专题 08 平行四边形与多边形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P，点E是PD
的中点．若AD=4,CD=6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥DC,AB=CD,OD=OB,∴∠CDP=∠APD．
∵DP平分∠ADC,∴∠CDP=∠ADP，
∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD=4．
∵CD=6,∴AB=6．∴PB=AB−AP=6−4=2．
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线．
1
∴EO= PB=1．
2
故选：A．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】A
【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形内角和问题
【分析】先根据多边形的内角和定理及外角和定理，列出方程，再解方程，即可得答案．
【详解】解：设多边形是n边形．
由题意得：180°(n−2)=2×360°
解得n=6
∴这个多边形是六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查内角和定理及外角和定理的计算，方程思想是解题关键．
3．如图，在 ▱ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x变化的关系图象，通过勾股定理及可求解；
【详解】如下图，
根据图2可知，
当P到达B点时AP=AB=3，
当AP⊥BC时，AB+BP=4.8，
∴BP=BE=1.8，
12
∴AE=√AB2−BE2=√32−1.82=
，
5
当到达点C时，AP=AC=4，
√ 122 16
∴EC=√AC2−AE2= 42− = ，
5 5
16
∴BC=BE+EC=1.8+ =5．
5
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动的规
律，结合关系图解题是关键．
4．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形【答案】B
【知识点】判断命题真假、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、根据平行线判定与性质证明
【分析】根据平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理求解，再结合平
行四边形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD+∠ABC=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意，选项
正确；
C、若AD∥BC，对角线AC平分对角线BD，
∴∠DAO=∠BCO，∴∠ADO=∠CBO，OD=OB，
∴△AOD≌△COB(AAS)，
∴OA=OC，即对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
即一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选
项错误；
D、若AD∥BC，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BE∥DF，
∴∠AEB=∠EBC，∠ADF=∠DFC，∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠CDF，
∠EBC=∠DFC，∠AEB=∠ADF，
∴∠AEB=∠ABE=∠DFC=∠CDF，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠DFC+∠CDF+∠DCF=180°，
∴∠BAE=∠DCF，即对角相等，
由选项A可知，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错
误；
故选：B．【点睛】本题考查了真假命题，平行四边形的判定定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
5．在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，
1
且ME= DM，当AM⊥BM时，BC=（ ）
3
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、
与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
1
【分析】由直角三角形的中线可得DM的长，再结合ME= DM可得ME=1，然后结合线段的和
2
差可得DE=DM+ME=4，过点E作EF∥AB交BC于点F，证明出四边形DBFE是平行四边形，
得到DB=EF，然后证明出△ADE≌△EFC(AAS)，得到AE=CE，最后根据三角形的中位线平行
于三角形的第三边，并且等于第三边的一半即可求解．
【详解】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，AB=6，
1
∴DM= AB=3，
2
1
∵ME= DM，
3
∴ME=1，
∴DE=DM+ME=4，
过点E作EF∥AB交BC于点F，∵DE∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴DB=EF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=EF，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE≌△EFC(AAS)，
∴AE=CE，
∴点E是AC的中点，
∵点D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角
形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线证明出四边形DBFE是平行四边形．
6．如图是一个由4张直角三角形纸片和1张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠
也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S =2，则这个平行四边形的面积为（ ）
1A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、平方差公式与几何图形
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S (用a、c表示)，得出S ，S ，S
2 1 2 3
之间的关系，由此即可解决问题．
【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
1 1 1
则S = (a+c)(a−c)= a2− c2 ，
2 2 2 2
1
∴S =S − S ，
2 1 2 3
∴S =2S −2S ，
3 1 2
∴平行四边形面积=2S +2S +S =2S +2S +2S −2S =4S =8．
1 2 3 1 2 1 2 1
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求
出S ，S ，S 之间的关系，属于中考常考题型．
1 2 3
7．顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法判断
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质证明、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的证明
【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边
都相等，从而说明是一个菱形．
【详解】解：连接AC、BD，
在△ABD中，H是AD的中点,E是AB的中点，
1
∴EH= BD，
2
1 1 1
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
2 2 2
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的
判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相
垂直平分的四边形是菱形．
8．我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现
这其中还有更多的结论．
题目：在▱ABCD中，已知∠B=30°，AB=2√3，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
当BC长为多少时，△B′ AD是直角三角形？
对于其答案，甲答：BC=2；乙答：BC=3；丙答：BC=6．则下列结论正确的是（ ）
A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题、解直角三角
形的相关计算
【分析】根据平行四边形的性质、折叠的性质，利用SAS证明△AB′C≌△CDA，得到
∠ACB′=∠CAD，设AD、B′C相交于点E，根据平行线的判定证明B′D∥AC，分“当
∠B′ AD=90°，AB>BC时”，“当∠ADB′=90°时”，“当∠AB′D=90°时”，“当
∠B′ AD=90°，AB<BC时”，四种情况画出图形，解直角三角形，讨论求解即可
【详解】解：如图，设AD、B′C相交于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，
∴BC=AD，AB=CD，∠B=∠ADC=30°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B=30，∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC=30°，
在△AB′C和△CDA中，
¿，
∴△AB′C≌△CDA(SAS)，
∴∠ACB′=∠CAD，
∴AE=CE，
∴B′C−CE=AD−AE，即B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
180°−∠AEC 180°−∠B′ED
∴∠CAD= ，∠ADB′= ，
2 2
又∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠CAD=∠ADB′，
∴B′D∥AC，
