文档内容
专题 17 三角形基础
【专题目录】
技巧1：三角形三边关系的巧用
技巧2：三角形的三种重要线段
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【题型】一、三角形的分类
【题型】二、构成三角形三边的条件
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
【题型】五、与三角形重心有关的计算
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
【考纲要求】
1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．
2、理解三角形内角和定理及推论．
3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．
【考点总结】一、三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形的概念 三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“Δ ABC”，读作“三角
三
形ABC”。
角
三角形按边分类 ：
形 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，
的 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
概 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
念
三角形三边的关
三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）
系
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。（2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋
b
【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称
三角形的高概念
三角形的高）。
三
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的中线概
角
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线
念
形
可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
中
三角形的角平分 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角
的
线概念 形的角平分线。
重
三角形三个内角和等于180°。
要
推论：
线 三角形的内角和
①直角三角形的两个锐角互余。
段 定理
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
和
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
有
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
关 三角形的外角和
性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
的 定理
2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
角
指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2
三线八角
对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
【技巧归纳】
技巧1：三角形三边关系的巧用
【类型】一、判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是( )
A．4，4，8 B．5，5，1 C．3，7，9 D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个
三角形？分别写出来．
【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是( )
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16 :C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为( )
A．25 B．25或32 C．32 D．19
7．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC
的周长．
【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
技巧2：三角形的三种重要线段
【类型】一、三角形的高
题型1：找三角形的高
1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，
边AE上的高为________．
题型2：作三角形的高
2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
题型3：应用三角形的高
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)求AD∶BE的值．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.
试说明：DE＋DF＝BG.
【类型】二、三角形的中线
题型1：利用中线求长度
5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为( )
A．40 B．46 C．50 D．56
7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，
求这个等腰三角形的三边长．
题型2：利用中线求面积
8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S ＝12，则图中阴影
△ABC
部分的面积是________．9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S，则S＝________(
1 1
用含a的代数式表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC
的面积为S，则S＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；
2 2
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积
为S，则S＝________(用含a的代数式表示)．
3 3
【类型】三、三角形的角平分线
题型1：三角形角平分线定义的直接应用
10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三
角形有__________；
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平
分线．
题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
题型3：求三角形两内角平分线的交角度数
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【类型】一、直接计算角度
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．
2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．
【类型】二、三角尺或直尺中求角度
3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )
[来源:学科网]
A．125° B．120° C．140° D．130°
4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则
∠CEF的度数为________．
5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点
F，求∠F的度数．
【类型】三、与平行线的性质综合求角度
6．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．【类型】四、与截角和折叠综合求角度
7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A．360° B．250° C．180° D．140°
]
8．△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
(1)如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是____________；
(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
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(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、三角形的分类
例1、已知△ABC中 ，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【题型】二、构成三角形三边的条件
例2、三角形的两边长分别为 和 ，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
例3、如图， 的对角线 ， 交于点 ，若 ， ，则 的长可能是（ ）A． B． C． D．
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
例4、如图，在 中， ，过点C作 于点D，已知 ， ，则
的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【题型】五、与三角形重心有关的计算
例5、如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，
AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
例6、如图所示，直线EF GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝
20°，则∠ACG＝（ ）
A．160° B．110° C．100° D．70°【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
例7、如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
例8、如图，已知 直线 和 相交于点 若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
三角形基础（达标训练）
一、单选题
1．如图，在 ABC中，D为BC的延长线上一点，若∠B=70°，∠1=110°，则∠A=（ ）
△
A．35° B．40° C．55° D．70°
2．如图，已知直线AE∥BD，且∠C＝15°，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）A．45° B．55° C．65° D．75°
3．数学课上，同学们在作 中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（ ）
A．3、4、8 B．4、4、8 C．3、5、6 D．5、6、11
5．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理
是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
二、填空题
6．如图，点B、C、D在同一直线上，AB∥CE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1为___°．7．如图，在 中， ，点E、F分别是边 上，且 ．若 ，则
_________°．
三、解答题
8．如图，在四边形 中， ， ， 平分 交 于点 ，交 的延长线
于点 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的大小．
三角形基础（提升测评）
一、单选题
1．如图，点C，D在直线AB上， ，若 ，则∠BDO的大小为（ ）A． B． C． D．
2．一把直尺和一块三角板ABC（含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和
点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，∠CED=25°，则∠BFA的大小为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．125°
3．如图，BE是 的中线， 交BE于点F，且 ， ，则 的度数为
（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．如图，在 中，BD为AC边上的中线，已知 ， ， 的周长为20，则 的周
长为（ ）
A．17 B．23 C．25 D．28
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝
3，则△DBE的面积为（ ）A．10 B．12 C．9 D．6
二、填空题
6．如图，在 中， 平分 ， ，若 ，则 度数为______．
7．如图，在 中， ，点D在边 上， ，如果 °，那么
___________度．
三、解答题
8．如图，在 中， ，将 绕点A旋转一定的角度得到 ，且点E恰好
落在边BC上．
(1)求证：AE平分 ；
(2)连接BD，求证： ．
