，求线段BC的长．
【变式1】如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当BD=CE时，判断四边形DEFG的形状，井证明你的结论．
【变式2】在等腰三角形ABC中，∠BAC=80°，AB=AC=4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点
E，过点E作EF∥BC交AC于点F．
(1)求∠AEF的度数；
(2)若G是BC的中点，连接FG，求FG的长．
【变式3】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
1
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF= (AC−AB)；
2
(2)如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：________．
考点5：多边形的内角和
典例5：如图，在正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（ ）．A．72° B．36° C．30° D．45°
【变式1】如图，以正六边形ABCDEF的AB边向内作一个长方形ABHG，连接BE交GH于点I，
则∠BIG=( )
A．108° B．120° C．126° D．135°
【变式2】如图，正五边形ABCDE和正八边形FGHIJKLM如图所示放置，其中AB与FG重合，则
∠MAE的度数为 ．
【变式3】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度．
考点6：多边形的外角、内角
典例6：如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则∠ABC
的度数是（ ）A．120° B．142° C．144° D．150°
【变式1】如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形
的外部作正方形BCMN．若∠ABN=126°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式2】已知一个多边形的边数为n．
（1）若n=5，则这个多边形的内角和是 °；
（2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则n= ．
【变式3】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．
如图，就是一组正多边形，边数为n(n≥3)，观察每个正n边形中∠α的变化情况，当n=18时，
∠α= °．
正多边形的边数 3 4 5 6
∠α的度数 60° 45° 36° 30°
考点7：多边形的对角线
典例7：多边形的内角和为720°，则它共有对角线( )
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【变式1】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个
多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【变式2】如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，
则一个凸n(n≥4)边形有 条对角线．【变式3】凸n边形内角与外角和的总和为1440°，则n等于 ；这个凸n边形有
条对角线．
考点8：平面镶嵌
典例8：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶
嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（ ）
A．正四边形和正五边形 B．正四边形和正六边形
C．正四边形和正七边形 D．正四边形和正八边形
【变式1】阅读下列材料，回答下面的问题．
用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，
叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；
平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是360°．
现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题：
和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是
________；
A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形
【变式2】要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记
作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为
．
【变式3】用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360°．现在有七种不同的
正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正
十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是： ．
（请用序号表示，只需写出两种即可）