如图，当∠B′ AD=90°，AB>BC时，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°−∠B=180°−30°=150°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∠BAD−∠B′ AD 150°−90°
∴∠B′ AC=∠BAC= = =30°，
2 2
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′=180°−∠CAD=180°−B′ AC−∠B′ AD=180°−30°−90°=60°，
∴∠AB′D=90°−60°=30°，
∵AB′=AB=2√3，
√3
∴AD=AB′ ⋅sin∠AB′D=AB′ ⋅sin60°=2√3× =2，
3
∴BC=AD=2；
如图，当∠ADB′=90°时，∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵B′D∥AC，
∴∠CAD=180°−∠ADB′=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AB=CD，∠B=∠ADC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，
在△AB′C和△CDA中，
¿，
∴△AB′C≌△CDA(SAS)，
∴∠ACB′=∠CAD=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB=∠ACB′=90°，
∵∠B=30°，AB=2√3，
√3
∴BC=AB⋅cos30°=2√3× =3；
2
如图，当∠AB′D=90°时，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵B′D∥AC，
∴∠CAB′=180°−∠AB′D=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AB=CD，∠B=∠ADC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，
在△AB′C和△CDA中，
¿，
∴△AB′C≌△CDA(SAS)，
∴∠B′ AC=∠DCA=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2√3，
√3
∴BC=AB÷cos30°=2√3÷ =4；
2
如图，当∠B′ AD=90°，AB<BC时，延长B′ A交BC于点G，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵B′D∥AC，∠B′ AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2√3，
∴∠AB′C=30°，
1 1
∴GC= B′C= BC，
2 2
∴G是BC的中点，
√3
在Rt△ABG中，BG=AB⋅cos30°=2√3× =3，
2
∴BC=6；
∴当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形，
又∵甲答：BC=2；乙答：BC=3；丙答：BC=6，
∴三人答案合在一起也不完整，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、
平行四边形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，灵活运用知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键．
9．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是72°，
那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数是（ ）
A．l8° B．70° C．72° D．108°
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得．
【详解】解：∵光线平行，纸板对边平行
∴BC∥AD，AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠2=∠1=72°
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定与性质是解决本
题的关键．
10．已知正多边形的一个内角为 144°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角和问题
【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外
角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是144°，
∴该正多边形的一个外角为180°-144°=36°，
∵多边形的外角之和为360°，
360
∴边数= =10，
36
∴这个正多边形的边数是10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．
11．如图，在▱ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，∠EAD=53°，则∠BCE的度数
为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．127°
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，解题的
关键是掌握以上知识点．
设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的
性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°−53°=37°，
∴∠DFC=37°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故选：A．
12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A B C D 是四边形ABCD的中点四
1 1 1 1
边形，如果AC=8，BD=12，那么四边形A B C D 的面积为（ ）
1 1 1 1A．16 B．96 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】此题主要考查矩形的判定及三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半．根据已知及三角形中位线定理可判定四边形A B C D 是矩形，从而根据矩形的面
1 1 1 1
积公式求解即可．
【详解】解：∵A B C D 是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=12，
1 1 1 1
1 1
∴A D =B C = BD=6，A B =C D = AC=4，A D ∥BD∥B C ，A B ∥AC∥C D ，
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，
∴四边形A B C D 是矩形，
1 1 1 1
∴S =6×4=24．
A1B1C1D1
故选：C．
13．如图，点P为正六边形的DE边上的一个动点，连接BP，则∠ABP的度数不可以是（ ）
A．90° B．70° C．60° D．50°
【答案】D
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】当点P与点D重合时，求出∠ABP=90°，当点P与点E重合时，求出∠ABP=60°，可以
得到∠ABP的度数的范围，即可得到答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=120°，BC=DC，
当点P与点D重合时，如图所示，
，
∵∠C+∠CBD+∠CDB=180°，∠C=120°，BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠ABP=∠ABC−∠CBD=120°−30°=90°，
当点P与点E重合时，如图所示，
，
由正六边形的性质可得AF∥BE，
∴∠A+∠ABP=180°，
∴∠ABP=180°−∠A=180°−120°=60°，
∴ 60°≤∠ABP≤90°，
∴ ∠ABP的度数不可以是50°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，找出∠ABP的度数的范围，
即可得到答案．
14．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，如果AC=6cm，那么EF
的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点E，F分别是AB，BC边上的中点，AC=6cm，
1
∴EF= AC=3cm,
2
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，D为BC上一点，且满足AD=CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、根据三角形中线求面
积、根据等边对等角证明
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接
DE，先利用等腰三角形的性质证明点D为BC的中点，可得DE为△ABC的中位线，进而得
1 DF DE 1
DE∥AB，DE= AB，即得△≝∽△ABF，得到 = = ，再根据已知可得
2 AF AB 2
1 1 DF 1
S = AB·AC=30，进而由中线性质得到S = S =15，再由 = 即可得到
△ABC 2 △ABD 2 △ABC AF 2
2 DF DE 1
S = S =10，由△≝∽△ABF得到 = = 是解题的关键．
△ABF 3 △ABD AF AB 2
【详解】解：连接DE，
∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C+∠ABC=∠DAC+∠DAB=90°，
∴∠ABC=∠DAB，
∴BD=AD，
∴BD=CD，
∴点D为BC的中点
∵E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
1
∴DE∥AB，DE= AB，
2∴△≝∽△ABF，
DF DE 1
∴ = = ，
AF AB 2
∵，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
1 1
∴S = AB·AC= ×5×12=30，
△ABC 2 2
1
∴S = S =15，
