文档内容
专题 24 特殊四边形
【专题目录】
技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题
技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题
【题型】一、矩形的性质
【题型】二、证明四边形是矩形
【题型】三、矩形性质与判定的综合
【题型】四、探索正方形的性质
【题型】五、证明四边形是正方形
【题型】六、探索菱形的性质
【题型】七、证明四边形是菱形
【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题
【考纲要求】
1、掌握平行四边形与矩形、菱形的关系．
2、掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．
3、灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.
【考点总结】一、矩形
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
3）对角线相等；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
矩形的性质 推论：
1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
矩 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交
点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过
形
矩形的对称中心。
1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
矩形的判定 2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
【考点总结】二、正方形正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。
2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形对边平行且相等。
正方形的性质
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
正
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
方
1）有一个角是直角的菱形是正方形；
形 2）对角线相等的菱形是正方形；
3）一组邻边相等的矩形是正方形；
4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
正方形的判定
5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
1
正方形的面积公式：面积=边长×边长= 对角线×对角线
2
【考点总结】三、菱形
菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
1、菱形具有平行四边形的所有性质；
2、菱形的四条边都相等；
几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD
3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
菱形的性质
几何描述：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC
3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交
菱 点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
形
2、四条边相等的四边形是菱形。
3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的判定
菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×
高，S＝
【技巧归纳】
技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题
【类型】一、利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，
求∠AFE的度数．[来源:学,科,网]
【类型】二、利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
2．图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着
L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，
最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．
(1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长．
(2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．
【类型】三、利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系
3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.
【类型】四、利用矩形的性质巧求折叠中线段的比
4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交
BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为31，求的值．[来源:学科网]技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题
【类型】一、平行四边形中的动点问题
1．如图，在 ▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请
你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．
【类型】二、菱形中的动点问题
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【类型】三、矩形中的动点问题
3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为
O.
(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
[来源:Z_xx_k.Com]
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自
A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为
4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【类型】四、正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF
＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、矩形的性质
例1、如图，矩形ABCD中， ， ， 且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是
A． B． C． D．
【题型】二、证明四边形是矩形
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的
延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【题型】三、矩形性质与判定的综合
例3、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、探索正方形的性质
例4、如图，四边形 是正方形，O，D两点的坐标分别是 ， ，点C在第一象限，则点C
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】五、证明四边形是正方形
例5、已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【题型】六、探索菱形的性质
例6、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的
长为（ ）A． B． C．4 D．
【题型】七、证明四边形是菱形
例7、如图，菱形 中，对角线 相交于点O，E为 边中点，菱形 的周长为28，
则 的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题
例8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE
中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
特殊四边形（达标训练）
一、单选题1．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点， ， ，则菱形的周长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，
EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．35°
4．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， 垂直平分 ，交 于点E，交 于点
F，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．5．如图，在 中， ，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长
交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
6．如图，在边长为 的正方形 中，点 、 分别是边 、 上的动点．且 ，连接 、
，则 的最小值为______．
7．如图，在 中， ， ， ．点F为射线CB上一动点，过点C作
于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是______
三、解答题
8．如图所示， 的顶点 在矩形 对角线 的延长线上， 与 交于点 ，
连接 ，满足 ∽ 其中 对应 对应 对应(1)求证： ．
(2)若 ，求 的值．
特殊四边形（提升测评）
一、单选题
1．菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．对角线平分内角 D．是中心对称图形
2．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若 ，
则EF的长为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．24
3．如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（ ）A． B． C． D．
4．菱形两条对角线的长分别为 和 ，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将矩形 沿对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若
∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为_____
7．如图，在菱形ABCD中，已知BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的边长为______．三、解答题
8．如图，在正方形 中，点 在 边的延长线上，点 在 边的延长线上，且 ，连接
和 相交于点 ．
求证： ．
9．已知：如图，在□ 中，点 、 分别在 、 上，且 平分 ， // ．求证：四
边形 是菱形．
