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专题 22 与圆有关的位置关系（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 点与圆的位置关系】...............................................................................................................................1
【考点2 直线与圆的位置关系】...........................................................................................................................3
【考点3 圆与圆的位置关系】...............................................................................................................................4
【考点4 切线的判定的综合运用】.......................................................................................................................5
【考点5 切线的性质的综合运用】.......................................................................................................................6
【考点6 切线长定理】...........................................................................................................................................8
【考点7 三角形的内切圆】.................................................................................................................................10
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】.................................................................................................10
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】.........................................................................................................11
【考点10 动圆问题】.............................................................................................................................................13
【要点1 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2022·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆
心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-1】（2022·广西北海·统考二模）已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【变式1-2】（2022·山东枣庄·校考一模）设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为2，最长距离为
6，则⊙O的半径为______．
【变式1-3】（2022·北京平谷·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点
P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的
友好点．
(1)如图1，若r为1．
①已知点P（0，0），P（﹣1，1），P（2，0）中，是⊙O的友好点的是 ；
1 2 3
②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；
(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．
【要点2 直线与圆的位置关系】设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为
则有：
相交：直线和圆有两
直线 和 相交
个公共点 r d
直
线
与
圆
的 相切：直线和圆只有
位 直线 和 相切
一个公共点
置 d=r
关
系
相离：直线和圆没有
直线 和 相离
公共点 r
d
【考点2 直线与圆的位置关系】
【例2】（2022·上海金山·统考二模）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，√3)，圆P的半径为2，下列说法
正确的是（ ）
A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D．圆P与x轴、y轴都没有公共点
【变式2-1】（2022·浙江杭州·统考一模）如图，若⊙O的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直
线可能是（ ）
A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【变式2-2】（2022·四川乐山·统考模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的
圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3
【变式2-3】（2022·上海松江·统考二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tan A= ．D、E分别是
4
边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线
AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【考点3 圆与圆的位置关系】
【例3】（2022·上海松江·校考三模）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以点B为圆心，以BC为半
径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．0≤r<4
【变式3-1】（2022·四川绵阳·一模）如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°，
1 2 1 2
O 沿直线OO 平移，当 O 平移到与 O⊙和AB所在直线都有公共点⊙时，令圆心距OO＝x，则x的取
2 1 2 2 1 1 2
⊙值范围是（ ） ⊙ ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4√3 D．2≤x≤8
【变式3-2】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，点C是OD的中点，以OC为半径作⊙O，以CD为直
径作⊙O'，AB与⊙O和⊙O'分别相切于点A和点B，连接BD，则cos∠BDC的值是（ ）√3 √5 1 √2
A． B． C． D．
3 5 2 2
【变式3-3】（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD
上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若
⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是
__．
【要点3 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【考点4 切线的判定的综合运用】
【例4】（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是
DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；
(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=2√6，求
AE⋅AP的值．
【变式4-1】（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为C´E的中点，过点D作
DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【变式4-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB
交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为
1
⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE= ∠ABC．
2
(1)求证：EF是⊙O的切线．
3
(2)若BF=2，sin∠BEC= ，求⊙O的半径．
5
【要点4 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【考点5 切线的性质的综合运用】
【例5】（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的
⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．
