文档内容
专题 21 解三角形
【专题目录】
技巧1：解直角三角形的五种常见类型
技巧2：求锐角三角函数值的常用方法
技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法
技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
【题型】一、锐角三角函数的定义
【题型】二、利用正弦的相关知识求解
【题型】三、利用余弦的相关知识求解
【题型】四、利用正切的相关知识求解
【题型】五、特殊角的三角函数值
【题型】六、解直角三角形
【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题
【考纲要求】
1、理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形．
2、掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．
3、了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算．
4、利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
【考点总结】一、锐角三角形函数与解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
定 义 表达式 取值范围 关 系
正 ∠A的对边 a ∠C=90°,tanA= 3 ,BC=12,
sinA= sinA= 4 sin∠AOC= 3 ⋅¿¿
弦 斜边 c (∠A为锐角) 4
cosA=sinB
余 8 cos A tan A
sin A= ∠ A
弦 17 (∠A为锐角)
锐角三角函数
正
锐 切 (∠A为锐角)
角
B
三
斜边 对
角
边
形 A C
邻边
函【正弦和余弦注意事项】
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角
形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
三角函数 30° 45° 60°
特殊角的三角函
数值 √3 √2 1
cosα
2 2 2
数
√3
tanα 1 √3
与
3
解 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
直 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
角 直角三角形的边 (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
三 角关系 (3)边角之间的关系：
角 sin A＝，cos A＝，tan A＝，
形 sin B＝，cos B＝，tan B＝.
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；
解直角三角形的
(3)已知两直角边a，b，
几种类型及解法
其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，
其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
【考点总结】二、解直角三角形的应用
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处
解直
观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
角三
角形 仰角与俯角
的应
用坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或
坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越
陡．
坡角与坡度
【技巧归纳】
技巧1：解直角三角形的五种常见类型
【类型】一、已知两直角边解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三
角形．
【类型】二、已知一直角边和斜边解直角三角形
2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距
离．
【类型】三、已知一直角边和一锐角解直角三角形
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．【类型】四、已知斜边和一锐角解直角三角形
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个
直角三角形．
【类型】五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形
题型1：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)
5．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝，求∠A的三角函数值．
题型2：化解四边形问题为解直角三角形问题
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，
DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积．
题型3：化解方程问题为解直角三角形问题
7．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)
＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sin A＋sin B的值．
技巧2：求锐角三角函数值的常用方法
【类型】一、直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，
则tan B的值是( )
A. B. C. D.
2．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，求sin C的值．
3．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.求：
(1)点B的坐标；
(2)sin∠BAO的值．
【类型】二、利用同角或互余两角三角函数间的关系
4．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A的值为( )
A．1 B. C. D.
5．若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值为( )
A. B. C. D.
6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．
【类型】三、巧设参数
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以
点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )A. B. C. D.
【类型】四、利用等角来替换
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，
CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．
技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法
【类型】一、无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．
【类型】二、有直角、无三角形的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【类型】三、有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝，求tan A的值．
【类型】四、求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值．
技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型【类型】一、构造一个直角三角形解实际问题
1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离
为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明
理由(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)．
【类型】二、构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题
2．黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电
线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D
处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4
m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1 m，参考数据：≈1.4，≈1.7)．
【类型】三、构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题
3．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学
楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.
(1)求∠BCD的度数．
(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36，tan 18°≈0.32)．
【类型】四、构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题
4．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E
的仰角为30°，AB＝14 m．求居民楼的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)．
【题型讲解】
【题型】一、锐角三角函数的定义
例1、在 中， ， ， ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、利用正弦的相关知识求解
例2、如图，在Rt△ACB中， ，若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【题型】三、利用余弦的相关知识求解
例3、在 中， ，如果 ，那么 的长为（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、利用正切的相关知识求解
例4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【题型】五、特殊角的三角函数值
例5、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型】六、解直角三角形
例6、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点 ，塔身中心线 与垂直
中心线 的夹角为 ，过点 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 ．通过测量可得 、 、
的长度，利用测量所得的数据计算 的三角函数值，进而可求 的大小．下列关系式正确的是（
）
A． B． C． D．
【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题
例7、如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 ，在观测点 处测得大桥主架顶端 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离 为
60米，且 垂直于桥面．（点 在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度 ；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度 ．（结果精确到1米）
（参考数据 ）
解三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，将△ABC绕点A逆时针旋转得到 ，使点
落在AB边上，连结 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2． 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
4． 的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A为 边上的任意一点，作 于点C， 于点D，下列用线段比表示 的
值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道
剖面图的一部分可抽象为线段AB，已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为42°，则坡AB的铅直高度AH
约为______m．（参考数据： ， ， ）
7．如图斜坡 的坡比为 ，竖直高度 为1米，则该斜坡的水平宽度 为______米．三、解答题
8．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们
带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，
小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为
30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考
数据： ）
解三角形（提升测评）
一、单选题
1．在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则cosC的值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．
2．如图，在 中， ，则 长为（ ）A．4 B．8 C． D．12
3．如图，在 中， ，分别以点A、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
M、N，作直线 ，分别交 、 于点D、E，连接 ，若 ， ，则 的面积
为（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，则线段 的长
为A． +1 B．2 C． D． -
二、填空题
6．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转角α（
）得到 ，并使点 落在AB边上，则点B所经过的路径长为____．（结果保留π）
7．如图，在等边三角形ABC中，E为AB边上的一个动点，连接CE，将AC沿着CE折叠得到 ，A的
对应点为 ，连接 ，当 时， 的值为__________．
三、解答题
8．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置
在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为
60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：
3，AB=2 m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ≈1.414 , ≈1.732 ）
9．计算： ．
