文档内容
专题 08 圆与几何综合问题
一、【知识回顾】
【思维导图】
二、【考点类型】
考点1：切线的判定
典例1：（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交
边于点D、F．过点D作 于点E
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 半径为5，且 ，求 的长．【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图， 是⊙O的直径，四边形 内接于⊙O，D
是 的中点， 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式2】（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作
CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．【变式3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平分
线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，作 ， 交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ，求 的半径和 的长．
考点2：与线段有关的问题
典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以 的边 为
直径作 交 于 且 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．【变式1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是
的直径，连接 、 ， 交 于点 ．
求证：
(1) ；
(2) ．
【变式2】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图， 是 的外接圆， ， ，P是
上的一动点．
(1)当 的度数为多少时， ；
(2)若以动点P为切点的切线为 ，那么当 的度数为多少时，切线 与 一边平行？【变式3】（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在 中，直径为 ，正方形
的四个顶点分别在半径 、 以及 上，并且 ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若半径是5，求正方形 的边长．
考点3：与角度有关的问题
典例3：（2022·北京·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的一条弦， 连接
(1)求证：
(2)连接 ,过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，若 为 的中点，求证：
直线 为 的切线．【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径作⊙ ，
交 边于点 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ，作射线 交 边于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 及 的长．
【变式2】（2021·北京·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点
．
（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求 和
的长．【变式3】（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交
边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
考点3：与三角函数有关的计算
典例3：（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作
AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC， ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若 ， ，求AB的长．
【变式1】（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，
OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝ ，求tan∠CDA的值．
【变式2】（2020·北京·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，
D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC= ，BD=8，求EF的长．【变式3】（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF
与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若 ，BM=1，求AF的长．巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图， 的直径 与弦 的延长线交于点 ，若
， ，则 ＝( )
A． B． C． D．
2．（2023春·九年级课时练习）已知 过正方形 顶点 ， ，且与 相切，若正方形边长为 ，
则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·山东青岛·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD
的度数为( )A．100° B．110° C．115° D．120°
4．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，
点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA， 垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径为
20，则AB的长等于( )
A．8 B．12 C．16 D．18
5．（2018秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交
⊙O于E，∠E＝30°，交AB于点D，连接AE，则S ADC∶S ADE的比值为（ ）
△ △
A． B． C． D．1
6．（2022春·九年级课时练习）如图，圆 的两条弦 相交于点 和 的延长线交于点 ，
下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图， 内接于 ，若 的半径为6， ，则
的长为（ ）A． B． C． D．
8．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图， 的半径是1，点 是直线 上一动点，
过点 作 的切线，切点为A，连接 ， ，则 的最小值为（ ）．
A． B．1 C． D．
9．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交
于点 ．若 ，则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图， 是 的直径，点D在 的延长线上，
， 与 相切于点E， 与 相切于点B交 的延长线于点C，若 的半径为1，
的长是（ ）A． B． C． D．
11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是 上一点，
AB＝ ，PB＝1，则PC的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，经过A、C两点的⊙O与 ABC的边BC相切，与边AB交于点D，
若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（ ） △
A．3 B．2 C． D．
13．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角
顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则
∠CBD的度数是（ ）A．55° B．45° C．35° D．25
14．（2022春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将弧 沿BC折叠后刚好经过AB
的中点D．若⊙O的半径为 ，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
15．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在 ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成
立．依据以上结论，解决如下问题：如图△，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆
上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
16．（2021秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝
5cm，AC＝4cm．D是 上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程
中，BE的最小值为（ ）A．1 B． ﹣2 C．2 ﹣1 D．3
17．（2018·山东泰安·统考中考真题）如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任
意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最
小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
18．（2022春·九年级课时练习）如图， 是 的直径， 分别是 的中点，
在 上．下列结论：① ；② ；③四边形 是正
方形；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2021秋·浙江杭州·九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝ ，AD＝10，点C在弧BD上
移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
20．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE
＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若
∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 ﹣2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
21．（2022春·九年级课时练习）如图， 的半径为 内接于 于点D，
，则 长度为_________．
22．（2022春·九年级课时练习）如图， 的边BC与 相切于点B，AD为 的直径，若
，则CD的长为________.23．（2021秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图， ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点
D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径△是_____．
24．（2014·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作
⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是__（写出所有正
确结论的序号）
① ；
②若∠A=30°，则PC= BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
25．（2015秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，点P在双曲线y= 上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相
切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是___________．
26．（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形
BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．27．（2018·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别
在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，P是矩形ABCD内一点， ， ， ，则当
线段DP最短时， ________．
29．（2020秋·浙江金华·九年级校考期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ，
AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且
OB＝35cm，
（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到B´时， ，则 ＝_____cm．
（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为_____cm．
30．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE
＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则OD CD的最小值为 _____．
三、解答题
31．（2022春·九年级课时练习）如图，线段AB经过 的圆心O，交圆O于点A，C， ，AD为
的弦，连接BD， ，连接DO并延长交 于点E，连接BE交 于点M．
(1)求证：直线BD是 的切线；
(2)求线段BM的长．
32．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB
为直径的圆O交BC于点E．
(1)求圆⊙的半径；(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求 的值．
33．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，已知直线 交 于A、B两点， 是 的直径，点
C为 上一点，且 平分 ，过C作 ，垂足为D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的直径为20，求 的长度．
34．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接四边形 ， ，点E是边 上一点，且
平分
(1)求证： 是 的切线；(2)若 的半径为5， ，求 的长．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 的切线（即圆 的切线）．
连接 ，交半圆于点 ，连接 ．过点 作直线 ，且 ．
(1)求证：直线 是半圆 的切线；
(2)求证：点 是线段 的中点；
(3)若 ， ，求线段 的长．
36．（2022·广西北海·统考一模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上
的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．
(1)当∠CFE＝45°时，求CD的长；
(2)求证：∠BAC＝∠CEF；
(3)是否存在点D，使得 CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．
37．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在Rt 中， ， 平分 交 于点D，O
为 上一点，经过点A，D的 分别交 ， 于点E，F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
38．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，AB是 的直径，点D、E在 上，连接AE、
ED、DA，连接BD并延长至点C，使得 ．
（1）求证：AC是 的切线；
（2）若点E是的 中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；②若 的半径为3，BF=2，求AC的长．
39．（2021春·九年级课时练习）如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ，
于点 ，直线 与直线 于点 ．
（1）若点 在 内，如图1，求证： 和 关于直线 对称；
（2）连接 ，若 ，且 与 相切，如图2，求 的度数．40．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图， 内接于
中，弦BC交AD于点E，连接CD， 交CD的延长线于点G，BG交 于点H，
．
(1)如图1，求证：DB平分 ；
(2)如图2， 于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；
(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且 ， ，BC＝5．求
AE的长．
