专题 22 与圆有关的位置关系（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 点与圆的位置关系】...............................................................................................................................1
【考点2 直线与圆的位置关系】...........................................................................................................................5
【考点3 圆与圆的位置关系】...............................................................................................................................8
【考点4 切线的判定的综合运用】.....................................................................................................................12
【考点5 切线的性质的综合运用】.....................................................................................................................21
【考点6 切线长定理】.........................................................................................................................................30
【考点7 三角形的内切圆】.................................................................................................................................35
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】.................................................................................................39
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】.........................................................................................................45
【考点10 动圆问题】.............................................................................................................................................51
【要点1 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2022·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆
心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C在⊙A内且点B在⊙A外”可得3<r<5，由此即可得
出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=√AB2−BC2=3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴AC<r<AB，即3<r<5，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
【变式1-1】（2022·广西北海·统考二模）已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是
（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA
大于半径则在圆外．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，OA=5，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A与⊙O外．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式1-2】（2022·山东枣庄·校考一模）设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为2，最长距离为
6，则⊙O的半径为______．
【答案】2
1
【分析】如图，由题意知AP=2，BP=6，根据AB=BP−AP求AB的值，根据⊙O的半径为 AB求解
2
即可．
【详解】解：如图，由题意知AP=2，BP=6
∴AB=BP−AP=4
1
∴⊙O的半径为 AB=2
2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式1-3】（2022·北京平谷·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点
P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的
友好点．
(1)如图1，若r为1．
①已知点P（0，0），P（﹣1，1），P（2，0）中，是⊙O的友好点的是 ；
1 2 3
②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；
(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．
【答案】(1)①P P ；②−3≤t<−1或1<t≤3
2， 33√2
(2)1≤r<
2
【分析】（1）由⊙O友好点的定义可判段出结果；点P应在半径为1<r≤3的圆环内．
（2）根据定义可列出不等式组，解出可得到结果．
（1）
①由题意知：当OP−r≤2r时，P为⊙O的友好点．
√2
∵OP −1=−1,OP −1= −1,OP −1=1.
1 2 2 3
∴⊙O的友好点是P P ．
2, 3
②根据友好点的定义，只要点在半径1<r≤3圆环内都是⊙O的友好点，
∴−3≤t<−1或1<t≤3．
（2）
∵M（0，3），N（3，0），
3√2
∴圆心O到线段MN的距离为 ，
2
∴在x轴上点N到⊙O最左侧的距离为3−r,
∴根据题意可列不等式组得
¿
解得
¿
3√2
∴不等式组解集为：1≤r< ，
2
3√2
∴r的取值范围为：1≤r< ．
2
【点睛】本题考查圆综合题，中心对称，列不等式组等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解
决问题．
【要点2 直线与圆的位置关系】设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为
则有：
相交：直线和圆有两
直线 和 相交
个公共点 r d
直
线
与
圆
的 相切：直线和圆只有
位 直线 和 相切
一个公共点
置 d=r
关
系
相离：直线和圆没有
直线 和 相离
公共点 r
d
【考点2 直线与圆的位置关系】
【例2】（2022·上海金山·统考二模）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，√3)，圆P的半径为2，下列说法
正确的是（ ）
A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D．圆P与x轴、y轴都没有公共点
【答案】B
【分析】点P到x轴的距离是√3，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y
轴相切，从而确定答案即可．
【详解】解：∵P（2，√3），圆P的半径为2，2=2，√3＜2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心
到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；
③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．
【变式2-1】（2022·浙江杭州·统考一模）如图，若⊙O的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直
线可能是（ ）A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【答案】A
【分析】根据切线的定义判断即可；
【详解】解：∵圆心到一条直线的距离等于半径，
∴这条直线是圆的切线，即与圆只有一个交点，
故选： A．
【点睛】本题考查了切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线
是圆的切线；掌握其定义是解题关键．
【变式2-2】（2022·四川乐山·统考模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的
圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再
判断一元二次方程解的情况即可求解．
【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x＝y或x＝﹣y，
当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关
键．3
