文档内容
专题 02 实数
【专题目录】
技巧1：实数大小比较的七种技巧
技巧2：实数与数轴的关系
技巧3：非负数应用的常见题型
【题型】一、求算术平方根 【题型】二、求平方根
【题型】三、求立方根 【题型】四、实数与数轴
【题型】五、实数比较大小
【题型】六、无理数的估值
【题型】七、非负数性质的应用
【题型】八、实数的运算
【考纲要求】
1、知道实数与数轴上的点一一对应．
2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
3、熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.
【考点总结】一、实数的分类
有理数 整数
实 分数
按定义分
数 无理数 正无理数
的 负无理数
分 正实数
类 按正负分 0
负实数
【考点总结】二、平方根、算术平方根、立方根
无理数 无限不循环的小数叫做无理数
实
数 ① 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作
±√a
；
的 平方根 ② 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方
相 根.
关 ① 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,
算术平方根
概 √a
记作 .√a2 =a(a≥0) √a 2 =|a|
② 非负性：
，
3
√a
① 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作 .
② 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方
念
立方根
根.
③
√ 3 a3 =a √ 3 −a=−√ 3 a
，
零指数，负 1
a−n = (a≠0)
指数幂
a0 =1(a≠0) an
；
1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质：
非负数 ① 非负数有最小值是零；
② 任意几个非负数的和仍为非负数；
几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
③
【考点总结】三、实数的运算
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
加法 异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减失较小数的绝对
值。
减法 减去一个效等于加上这个数的相反数
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
实 几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当
乘法
数 负因数有奇数个时，积为负
的 n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
运 两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
除法
算 0除以任何一个不等于0的数都得0
几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆
乘方
运算
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三
运算顺序 二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进
行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
【考点总结】五、实数的大小比较
1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
3．取差比较法
(1)a－b＞0 a＞b；(2)a－b＝0 a＝b；(3)a－b＜0 a＜B．
4．倒数比较法若＞，a＞0，b＞0，则a＜B．
5．平方法：因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
【注意】
1．比较实数大小的五种方法
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小。
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，
（5）差值比较法
2．无理数常见的四种类型
√2 √ 3 6
（1）开不尽的数，如 ，
π
5
（2）含有π的绝大部分数，如π，
（3）具有特定结构的数，如0.10100000(两个1之间依次增加1个0)
sin60° cos20° tan60°
（4）三角函数数中的一些数，如 ， ， .
【技巧归纳】
技巧1：实数大小比较的七种技巧
【类型】一、比较绝对值法
1．比较－－2与－－2的大小．
【类型】二、开方法
2．比较7与的大小．
【类型】三、平方法或立方法
3．比较－和－π的大小．
【类型】四、取近似值法
4．比较＋2与4.3的大小．
【类型】五、放缩法
5．比较＋2与－2的大小．
【类型】六、作差法6．比较和的大小．
【类型】七、特殊值法
7．已知－1＜x＜0，将x，，x2，按从小到大的顺序排列为 .
参考答案
1．解：∵|－－2|＝＋2，|－－2|＝＋2，
而 ＜，∴＋2＜＋2，[来源:Zxxk.Com]
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
可知－－2＞－－2.
点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．
2．解：7＝＝＝.
∵56＞56, ∴＞，即7＞.
点拨：当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下两
个数的大小．
3．解：∵()2＝10，而10＞π2, ∴＞π，∴－＜－π.
点拨：把两个数都平方，然后比较大小．
4．解：∵≈2.236, ∴＋2≈4.236.
又∵4.236＜4.3，∴＋2＜4.3.
点拨：先求出无理数的近似值，再比较两个数的大小．
5．解：∵2＜＜3, 7＜＜8,
∴＋2＜3＋2＝5＜－2，∴＋2＜－2.
点拨：比较两个无理数的大小可以采用放缩法．
6．解：∵－＝，而－4＝－＜0，∴＜0，即－＜0，∴＜.
点拨：先作差，然后与0比较大小，最后确定这两个数的大小．
7.＜＜x＜x2
点拨：本题可以用特殊值法求解，例如取x＝－，则＝－8，x2＝，＝－，因此＜＜ x＜x2.