△ABD 2 △ABC
DF 1
∵ = ，
AF 2
AF 2
∴ = ，
AD 3
2 2
∴S = S = ×15=10，
△ABF 3 △ABD 3
故选：C．
二、填空题
16．如图，在▱ABCD中，AB=2，AD=3，以点D为圆心，适当长为半径作弧，交AD于点E，
1
交CD于点F，分别以点E、F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内部交于点M，
2
作射线DM，交BC于点N，连接AN，则△ABN与△CDN的面积比为 ．
【答案】1:2
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查三角形面积，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题
的关键；
根据题意可知DN平分∠ADC，通过平行四边形的性质可以求得边长关系，进而根据三角形面积比
BN
值等于 ，进而求解；
CN
【详解】解：根据题意作图可知，
DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠CDN，
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DNC，
∴NC=DC
在▱ABCD中，AB=DC=2，
∴NC=DC=2
则BN=BC−CN=3−2=1
BN
S :S = =1:2
△ABN △CDN CN
故答案为：1∶2
17．边数为7边形的正7边形内角和为 ．
【答案】900°/900度
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和公式(n−2)×180°是解题的关键．
【详解】解：(7−2)×180°=900°，
即正七边形内角和为900°，
故答案为：900°．
18．如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线，AB=6，AD=4，则CE= ．
【答案】2
【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形ABCD是平行四边形得到
AB∥CD，AB=CD，得到∠BAE=∠AED，根据角平分线得到∠BAE=∠DAE，即可得到
∠DAE=∠AED，得到AD=DE，即可得到答案
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠AED，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，∵AB=6，AD=4，
∴EC=6−4=2，
故答案为：2．
19．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC=5,BD=7，则AD+BC的最小值
是 ．
【答案】√74
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定
求线段长
【分析】设AC,BD的交点为O，AB,BC,CD,AD的中点分别是P，Q，R，S，连接
PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS，根据直角三角形的性质可得AD=2OS,BC=2OQ，从而得到当
点O在QS上时，QS最小，此时AD+BC的最小值为2QS的长，再由三角形中位线定理可得
1 5 1 7 1 5
PQ= AC= ,PQ∥AC，QR= BD= ,QR∥BD，RS= AC= ,RS∥AC，
2 2 2 2 2 2
1 7
SP= BD= ,SP∥BD，从而得到四边形PQRS是平行四边形，然后根据
2 2
AC⊥BD,PQ∥AC,SP∥BD，可得到四边形PQRS是矩形，再在Rt△PQS中，根据勾股定理，
即可求解．
【详解】解：如图，设AC,BD的交点为O，AB,BC,CD,AD的中点分别是P，Q，R，S，连接
PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS，
∵AC，BD互相垂直，
∴AD=2OS,BC=2OQ，
∴AD+BC=2(OS+OQ)，
∴当OS+OQ最小时，AD+BC最小，∴AD+BC=2(OS+OQ)≥2QS，
∴当点O在QS上时，QS最小，此时AD+BC的最小值为2QS的长，
∵P，Q为AB,BC的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
1 5
∴PQ= AC= ,PQ∥AC，
2 2
1 7 1 5 1 7
同理QR= BD= ,QR∥BD，RS= AC= ,RS∥AC，SP= BD= ,SP∥BD，
2 2 2 2 2 2
∴四边形PQRS是平行四边形，
∵AC⊥BD,PQ∥AC,SP∥BD，
∴PQ⊥SP，
∴四边形PQRS是矩形，
5 7
在Rt△PQS中，PQ= ，SP= ，
2 2
√74
∴QS=√PQ2+SP2=
，
2
∴AD+BC的最小值为2QS=√74．
故答案为：√74
【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，
勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．
20．如图，△ABC的周长为16，连接△ABC三边中点构成第一个△A B C ，再连接△A B C 的
1 1 1 1 1 1
各边中点构成第二个△A B C ，依此类推，则第2024个三角形的周长为 ．
2 2 2
1
【答案】
22020
【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是图形的变化规律，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的
一半是解题的关键．根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的
一半这一规律，即可求解．
【详解】解：∵A 、B 、C 分别为AB、BC、AC的中点，
1 1 1∴A B 、B C 、A C 分别为△ABC的中位线，
1 1 1 1 1 1
1 1 1
∴A B = AC， A C = BC， B C = AB，
1 1 2 1 1 2 1 1 2
1 1
∴△A B C 的周长=A B +B C +A C = (AC+BC+AB)= ×24 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
1
∴第二个三角形的周长是：
×24
，
22
1
同理可得，第三个三角形是
×24
，
23
……，
1 1
∴第2024个三角形的周长是
×24=
，
22024 22020
1
故答案为： ．
22020
21．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE,CE的中点，连接AF,DG,FG．
若AF=3,DG=4,FG=5，则矩形ABCD的面积为 ．
【答案】48
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明
【解析】略
22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在AC上，且BA=BE，F在BE的延长线上，且
BE=EF，则线段DF的长度为 ．
22
【答案】
5
【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形性质理解、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行
四边形的判定与性质求解
【分析】延长BA至G，使得AG=AB，连接GD，根据三角形中位线的性质，平行四边形的性质，证明G,D,F三点共线，解直角三角形ABH，求得AE，根据FG−GD即可求解．
【详解】如图，延长BA至G，使得AG=AB，连接GD，GF，
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴AB//CD，
∵AB=6,BC=8，
∴AC=10，
AB 6 3
∴ cos∠BAC = = = ，
AC 10 5
∵BA=AG,BE=EF，
1
∴ △BGF中，AE//GF,AE= GF，
2
∵AG//CD,AG=CD，
∴四边形AGDC是平行四边形，
∴AC=GD,AC//GD，AC=GD，
∴G,D,F三点共线，
过点B作BH⊥AC，
∵AB=BE
，
3 36
∴AE=2AH=2AB⋅cos∠BAC=2×6× = ，
5 5
72
∴GF=2AE= ．
5
72 22
∴DF=GF−GD= −10= ．
5 522
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与的，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解直角三
角形，证明G,D,F三点共线是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形AOBC是平行四边形，点B的坐标为
k
(3,2)，点C的坐标为(1,4)，点A在第二象限，反比例函数y= (x<0)的图象恰好经过点A，则k的
x
值为 ．
【答案】−4
【知识点】利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
k
【分析】根据平行四边形的性质和点B，C，O的坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=
x
即可求解．
【详解】解：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴x −x =x −x ，y −y = y −y ，
B O C A B O C A
∵B(3,2)，C(1,4)，O(0,0)，
∴3−0=1−x ，2−0=4−y ，
A A
解得x =−2，y =2，
A A
∴A(−2,2)，
k
将A(−2,2)代入y= 并解得k=−4，
x
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．如图：在ΔABC中，AB=13,BC=12,点D、E分别是AB,BC的中点，连接DE、CD，如果
DE=2.5,那么ΔABC的周长是 ．【答案】30
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC的长，再求出ΔABC的周长．
【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
1
∴ DE= AC ，
2
∵ DE=2.5 ，
∴ AC=5 ，
∵ AB=13 ， BC=12 ，
∴ C =AB+BC+AC=13+12+5=30．
ABC
△
故答案为：30.
