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专题 08 平面直角坐标系与函数概念
知识点1：直角坐标系
1．平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
2．点的坐标特征
（1）各象限内点的坐标特征：
点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0；
点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0.
（2）坐标轴上点的特征：
x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0).
（3）对称点的坐标特征：
点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P(-x,y);
1 2
点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y).
3
（4）点的平移特征：将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y));
将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
（5）点到坐标轴的距离:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
知识点2：函数的认识
1．函数的有关概念
（1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
（2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
（3）表示方法:解析式法、列表法、图象法.
（4）自变量的取值范围
① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数;
② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数;
③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
（5）函数值：对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
2．函数的图象
（1）函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵
坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）函数图象的画法：列表、描点、连线.
【考点1】平面直角坐标系内点的坐标
【例1】（2022·贵州铜仁）如图，在矩形 中， ，则D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明 轴，同理可得
轴，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6， 轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6， 轴，
同理可得 轴，
∵点C（3，-1），∴点D的坐标为（-3，-1），
故选D．
【例2】已知点A（x，5）在第二象限，则点B（﹣x，﹣5）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点坐标特征解答．
【详解】∵点A（x，5）在第二象限，
∴x＜0，
∴﹣x＞0，
∴点B（﹣x，﹣5）在四象限．
故选：D．
【例3】（2021·海南中考真题）如图，点 都在方格纸的格点上，若点A的坐标为 ，点B
的坐标为 ，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点 的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．
【详解】解：由点 的坐标建立平面直角坐标系如下：
则点 的坐标为 ，
故选：D．解答本考点的有关题目，关键在于掌握平面直角坐标系内点的坐标的特征.
1．（2022·四川乐山）点 所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．
2．（2022·湖北宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为 ．若小
丽的座位为 ，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小丽的座位坐标为 ，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即
可得出答案．
【详解】解：∵只有 与 是相邻的，
∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是 ，故C正确．故选：C．
3．（2022·江苏扬州）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B
【详解】∵a2⩾0，∴a2+1⩾1，∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限．故选B.
4．（2020•滨州）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点
M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．
【详解】∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，
即点M的坐标为：（5，﹣4）．
故选：D．
5．（2022·山东泰安）如图，四边形 为平行四边形，则点B的坐标为________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
，即将 点平移到 的过程与将 点平移到 的过程保持一致，
将 点平移到 的过程是： （向左平移4各单位长度）； （上下无平移）；
将 点平移到 的过程按照上述一致过程进行得到 ，即 ，
故答案为： ．
6．（2022·湖北鄂州）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智意 攻防转换有乐趣”为主
题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣
1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是_____．【答案】（-3，1）
【分析】根据“帥”和“马”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案．
【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系，
∴“兵”的坐标是（-3，1），
故答案为：（-3，1）．
【考点2】点的坐标变化
【例4】（平移）已知A（3，﹣2），B（1，0），把线段AB平移至线段CD，其中点A、B分别对应点
C、
D，若C（5，x），D（y，0），则x+y的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据A、B两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得x、y的值，然后再计算出
x+y即可．
【详解】解：∵A（3，﹣2），B（1，0）平移后的对应点C（5，x），D（y，0），
∴平移方法为向右平移2个单位，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴x+y＝1，
故选：C．
【例5】（对称）（2022·四川雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【答案】D
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得 ，可得a，b的值，再代入求解即
可得到答案．
【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，
解得：
故选D
1．（2022·湖南长沙）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ．故选D．
2．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把点 的横坐标加2，纵坐标不变，得到 ，就是平移后的对应点的坐标．
【详解】解：点 向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为 ．
故选A．
3．(2020广东)在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为 ( )
A．(-3,2) B．(-2,3) C．(2,-3) D．(3,-2)
【答案】D【分析】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键
【详解】关于x轴对称的点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标互为相反数.所以点(3,2)关于x轴对称的点的坐标
为(3,-2)
故选：D.