技巧2：实数与数轴的关系
【类型】一、利用数轴上的点表示实数
1．已知x2＝3，那么在数轴上x对应的点（如图）可能是（ ）
[
A．点P B．点P
1 4
C．点P 或点P D．点P 或点P
2 3 1 42．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【类型】二、利用数轴比较实数的大小
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（
）
A．－a<0<－b B．0<－a<－b
C．－b<0<－a D．0<－b<－a
4．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则a 0，b 0，|a| －b.（填“＞”
或“＜”）
【类型】三、利用实数与数轴的关系进行计算
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＋－|a－|－|－b|＋|a－b|.
参考答案
1．D 2.C
3．C 4.＜；＜；＜
5．解：原式＝|a|＋|b|－|a－|－|－b|＋|a－b|＝－a＋b＋a－＋－b＋b－a＝b－a.
技巧3：非负数应用的常见题型
【类型】一、绝对值的非负性
1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上（如图）对应的点不可能是（ ）
A．点M B．点O C．点P D．点N
2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝3
C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
【类型】二、偶次方的非负性
3．若（x＋3）2＝a－2，则a的值可以是（ ）A．－1 B．0 C．1 D．2
4．若x2＋（y－4）4＝0，求xy的值．
【类型】三、算术平方根的非负性
一、中被开方数a≥0的应用
5．如果＝b，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＝1 D．a≤1
6．已知x，y都是有理数，且y＝＋＋8，求x＋3y的立方根．
二、≥0的应用
7．已知x，y是有理数，且＋|y－3|＝0，则xy的值是（ ）
A．4 B．－4 C. D．－
8．已知＋＝0，求（x＋y）2 018的值．
三、算术平方根的双重非负性的应用
9．当x为何值时，＋6 有最小值，最小值为多少？
10．若a＋＝2，求的值．
参考答案
1．A 2.C
3．D
4．解：因为x2≥0，(y－4)4≥0，且x2＋(y－4)4＝0，
所以x＝0，y－4＝0，即x＝0，y＝4，所以xy＝0.
5．D
6．解：由题意得x－3≥0且3－x≥0，所以x＝3，所以y＝8.
所以x＋3y的立方根为＝＝3.
7．B
8．解：由题意得x＋3＝0，2y－4＝0，所以x＝－3，y＝2，所以(x＋y)2 018＝(－3＋2)2 018＝1.
9．解：由算术平方根的双重非负性得≥0，2x＋1≥0.
当＝0，即x＝－时，＋6有最小值，最小值为6.
10．解：由a＋＝2得＝2－a，所以a－2≥0，2－a≥0，即a＝2，所以＝＝2.
【题型讲解】
【题型】一、求算术平方根
例1、若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，
∴a=± ，又边长大于0∴边长a= ．故选：A.
【题型】二、求平方根
例2、 的平方是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先计算 ，然后再计算平方．
【详解】∵ ∴ 故选：D．
【题型】三、求立方根
例3、8的相反数的立方根是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．
【详解】8的相反数是﹣8，
﹣8的立方根是﹣2，
则8的相反数的立方根是﹣2，
故选C．
【题型】四、实数与数轴
例4、实数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解．
【详解】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0|b|，故B选项错误；
a+b<0，故C选项错误；
，故D选项正确，故选D.
【题型】五、实数比较大小
例5、在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此
判断即可．
【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜ ＜ ，
所以四个实数中，最小的数是-2．
故选：A．
【题型】六、无理数的估值
例6、估计 的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】= =2+ ，
∵4<6<9，
∵2< <3，
∴4<2+ <5，
故选：A.
【题型】七、非负数性质的应用
例7、若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
【答案】2
【分析】常见的非负数的形式有三种：|a|， (a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.
【详解】
因为≥0，(3－y)2≥0，
而＋(3－y)2＝0，
所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，
则xy－x2＝2×3－22＝2.
【题型】八、实数的运算
4cos30∘sin60∘ +(−2) −1 −(√2019−2008) 0
例8、计算：(1) ；
1 −1
( ) −|−2+√3tan45∘ |+(√2−1.41) 0
3
(2) .
【分析】提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整
数指数的定义及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好
符号关．
【详解】
(1)原式＝4××－－1＝3－－1＝.