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半．
25．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，
BC=3cm，AB=2cm，那么△ADE的周长为 cm．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．先由等腰三角形的性质得
3
AD=1cm，再证CE=AE=DE，然后由三角形中位线定理得DE=AE= cm，即可解决问题．
2
【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC=3cm，
∵CD⊥AB，
1
∴AD=BD= AB=1cm，∠ADC=90°，
2∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，
∴∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，
∴DE=CE，DE=AE，
∴CE=AE=DE，
∴DE是△ABC的中位线，
1 3
∴AE=DE= BC= cm，
2 2
3 3
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=1+ + =4(cm)．
2 2
故答案为：4．
三、解答题
26．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，
△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中确定一点D，使四边形ABDC是平行四边形．
(2)在图②中，在边AB上确定一点E，使CE⊥AB．
(3)在图③中确定一点F，使△ABF与△ABC关于AB对称．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【知识点】证明四边形是平行四边形、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（3）根据全等三角形的判定，作出图形即可．
【详解】（1）解：过点C作CD∥AB交格点于点D，此时，CD=AB，即四边形ABDC是平行四
边形，如图所示：四边形ABDC即为所求；
（2）解：AB为1×4矩形的对角线，如图所示：连接1×4矩形的对角线，则CE⊥AB；
点E即为所求；
（3）解：如（2）作AB的垂线CG，则点C关于直线AB的对称点在CG上，作△ABD≌△BAC，
再作DE∥AB，则DE与CG的交点为点F，点F即为所求，如图所示：
△ABF即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，学会利用数形结合的思想解
决问题是解题的关键．
27．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点图形．（1）在图甲中画出一个三角形，使BP平分该三角形的面积．
（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使AP平分该四边形的面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【知识点】三角形中位线与三角形面积问题、平行四边形性质和判定的应用
【分析】（1）连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，△ABD即为所求；
（2）作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求．
【详解】（1）作图如下，连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，
△ABD即为所求，
∵AP=DP，
∴△ABP和△BDP是等底同高的两个三角形，
∴ BP平分△ABD三角形的面积；
（2）作图如下，作EP平行且相等于AB，连接AE，
四边形ABPE即为所求，
∵AB平行且相等于EP，
∴四边形ABPE为平行四边形，
∴AP为▱ABCD的对角线，
∴ AP平分▱ABCD的面积．【点睛】本题考查学生的作图能力，涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识，根据题意作
出图像是解题的关键．
28．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DF=DE，连结BF．
(1)求证：四边形BCEF是平行四边形．
(2)BG⊥CE于点G，连结CF，若G是CE的中点，CF=6，tan∠BCG=3．
①求∠BFC的度数；
②求平行四边形BCEF的周长．
【答案】(1)见详解
(2)①45°；②4√5+4√2
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据三角形中位线定理证明EF∥BC，EF=BC，进而可以解决问题；
（2）①设BG与FC交于点H，设EG=CG=x，则FB=EC=2x，证明△FBH∽△CGH，得
FB FH BH 2 BG
= = = ，所以FH=4，HC=2，由tan∠BCG= =3，得BG=3CG=3x，然后
CG HC GH 1 CG
证明ΔGHC是等腰直角三角形，再根据平行线的性质即可，②根据①中的结论，利用勾股定理求
出x的值，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
1
∴DE∥BC，DE= BC，
2
1
∵DF=DE= EF，
2∴EF∥BC，EF=BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：①设BG与FC交于点H，
∵G是CE的中点，
∴EC=2EG=2CG，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴FB=EC，EF=BC，FB∥EC，
设EG=CG=x，则FB=EC=2x，
∵FB∥EC，
∴△FBH∽△CGH，
FB FH BH 2
∴ = = = ，
CG HC GH 1
∵FH+HC=CF=6，
∴FH=4，HC=2，
BG
∵tan∠BCG= =3，
CG
∴BG=3CG=3x，
∵BH=2GH，BG=BH+GH，
∴BH=2x，GH=x，
∴GH=CG=x，
∵BG⊥CE，
∴△GHC是等腰直角三角形，
∴∠HCG=45°
∵BF∥CE,
∴∠BFC=∠HCG=45°
②根据①中结论：∵HC=2，
√2
∴GH=CG=x= HC=√2，
2
∴FB=EC=2x=2√2，在Rt△BCG中，根据勾股定理得：
BC=√BG2+CG2=√(3x) 2+x2=√10x=2√5，
∴平行四边形BCEF的周长=2(BC+FB)=2(2√5+2√2)=4√5+4√2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等
腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△FBH∽△CGH．
k
29．如图，▱ABCO的边OA在x轴的正半轴上，OA=5，反比例函数y= (x>0)的图象经过点
x
C(1,4)
(1)求反比例函数的表达式．
(2)P为反比例函数图像上一动点，过点P作MN∥x轴交OC于点N，交AB于点M，当点P的纵坐
PN
标为2时，求 的值．
PM
4
【答案】(1)y= (x>0)
x
3
(2)
7
【知识点】利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
k
【分析】（1）将C(1,4)代入反比例函数y= (x>0)解得k即可；
x
PN
（2）根据反比例函数的性质和平行四边形的性质分别求出PN和PM的长，即可求得 的值．
PM
k
【详解】（1）∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点C(1,4)，
x
∴k=1×4=4，
4
∴反比例函数的表达式为y= (x>0)．
x
（2）∵点P的纵坐标为2，
4
当 =2时，x=2，
x∴点P的坐标为(2,2)，
设OC所在直线的表达式为y=mx(m≠0)，
将点C(1,4)代入y=mx，得m=4，
∴OC所在直线的表达式为y=4x，
1
令4x=2，则x= ，