4．在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，
3），则点N的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【答案】C
【分析】作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（﹣2，3），可得点N的
坐标．
【详解】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，
∴点N与点P关于原点对称，
又∵点P的坐标为（﹣2，3），
∴点N的坐标为（2，﹣3），
故选：C．
5．若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（
）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【答案】C
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），
∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，
解得：a＝﹣1，
故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．
故选：C．
【考点3】函数自变量的取值范围
【例6】（函数的认识）（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r
的关系式为 ．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选C．
【例7】（函数自变量的取值范围）（2022·黑龙江大庆）在函数 中，自变量 的取值范围是
_________．
【答案】
【分析】二次根式内非负，则函数有意义．
【详解】要使函数有意义，则二次根式内为非负
∴2x+3≥0
解得：
故答案为：
解答本考点的有关题目，关键在于正确求解函数自变量的取值范围，即求解使函数有意义的全部值.
注意以下要点：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.
1．（2021·湖北黄石市）函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．
【详解】解：函数 的自变量 的取值范围是：且 ，
解得： 且 ，
故选：C．
2．（2021·四川泸州市）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【答案】B
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解:由题意得，x-1≥0且x-1≠0，
解得x＞1．
故选：B．
3．（2021·江苏无锡市）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【答案】D
【分析】根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.
【详解】解：∵函数y= 有意义,
∴x-2 0,
即x＞2
故选D
1
y=
√2x−3
4．（2020•黑龙江）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得2x﹣3＞0，
解得x＞1.5．
故答案为：x＞1.5．
【考点4】函数图象的分析与运用【例8】（图形分析）（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以
每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之
间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8
【答案】B
【分析】路线为A→B→C→D→E，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．
【详解】解：坐标系中 对应点运动到B点
B选项正确
即：
解得：
A选项错误
12~16s对应的DE段
C选项错误
6~12s对应的CD段D选项错误故选：B．
【例9】（函数图像运用）（2022·湖北宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程 （单位： ）与步行时
间 （单位： ）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象得出匀速步行的路程和所用的时间，即可求出小强匀速步行的速度．
【详解】解：根据图象可知，小强匀速步行的路程为 （m），
匀速步行的时间为： （min），
这一时间段小强的步行速度为： ，故D正确．故选：D．
解答本考点的有关题目，关键在于准确分析题意，把握变量之间的函数关系，从而得出正确的函数图
象. 注意以下要点：
（1）函数的图象；
（2）常量与变量；
（3）函数关系式.
1．（2022·湖北武汉）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为 ，小正方形与大正方形
重叠部分的面积为 ，若 ，则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小
正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．
【详解】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）；
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3；
③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）．
分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选：A．
2．（2022·贵州毕节）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶 后
进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶 到达目的地．汽车行驶的时间x
（单位：h）与行驶的路程y（单位： ）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是
（ ）A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
【答案】D
【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶的路程是180-
30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
（220-180）÷1=40km/h，即可求解．
【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意；
B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意；
C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意；
D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意；选：D
3．（2022·广西玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔
再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间， 分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下
列说法错误的是( )
A．兔子和乌龟比赛路程是500米 B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米 D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【答案】C【分析】依据函数图象进行分析即可求解．
【详解】由函数图象可知：兔子和乌龟比赛的路程为500米，兔子休息的时间为50-10=40分钟，乌龟休息
的时间为35-30=5分钟，即兔子比乌龟多休息40-5=35分钟，比赛中兔子用时55分钟，乌龟用时60分钟，
兔子比乌龟早到终点5分钟，
据此可知C项表述错误，
故选：C．
4．（2022·山东烟台）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．
在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向
时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程
之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．
【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120 （米/秒）和200÷100＝2（米/秒），
∴20分钟父子所走路程和为 （米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝6400，
解得n＝16.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为16．故选：B．5．（2022·黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货
车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即
原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A
市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出
自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】(1)100 60
(2)
(3)3，6.3，9.125
【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；
（2）设 ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解
析式；
（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系
求解即可．
(1)
解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
(2)
设 ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得 ，
解得
∴y与x的函数解析式为 ；
(3)
解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0