(2)原式＝3－|－2＋|＋1＝3－(2－)＋1＝2＋.实数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，实数 在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】根据 得 ，即可得．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的大小比较．
2．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）下列实数中，最大的数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴最大的数是 ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
3．（2022·陕西师大附中模拟预测）4的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根．【详解】∵22＝4，
∴4的算术平方根是2；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，平方与开平方互为逆运算是求一个正数的算术平方根的关键．
4．（2022·广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 的平方根是
C． 是 的算术平方根 D．
【答案】C
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．
【详解】解：A. 的平方根是 ，说法正确，不符合题意；
B. 的平方根是 ，说法正确，不符合题意；
C. ，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意；
D. ，说法正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题
的关键．
5．（2022·浙江丽水·一模）与 最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵4＜5＜6.25，
∴2＜ ＜2.5，
∴与 最接近的整数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．二、填空题
6．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1， 的点分别为A，B，且 （C在A的左
侧），则点C所表示的数是________．
【答案】
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由 列式即可求出点C所表示的数．
【详解】解：设点C所表示的数为 ，
∵点A、B所表示的数分别是1、 ，且由图知B在A的右侧，
，
∵点A、C所表示的数分别是1、 ，且由图知C在A的左侧，
，
，
，解得 ，
点C所表示的数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的
思想是解决问题的关键．
7．（2023·福建莆田·二模）计算： __________．
【答案】4
【分析】根据求一个数的算术平方根，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根与零次幂的性质，正确的计算是解题的关键．
三、解答题8．（2022·辽宁沈阳·二模）计算： ．
【答案】0
【分析】先根据有理数乘法法则，算术平方根，绝对值的性质，负整数指数幂化简，再合并，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数乘法法则，算术平方根，绝对值的性质，负整
数指数幂是解题的关键．
9．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）计算： ．
【答案】
【分析】化简绝对值，二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
实数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·河北唐山·一模）估计 的值应在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】C
【分析】先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：原式，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼
无理数是解题的关键．
2．（2022·河北·一模）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的非负性可知 ，从而得到 ，代值求解即可．
【详解】解：对于 ，
，
，解得 ，则 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查利用二次根式非负性求值，涉及到二次根式的运算，熟练掌握二次根式非负性是解决问
题的关键．
3．（2022·山东临沂·二模）实数 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】直接利用数轴上a，b的位置进行比较得出答案．
【详解】如图所示， 且 ，
∴ ，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确应用数形结合是解题的关键．
4．（2022·河北廊坊·一模）a、b为两个连续整数，若 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 的范围：3＜ ＜4，即可求出ab的值，代入计算即可．
【详解】解：∵3＜ ＜4，
∵a，b为两个连续的整数，
∴a=3，b=4，
∴ = = = ．
故选：A．
【点睛】本题考查对无理数的大小比较的应用，解此题的关键是求出 的范围．
5．（2020·湖南永州·一模）已知: 表示不超过 的最大整数，例: ，令关于 的函
数 ( 是正整数)，例： =1，则下列结论错误的是（ ）
A． B．C． D． 或1
【答案】C
【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】A. = =0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. = = = ， = ，
所以 ，故B选项正确，不符合题意；
C. = ， = ，
当k=3时， = =0， = =1，
此时 ，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时， = =n-n=0，
当k=4n+1时， = =n-n=0，
当k=4n+2时， = =n-n=0，
当k=4n+3时， = =n+1-n=1，
所以 或1，故D选项正确，不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.二、填空题
6．（2022·陕西渭南·二模）比较大小：7______ ．
【答案】＞
【分析】把各数都化成被开方数，比较二次根式被开方数的大小即可．
【详解】解：∵ ，且49＞44，
∴ ，
∴7＞ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（2022·广东·二模）若 ，则 _______．
【答案】1
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵ ，而 ≥0，|b+1|≥0，
∴a-2=0，b+1=0，
解得a=2，b=-1，
∴（a+b）2022=12022=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非
负数都为0．
三、解答题
8．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）观察下列各等式：
① ；
② ；③ ；
④
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．
【答案】(1)
(2) （n为正整数），证明见解析
【分析】（1）根据题干前4个运算式的提示，归纳出相同的运算式的特点，再写出第⑤个即可；
（2）把等式的左边通分，再计算即可得到结论．
（1）
解：① ；
② ；
③ ；
④ ，
所以⑤为：
故答案为
（2）
由（1）归纳可得： （n为正整数），
证明如下： ．故答案为： （n为正整数）．
【点睛】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的
关键．