2
(1 )
∴点N的坐标为 ,2 ，
2
1 3
∴PN=2− = ，
2 2
∵OA=5，
∴A(5,0)，
(1 )
∵四边形ABCO为平行四边形，MN∥x轴，N ,2 ，
2
∴MN=OA=5，
(11 )
∴点M的坐标为 ,2 ，
2
11 7
∴PM= −2= ，
2 2
PN 3
∴ = ．
PM 7
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、一次函数的性质，熟练掌握反比
例函数的性质是解题的关键．
30．如图在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于
点F，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G；
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形
(2)若AB=6,BC=10．
①当AC=______时，四边形ADCF是矩形
②若四边形ADCF是菱形，则DG=______【答案】(1)见解析
24
(2)①6；②
5
【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、
用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE∥AB,BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四
边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；
1
（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE= AB，由四边形是平行四边形，得到
2
DF=2DE=AB=6，再根据矩形的性质，即可求解；②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出
AB⊥AC，利用CE勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB,BD=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
1
∴DE= AB，
2
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴DF=2DE=AB=6，
∵四边形ADCF是矩形，
∴AC=DF=6，
故答案为：6；
②∵四边形ADCF是菱形，
∴DF⊥AC，
∵DE∥AB，
∴AB⊥AC，
1
∴AD= BC=5,AC=√BC2−AB2=√102−62=8，
2
∴AE=EC=4，
∵DG⊥CF，
1 1
∴S = ×DF×CE= ×CF×DG，
△CDF 2 2DF×CE 6×4 24
∴DG= = = ，
CF 5 5
24
故答案为： ．
5
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及
性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
31．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与
AF关于AG对称．
（1）求证：ΔAEF是等边三角形；
（2）若AB=2，求四边形AEGF的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）√3
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解、斜边的中线等于斜边的
一半、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）已知AE⊥BC，AD//BC，得∠DAE=90°，且F是DE的中点，可得
AF=EF=DF，再有AE与AF关于AG对称，可证得ΔAEF是等边三角形．
（2）AG与EF交于点H．ΔAEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，可得∠EAG=30°，
AG⊥EF．AB与AG关于AE对称，可得∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°．
S =S +S 即可求解．
四 边 形AEGFΔAEF ΔEFG
【详解】（1）∵AB与AG关于AE对称，
∴AE⊥BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴AE⊥AD，即∠DAE=90°．
∵F是DE的中点，
∴AF=EF=DF．
∵AE与AF关于AG对称，
∴AE=AF．
∴AE=AF=EF．
∴ΔAEF是等边三角形．（2）设AG与EF交于点H．
∵ΔAEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，
∴∠EAG=30°，AG⊥EF．
∵AB与AG关于AE对称，
∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°．
∵AB=2，
3 1
∴BE=EG=GF=1，AF=AE=EF=√3，AH= ，GH= ．
2 2
1 3 1 1
∴S =S +S = ×√3× + ×√3× =√3．
四 边 形AEGFΔAEF ΔEFG 2 2 2 2
【点睛】本题考查了轴对称的性质、利用三角函数解直角三角形、平行四边形的性质及直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半．
32．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点
M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形的性质证明、线段垂直平分线的性质
【分析】综合平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质推出 AOM≌△CON，得出AM=CN，从而
得出结论即可． △
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，BM和DN分别为AB和CD的延长线，
∴AM∥CN，AB=CD，
∴∠M=∠N，
∵MN为线段AC的垂直平分线，
∴∠AOM=∠CON=90°，AO=CO，
在 AOM与 CON中，
¿ △ △
∴ AOM≌△CON（AAS），
∴△AM=CN，∵AB=CD，
∴AM-AB=CN-CD，
∴BM=DN．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及垂直平分线的性质，掌握基本性质，灵活运用全等三角形
的证明进行推理是解题关键．
33．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF．
（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD且AB=CD，进而证明
∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA证明△BEF≌△CDF.
（2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明BC=DE，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可
证明
【详解】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD且AB=CD.
∵BE=AB,
∴BE∥CD且BE=CD.
∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,
∴△BEF≌△CDF.
(2)∵BE∥CD且BE=CD.
∴四边形BECD为平行四边形,
1 1
∴DF= DE,CF= BC,
2 2
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠FCD=∠A,
∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC.