【变式5-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点
B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．(1)求证：DE是⊙O的切线；
4
(2)若DE＝5，cos∠ABD＝ ，求OE的长．
5
【变式5-2】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，
BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE．
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
1
(2)若AC=4，sinC= ，
3
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
【变式5-3】（2022·广东东莞·石龙三中校考三模）如图，AB为⊙O的直径CE与⊙O相切于点D，与BA
的延长线交于点E，EF⊥CO交CO延长线于点F，连接OD，CB，已知CB=3,EB=4,∠FEB=∠FCB．(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BF，求sin∠FBE．
【要点5 切线长定理】
（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
【考点6 切线长定理】
【例6】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长
与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【变式6-1】（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，
PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．62°
【变式6-2】（2022·四川泸州·校考模拟预测）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点
D，E，F，AB=14，BC=13，CA=9，则AD的长是（ ）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【变式6-3】（2022·山东淄博·统考二模）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜
边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC=2PQ，则sin∠B的值为（ ）
1 3 3 4
A． B． C． D．
2 5 4 5
【要点6 三角形的内切圆】
内切圆的圆心是
A
与三角形各边都 三角形三个内角 三角形的内心到
相切的圆叫做三 的角平分线的交 三角形三边的距
三角形内切圆 角形的内切圆 点，叫做三角形 离相等
的内心 I
B C
【考点7 三角形的内切圆】
【例7】（2022·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一
个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
则大正方形的面积为______．
【变式7-1】（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知一个等边三角形的边长是6，那么这个等边三角形内切圆半径是________．
【变式7-2】（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠ACB=90°，BO的延长
线交AC于点D，若BC=4，CD=1，则⊙O的半径长为______．
【变式7-3】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
连接DE、CD交⊙O于G，连接EG并延长交BC于H．
(1)求证：DE∥BC
(2)连接AG，若EH⊥BC求sin∠DAG的值；
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】
【例8】（2022·山东菏泽·统考三模）已知在直角坐标系中，以点A(0,3)为圆心，以3为半径作⊙A，则
直线y=kx+2(k≠0)与⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．与k值有关
【变式8-1】（2022·江苏南京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，2个单位长度为半径画
圆．若一次函数y=kx+5k（k为常数，k≠0）的图像与⊙O有公共点，则k的取值范围是_________．
1
【变式8-2】（2022·福建龙岩·统考二模）直线y=− x−2与x轴、y轴分别交于A和B点，圆心为（0，
2
2）且与x轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______．
【变式8-3】（2022秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、
B两点，⊙O 过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运
1
动，其中动点P以每秒√2个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿
A→O→D→C→B运动，AO 交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
1（1）求E点的坐标和S 的值；
ABE
△
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O 有哪几种位置关系，并求出对应的运动时间t的
1
范围．
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】
【例9】（2022·江苏泰州·校联考三模）如图，AB是 O的直径，点D在AB的延长线上，点C在 O上，
CA＝CD，∠CDA＝30°． ⊙ ⊙
（1）试判断直线CD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若 O的半径为4，⊙
用尺规⊙作出点A到CD所在直线的距离；
①求出该距离．
②
【变式9-1】（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【变式9-2】（2022春·湖南·九年级统考期中）如图．△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图．并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法）．
①作△ABC的外接圆O；
②在AB的延长线上作一点D，使得CD与⊙O相切；
(2)综合与运用：在你所作的图中．若AC＝6，则由线段CD、BD及B´C所围成图形的面积为______．
【变式9-3】（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）【已有经验】我们通过尺规作图，可以作⊙O 经
1
过A，B两点，如图1所示；也可以作⊙O （或⊙O ），使⊙O （或⊙O ）过点M，且与直线l相切，
2 3 2 3
如图2－1（或图2－2）．
(1)【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知∠P，求作⊙O使其与∠P的两边都相切；（保留作图
痕迹，不写作法）
(2)【问题解决】如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=3．若⊙O经过点C，且与直线AB
相切，⊙O的半径为r，当圆心O在△ABC的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．【考点10 动圆问题】
【例10】（2022·上海·二模）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，圆P的半径为1cm，动点
P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心
P的运动时间为 _____s．
3
【变式10-1】（2022·江苏常州·校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+3的图
4
5
像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD= OC，以
3
CD为直径作⊙Q，设点C(0,m)．
（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写
出m的取值范围．
【变式10-2】（2022·河北石家庄·统考二模）如图1和图2，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴
4
的上方作射线OB，且tan∠AOB= .点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同
3
时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点O时，点E，F都停止运动.
以点F为圆心，OF为半径的半圆与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t
秒(t>0)，点E在数轴上对应的数为x．（1）用含t的式子表示OC的长为______，当点E与点C重合时，x=______；
（2）若DE与半圆F相切，求x；
10
（3）如图2，当t= 时，半圆F与DE的另一个交点为G，求∠OED的度数及C´G的长；
3
（4）若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
【变式10-3】（2022春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，
BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径
最小值为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2
