文档内容
专题 08 特殊平行四边形的综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 特殊平行四边形中的折叠问题】....................................................................................................1
【考向二 特殊平行四边形中旋转问题】........................................................................................................7
【考向三 特殊平行四边形中定值问题】......................................................................................................13
【考向四 特殊平行四边形最小值问题】......................................................................................................19
【考向五 特殊平行四边形中点四边形问题】..............................................................................................25
【考向六 特殊平行四边形中的动态问题】..................................................................................................33
【直击中考】
【考向一 特殊平行四边形中的折叠问题】
例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片 沿 折叠得到 ， 与 交于
点E，若 ，则 的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形 沿 折叠，使 点落在 上的 点处，若
，则 的大小为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形 的周长为8厘米， ，点M为 的中点，点N
是边 上任一点，把 沿直线 折叠，点A落在图中的点E处，当 _________厘米时，
是直角三角形．3．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，点 是边 上一点，以
为对称轴将 折叠得到 ，再折叠 使 落在直线 上，点 的对应点为点 ，折痕为
且交 于点 ．
（1） ______；
（2）若点 是 的中点，则 的长为______．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形 中，点E为 上一点，连接 ，把
沿 折叠得到 ，延长 交 于G，连接 ．
(1)求证： ．
(2)如图2，E为 的中点，连接 ．
①求证： ；②若正方形边长为6，求线段 的长．
【考向二 特殊平行四边形中旋转问题】例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形 是矩形，以点B为旋转中心，顺时
针旋转矩形 得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ，点 恰好在 的延长
线上．
(1)求证： ：
(2)若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形 绕点A顺时针旋转
后，得到矩形 ，如果 ，那么 _______．
2．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点
，点 ，点 ．以点A为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点O，B，C
的对应点分别为D，E，F，记旋转角为 ．
(1)如图1，当 时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在 的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段 上时，直接写出点E的坐标．
3．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片 和 放置在一起.若固定正方形 ，将正方形
绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在 边上，点G在 边上时，线段 与 的数量关系是 ，位置
关系是 ．
(2)如图2，是将正方形 绕着点A逆时针旋转 度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且 ，求线段 的长度（直接写
出答案）．
【考向三 特殊平行四边形中定值问题】
例题：（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 是 上
异于 和 的任意一点，且 于 ， 于 ，则 为_____．
【变式训练】
1．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形 的周长为20，面积为24，
是对角线 上一点，分别作 点到直线 、 的垂线段 、 ，则 等于______2．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点 是菱形 的对角线
延长线上一点，过点 分别作 ， 延长线的垂线，垂足分别为点 ， 若 ，
，则 的值为______．
3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为对角线 上一
动点，连接 ，过点E作 交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
4．（2022春·四川德阳·八年级统考期末）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三
个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．(1)当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果
不是，请说明理由．
(2)当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
【考向四 特殊平行四边形最小值问题】
例题：（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图， 为正方形 边 上一
点， ， ， 为对角线 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，矩形 中， ， ， ，
分别是直线 ， 上的两个动点， ， 沿 翻折形成 ，连接 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图， 中， ， ， ．点D
为边 上一个动点，作 、 ，垂足为E、F，连接 ．则 长度的最小值为______．
3．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上，
点 在边 上，且 ，连接 ，则 的最小值为______．4．（2022秋·陕西汉中·九年级校考期中）如图，在正方形 中， ， 为 边上一点，
． 为对角线 上一动点（不与点 、 重合），过点 分别作 于点 、 于
点 ，连接 、 ，则 的最小值为______．
5．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E，F分别
在菱形的边BC，CD上滑动，满足∠EAF=60°，连接EF，且E，F不与B，C，D重合．
(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF；
(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不
变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【考向五 特殊平行四边形中点四边形问题】
例题：（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）如图， 、 、 、 分别是四边形 四条边的中点，
顺次连接 、 、 、 得四边形 ，连接 、 ，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形 是矩形时，四边形 是菱形B．当四边形 是菱形时，四边形 是矩形
C．当四边形 满足 时，四边形 是菱形
D．当四边形 满足 ， 时，四边形 是矩形
【变式训练】
1．（2022春·北京西城·八年级校考期中）四边形 的对角线 ， 交于点 ，点 ， ， ，
分别为边 ， ， ， 的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形 ，四边形 都是平行四边形；
②若四边形 是平行四边形，则 与 交于点 ；
③若四边形 是矩形，则四边形 也是矩形；
④若四边形 是正方形，则四边形 也一定是正方形．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别
是对角线 ， 的中点，依次连接 ， ， ， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 时， 与 有怎样的位置关系？请说明理由；
3．（2021春·上海长宁·八年级统考期末）如图， 、 是四边形 的对角线，点E、F、G、H分
别是线段 、 、 、 上的中点
（1）求证：线段 、 互相平分；（2）四边形 满足什么条件时， ？证明你得到的结论．
4．（2021秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知：如图，四边形 四条边上的中点分别为 、 、 、
，顺次连接 、 、 、 ，得到四边形 即四边形 的中点四边形 ．
(1)四边形 的形状是______，请证明你的结论；
(2)当四边形 的对角线满足______条件时，四边形 是菱形；
(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．
5．（2021春·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA
边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线 时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线 时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知 ，且 ，请利用（1）中的结论，判断四边
形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．【考向六 特殊平行四边形中的动态问题】
例题：（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ，点E是 边
的中点．点M是 边上一动点（不与点A重合），连接 并延长交 的延长线于点N，连接
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时，求证：四边形 是矩形；
(3)填空：当 的值为 时，四边形 是菱形．
【变式训练】
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于
点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x， AOP的面积为y，y与x的函数关
系图象如图②所示，则AB边的长为（ ）
△
A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
2．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，菱形ABCD中， ，动点P以每秒1个单位的速
度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线 运动
到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．
3．（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）如图，已知 是正方形 内一点， ， ，
将 绕点 旋转至 ，连结 ．
(1)直接写出 、 的长度和 的度数．
(2)求 的长．
(3)试判断 的形状并说明理由．
4．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点P在 边
上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在 边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在 之间往
返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒 ．
(1)用含t的式子表示线段的长度： ______cm，
(2)当 时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
(3)当 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请
说明理由．