1 1
又DF= DE,CF= BC,
2 2
∴BC=DE,
∴▱BECD是矩形.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行
四边形的性质与判定是解题的关键．
34．如图，D在△ABC的AB边上，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
(1)求证：AD=CN；
(2)请添加一个条件，使四边形ADCN为矩形．（不需要说明理由）
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BAN=90°
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、
添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握
平行四边形与矩形之间的关系是解题的关键；
（1）根据平行线的性质得∠DAC=∠NCA，证明△AMD≌△CMN，根据全等三角形对应边相等
得出答案；
（2）先判断四边形ADCN是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即
可．
【详解】（1）∵ CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中
¿，
∴△AMD≌△CMN(ASA)，
∴AD=CN，
（2）∠BAN=90°，理由如下：
由（1）得：AD∥CN，AD=CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∵ ∠BAN=90°，四边形ADCN是平行四边形，
∴四边形ADCN是矩形．
35．如图，在▱ABCD中，AD>AB．
(1)尺规作图：作DC边的垂直平分线，分别交AD，CD于点 E，F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接EC，若∠BAD=130°，求∠AEC 的度数．
【答案】(1)作图见解析；
(2)100°．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、利用平行四
边形的性质求解
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）由平行四边形的性质得AB∥CD，进而得∠BAD+∠D=180°，即得∠D=50°，再由线段
垂直平分线的性质可得EC=ED，得到∠ECD=∠D=50°，最后由三角形外角性质即可求解；
本题考查了线段垂直平分线的作法和性质、平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，
三角形外角性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=180°−130°=50°，
∵EF为线段CD的垂直平分线，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠D=50°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=50°+50°=100°．【能力提升】
36．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为
AE中点，连CF，DF．
(1)请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
(2)将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（0°<α<60°），其它条件不变，如图2，试回答（1）中
的结论是否成立？并说明理由；
(3)若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，
不必说明理由．
【答案】(1)FD=√3CF；
(2)（1）的结论依然成立，见解析；
(3)FD=√3CF，见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定、
全等三角形综合问题
【分析】（1）延长DF交AC于G，由于∠EDC=∠ACB=120°，易得AC∥DE，而F是AE中点，根据
平行线分线段成比例定理得DF=FG，即F是DG的中点，那么DG、AE互相平分，即四边形AGED
是平行四边形，得AG=DE=DB，由此可证得AG=AD，在等腰△CDG中，F是DG的中点，根据等
腰三角形三线合一的性质可知AF平分∠ACB，即∠FCD=60°，根据直角三角形的性质即可得到
CF、DF的比例关系．
（2）此题解法与（1）大致相同；延长DF到G，使得DF=FG，连接CG，那么AE、DG互相平分，即四边形AGED是平行四边形，得AG=DE=BD，然后证△AGC≌△BDC，可得到GC=CD，后面的解
法与（1）相同．
（3）解法与（2）完全相同．
【详解】（1）解：FD=√3CF，
理由如下：延长DF，交AC于G；
∵∠CDE＝∠ACD＝120°，∴DE∥AG；
∵F是AE的中点，
∴F是GD的中点，即AE、DG互相平分，
∴四边形AGED是平行四边形，∴AG＝DE＝DB；
∵BC＝AC，∴CG＝CD，
在等腰△CGD中，F是DG的中点，则CF⊥GD，
1
且∠FCD= ∠ACB=60°，故FD=√3CF．
2
（2）延长DF至G，使得DF＝FG；
则DG、AE互相平分，连接AG、CG；
故四边形AGED是平行四边形；
∴AG＝DE＝BD，且AG∥DE；
∴∠AGM＝∠MDE＝∠3＋∠4＝∠3＋60°；
四边形AGMC中，
∠1＋120°＋∠CAG＋∠AGF＝360°，
即∠1＋120°＋∠CAG＋∠3＋60°＝360° ∠1＋∠3＋∠CAG＝180°；
△DBM中，∠CBD＋∠2＋∠3＝180°，⇒
∵∠1＝∠2，∴∠CAG＝∠CBD＝α；
又∵AG＝BD，AC＝BC，
∴△AGC≌△BDC，得GC＝CD，∠ACG＝∠DCB；∴∠BCD＋∠GCB＝∠ACG＋∠GCB＝∠ACB＝120°，
在等腰△GCD中，F是GD的中点，则CF⊥GD，且∠FCD＝60°，
故FD=√3CF，所以（1）的结论依然成立．
（3）FD=√3CF，如图．（解法与（2）完全相同）．
【点睛】此题主要考查的是旋转的性质，还涉及到：等腰三角形及等边三角形的性质、平行四边形
的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识的综合应用，正确地构造出全等
三角形是解答此题的关键．
37．如图，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AD=20cm，AB=8cm，BC=26cm，动点
P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运
动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t
秒．问：
(1)求t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)四边形ABQP可能是矩形吗？如果可能，求出t的值；如果不可能，说明理由；
(3)四边形PQCD可能是菱形吗？如果可能，求出t的值；如果不可能，说明理由．
【答案】(1)当t=5秒时，四边形PQCD是平行四边形
13
(2)可能；当t= 秒时，四边形ABQP是矩形
2
(3)不可能；理由见解析
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和
判定证明
【分析】（1）根据运动时间为t秒，表示出CQ=3tcm，PD=(20−t)cm，根据平行四边形的性质
得出PD=CQ，即可求出t的值；
（2）根据运动时间为t秒，表示出AP=tcm，BQ=(26−3t)cm，当四边形ABQP是矩形时，根据矩形的性质得出AP=BQ，即可求出t的值；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，证明四边形ABED是矩形，求出CD的长，若四边形PQCD
是菱形，则四边形PQCD是平行四边形，由（1）得：t=5秒时，四边形PQCD是平行四边形，求
出PD长，若PD=CD，四边形PQCD是菱形，否则不是菱形．
【详解】（1）解：∵AD=20cm，BC=26cm，动点P以1cm/秒的速度运动，动点Q以3cm/秒的
速度运动，
26
∴20÷1=20s，26÷3= s，
3
∵其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，
26
∴最大运动时间为 s，
3
∵已知设运动时间为t秒，则AP=tcm，CQ=3tcm，
∴PD=(20−t)cm，BQ=(26−3t)cm，
∵当四边形PQCD是平行四边形时，PD=CQ，
∴20−t=3t，解得t=5，
∴当t=5秒时，四边形PQCD是平行四边形．
（2）解：四边形ABQP可能是矩形；
当四边形ABQP是矩形时，AP=BQ，
13
∴t=26−3t，解得t= ，
2
13
∴当t= 秒时，四边形ABQP是矩形．
2
（3）解：四边形PQCD不可能是菱形；
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=20cm，AB=DE=8cm，
∴CE=BC−BE=26−20=6cm，∴CD=√DE2+CE2=√82+62=10cm，
若四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD是平行四边形，
由（1）得：t=5秒时，四边形PQCD是平行四边形，
∴PD=20−5=15cm，
∴PD≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形和菱形的判定和性质及勾股定理，解一元一次
方程，根据题意列出利用数形结合的思想列出方程是解答本题的关键．
38．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在▱OABC中，顶点A的坐标为(8,0)，点B,C
在第一象限，且∠COA=60°,OC=4．动点P从点O出发，沿着O−C−B以每秒2个单位的速度
向点B运动，同时动点Q从点A出发，沿着AO方向以每秒1个单位的速度运动，当点P到达点B时，
点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当△OPQ的面积为2√3时，求t的值．
(2)当点P在线段CB上运动时，若y轴上存在一点F，使得以P,Q,A,F为顶点的四边形是平行四边
形，求t的值．
(3)如图2，当点P在线段OC上运动时，作PD∥OA交AC于点D，作点D关于PQ的对称点E恰好
落在x轴上，则t的值为___________．（直接写出答案）
【答案】(1)t=4−2√3或t=6
(2)t=2
32−8√7
(3)t=
9
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】（1）当点P在OC上时，过点P作PM⊥OA于点M,根据题意，
1
OP=2t,AQ=t,OQ=8−t，OM= OP=t,PM=√OP2−OM2=√3t，根据△OPQ的面积为
22√3，得到列式计算即可；当点P在CB上时，过点C作CN⊥OA于点N,根据题意，
1
ON= OC=2,CN=√OC2−ON2=2√3，OP=2t,AQ=t,OQ=8−t，，根据△OPQ的面积为
2
2√3，得到列式计算即可．
（2）根据▱OABC，得到PC∥AQ,故点F是BC延长线与y轴的交点，且满足PF=AQ,才能使得
以P,Q,A,F为顶点的四边形是平行四边形，计算即可．
（3）设点D的对称点为F，连接DF，设PQ,DF的交点为H，证明四边形PFQD是菱形，
△CPD∽△COA，求得PD=8−4t，过点P作PT⊥OA于点T，得到√7t=8−4t，
32−8√7
解得t= ．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握平行
9
四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）当点P在OC上时，过点P作PM⊥OA于点M,
1
根据题意，OP=2t,AQ=t,OQ=8−t，OM= OP=t,PM=√OP2−OM2=√3t，∵△OPQ的
2
面积为2√3，
1
∴ ×(8−t)×√3t=2√3，
2
解得t=4−2√3，t=4+2√3（舍去）；
当点P在CB上时，过点C作CN⊥OA于点N,
1
根据题意，ON= OC=2,CN=√OC2−ON2=2√3，OP=2t,AQ=t,OQ=8−t，∵△OPQ的
2
面积为2√3，
1
∴ ×(8−t)×2√3=2√3，
2
解得t=6
故t=6或t=4−2√3时，△OPQ的面积为2√3．
（2）∵▱OABC，
∴PC∥AQ,故点F是BC延长线与y轴的交点，且满足PF=AQ,才能使得以P,Q,A,F为顶点的四
边形是平行四边形，根据题意，OP=2t,AQ=t，
1
根据题意，CF= OC=2,CP=2t−4，
2
故PF=CF+CP=2t−2，
2t−2=t，
解得t=2．
（3）设点D的对称点为F，连接DF，设PQ,DF的交点为H，
根据题意，DH=FH;DF⊥PQ；
∵PD∥OA，
∴∠DPH=∠FQH
∴△DPH≌△FQH
∴PH=QH，
∴四边形PFQD是菱形，
∴PD=PF=FQ，
根据题意，OP=2t,PC=OC−OP=4−2t,AQ=t,OQ=8−t，
∵PD∥OA，
∴△CPD∽△COA
CP PD
∴ = ，
CO OA
4−2t PD
∴ = ，
4 8
∴PD=8−4t，
∴FQ=8−4t，
∴AF=8−4t+t=8−3t，
∴OF=OA−AF=8−(8−3t)=3t，
过点P作PT⊥OA于点T，
∵∠COA=60°，
∴∠OPT=30°,
1
∴CT= OP=t,TF=2t,PT=√OP2−OT2=√3t,
2∴PF=√T F2+PT2=√7t,
∴√7t=8−4t，
32−8√7
解得t= ．
9
39．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD=6cm，AD=8cm，AB=10cm，点
E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点G从点C出发，沿CB方向匀速运动，
速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接OE，过点G作GF∥BD，设运动
时间为ts(0<t<4)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△BOE是等腰三角形？
(2)设五边形OEBGF面积为S，试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S :S =19:40？若存在，求出t的值；若不
五边形OEBGF △ACD
存在，请说明理由；
18 5
【答案】(1)当t的值为3或 或 秒时，△BOE是等腰三角形
5 2
3 6
(2)S=− t2+ t+12
4 5
(3)存在t为2秒时，使S :S =19:40
五边形OEBGF △ACD
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、判断三边能否构成直角三
角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】1）证明出△ADB为直角三角形，分三种情况：当BO=BE=3cm时；当BO=EO=3cm；
当BE=OE时；利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，分别进行求解即可；
3 3
（2）证明△OHB∽△ADB得出S = t2 ，进而得出S =S −S =12− t2 ，最
△CFG 4 四边形BOFG △BOC △CFG 4
后根据S =S +S 进行计算即可；
五边形BEOFG △BOE 四边形BOFG
（3）由（2）的结论可得出t的方程，解方程即可得解．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，BD=6cm，
1
∴OB= BD=3cm，
2
在△ADB中，AD2+BD2=82+62=100=AB2，
∴ △ADB为直角三角形，且∠ADB=90°，
∵△BOE为等腰三角形，
∴当BO=BE=3cm时，
∵点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴t=3÷1=3s；
当BO=EO=3cm，如图，作OH⊥BE于H，
，
则∠OHB=90°，EH=BH，
∵∠OBH=∠ABD，∠OHB=∠ADB=90°，
∴△OHB∽△ADB，
OB BH 3 BH
∴ = ，即 = ，
AB BD 10 6
9
∴BH= ，
5
18
∴BE=2BH= ，
5
∵点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
18 18
∴t= ÷1= s；
5 5
当BE=OE时，作EK⊥OB于K，
，
1 3
则∠EKB=90°，OK=BK= OB= cm，
2 2
∵∠EBK=∠ABK，∠EKB=∠ADB=90°，
∴△EKB∽△ADB，3
BK BE
∴ = ，即2 BE，
BD AB =
6 10
5
∴BE= ，
2
∵点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
5 5
∴t= ÷1= s；
2 2
18 5
综上所述，当t的值为3或 或 秒时，△BOE是等腰三角形；
5 2
（2）解：由（1）可得：∠ADB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，BD=6cm，AD=8cm，
1
∴OB= BD=3cm，BC=AD=8cm，AD∥BC，
2
∴∠OBC=∠ADB=90°，
1 1
∴S = OB⋅BC= ×3×8=12cm2 ，
△COB 2 2
∵点G从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速
度为1cm/s，
∴CG=2tcm，BE=tcm，
如图，作OH⊥BE于H，
，
则∠OHB=90°，
∵∠OBH=∠ABD，∠OHB=∠ADB=90°，
∴△OHB∽△ADB，
OB OH 3 OH
∴ = ，即 = ，
AB AD 10 8
12
∴OH= ，
5
1 1 12 6
∴S = BE⋅OH= ×t× = t，
△BOE 2 2 5 5
∵GF∥BD，
∴∠CFG=∠COB，∠CGF=∠CBO，
∴△CFG∽△COB，∴
S
△CFG=
(CG) 2
=
(2t) 2
，
S CB 8
△COB
3
∴S = t2 ，
△CFG 4
3
∴S =S −S =12− t2 ，
四边形BOFG △BOC △CFG 4
6 3 3 6 3 6
∴S =S +S = t+12− t2=− t2+ t+12，即S=− t2+ t+12；
五边形BEOFG △BOE 四边形BOFG 5 4 4 5 4 5
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ACD 2 四边形ABCD △ABD 2 四边形ABCD
1 1
∴S =S = ×AD⋅BD= ×6×8=24，
△ACD △ABD 2 2
∵S :S =19:40，
五边形OEBGF △ACD
3 6
− t2+ t+12
4 5 19，
∴ =
24 40
整理得：5t2−8t−4=0，
2
解得：t =− （不符合题意，舍去），t =2，
1 5 2
∴存在t为2秒时，使S :S =19:40．
五边形OEBGF △ACD
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理
逆定理、图形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分
类讨论的思想，是解此题的关键．
40．问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC上且
DF=5求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个
五边形河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，
使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知
五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．
满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计
要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A
的距离；若不存在，请说明理由．63√2
【答案】（1） ；（2）存在符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000m2，这时，
4
点N到点A的距离为350m．
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、平行四边形性质和判定的应用、y=a（x-h）²+k的图象和
性质
【分析】（1）在▱ABCD中，设AB边上的高为h，根据题意求出h的值，S
四 边 形A
=
B
S
F▱E ABCD
−¿，
计算即可；
（2）存在．如图，分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形．
设AN=x，则PC=x， BO=2x， BN=800−x，AM=OC=1200−2x，在根据
S =S −S −S −S −S 列出关于x的一元二次方程，根据二次函数
四 边 形OPM矩N 形ABCF△ANM △BON △CPO △FMP
最值得方法求解即可．
【详解】解：（1）在▱ABCD中，设AB边上的高为h．
∵AD=6，∠A=45°，∴h=ADsin45°=3√2
h
∵EA=ED，∴点E到DC的距离为 ．
2
∴S =S −¿
四 边 形ABF▱E ABCD
(1 h 1 )
=AB⋅h− ⋅DF⋅ + ⋅FC⋅h
2 2 2
(15 9 ) 63√2
=24√2− √2+ √2 = ．
4 2 4
（2）存在．如图，分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形．设AN=x，则
PC=x， BO=2x， BN=800−x，AM=OC=1200−2x．
由题意，易知MF=BO，PF=BN
∴S =S −S −S −S −S
四 边 形OPM矩N 形ABCF△ANM △BON △CPO △FMP
1 1 1 1
=800×1200− ⋅x(1200−2x)− ⋅2x(800−x) − ⋅x(1200−2x)− ⋅2x(800−x)
2 2 2 2
=4x2−2800x+960000
=4(x−350) 2+470000．
∴当x=350时，S =470000．
四 边 形OPMN
AM=1200−2x=500<900，CP=350<600．
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000m2，
这时，点N到点A的距离为350m．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，
正确列出所求图形面积的式子是解题关键．