【变式2-3】（2022·上海松江·统考二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ．D、E分别是
4
边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线
AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】B
3
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由tan A= ．可得AC=4x，
4
8 5
AB=5x，然后根据DE∥AC，可得DE= x，EF=AE= x，从而得到⊙D的半径为x，即可求解．
3 3
【详解】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，
∵BD=2CD．
∴BD=2x，BC=3x，
3
∵tan A= ．
4
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵DE∥AC，
BE BD 3
∴ = =2，tan∠BED= ．
AE CD 4
8
∴BE=2AE，DE= x，
3
5
∴EF=AE= x，
3
∴DE=DF−EF=x，
∴CD=DE，∵⊙E经过点A，且与⊙D外切，
∴⊙D的半径为x，
∵∠C=90°，即AC⊥BC，
∴⊙D与直线AC相切．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握直角三角形的
性质，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识是解题的关键．
【考点3 圆与圆的位置关系】
【例3】（2022·上海松江·校考三模）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以点B为圆心，以BC为半
径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．0≤r<4
【答案】C
【分析】设⊙B半径为Rcm，则R=6cm，根据两圆外离的条件得到AB>r+R，从而得到r的范围．
【详解】解：设⊙B半径为Rcm，则R=BC=6cm，
∵⊙A与⊙B外离，
∴AB>r+R，
∴r<AB−R，
即r<4，
∵r>0，
∴0<r<4．
故选：C．
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R，r，两圆外离⇔d>R+r；
两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R−r<d<R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R−r（R>r）；两圆内
含⇔d<R−r（R>r）．
【变式3-1】（2022·四川绵阳·一模）如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°，
1 2 1 2
O 沿直线OO 平移，当 O 平移到与 O 和AB所在直线都有公共点时，令圆心距OO＝x，则x的取
2 1 2 2 ⊙1 ⊙ 1 2
值范围是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4√3 D．2≤x≤8
【答案】D
【分析】由题意得出点O 在点O 的右侧，⊙O 与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，OO 的最大值和最
2 1 2 1 1 2
小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O 在点O 的左侧时的结论．
2 1
【详解】解：当点O 在点O 的右侧时，
2 1当⊙O 向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
2
则OM=4，
2
又∵∠AOO=30°，
2 1
∴OO=2•OM=8，
1 2 2
当⊙O 继续向左移动到与⊙O 内切时，如图2所示，此时OO=6-4=2，
2 1 1 2
所以当⊙O 平移到与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
2 1
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的
关键．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，点C是OD的中点，以OC为半径作⊙O，以CD为直
径作⊙O'，AB与⊙O和⊙O'分别相切于点A和点B，连接BD，则cos∠BDC的值是（ ）
√3 √5 1 √2
A． B． C． D．
3 5 2 2
【答案】A
【分析】连接OA、O'B、BC、AC，过点O'作O'P⊥AO于点P，，设小圆半径，则可表示出AB，进而根据
△ABC∽△CDB，可求出∠BDC的正切值，进而求其余弦值即可．
【详解】解：如图，连接OA、O'B、BC、AC，过点O'作O'P⊥AO于点P，由题意得：AO＝2BO'，
设BO'＝a，则AO＝2a，
∵AB与⊙O和⊙O'分别相切，
∴∠OAB＝∠ABO'＝90°，
∵∠APO'＝90°，
∴四边形ABO'P为矩形，
∴AP＝OP＝BO'＝a，
∵OO'＝OC+O'C＝3a，
∴AB＝O'P=√OO'2−OP2=2√2a，
∵∠BDC+∠BCD＝90°，∠ABC+∠CBO'＝90°，∠BCD＝∠CBO'，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴△ABC∽△CDB，
AB BC 2√2a
∴ = = =√2，
CD BD 2a
即BC=√2BD，
∴CD=√BD2+BC2=√3BD，
BD BD √3
∴cos∠BDC= = = ，
CD √3BD 3
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，作出合适的辅助线并且熟练掌握切线的性质及相似三角形的性质与判定是
解题关键．
【变式3-3】（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD
上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若
⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是
__．15
【答案】 <PC≤4或PC=3
4
【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P′与圆E内切，切点为
Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：
∴PM⊥AD，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=PC=3，
PC最大值为圆P′与圆E内切，切点为Q，
∴P′C=P′Q=P′E+EQ=3+1=4，
当PC=PA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意，
设PC=PA=x，则BP=BC−PC=6−x,AB=3，
∴(6−x) 2+9=x2，
15
∴x= ，
4
15
则PC长度的取值范围是 <PC≤4或PC=3．
4
15
故答案为： <PC≤4或PC=3．
4
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与
圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
【要点3 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【考点4 切线的判定的综合运用】
【例4】（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是
DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；
(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=2√6，求
AE⋅AP的值．
【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
(3)4√2
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到∠OAC+∠OAD=90°，再证明
∠OAD=∠BAC即可证明结论；
AC BC
（2）先证明△BCA∽△BAD，得到 = ，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，利用勾股定
AD BA
理求出AB=2√2r，解直角三角形即可答案；
AC √2
（3）先求出CD=2√3，在Rt△CAD中， = ，AC2+AD2=CD2，解得AC=2，AD=2√2，证
AD 2
AC AP
明△CAP∽△EAD，得到 = ，则AE⋅AP=AC⋅AD=4√2．
AE AD
（1）
解：如图所示，连接OA，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CAD=90°，∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠OAD=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=90°，即∠BAO=90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）
解：∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，
AC BC
∴ = ，
AD BA
由BC=2OC知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，
在Rt△BAO中，AB=√OB2−OA2=2√2r，
AC BC 2r √2
在Rt△CAD中，tan∠ADC= = = = ，
AD BA 2√2r 2
√2
即tan∠ADB= ；
2
（3）
解：在（2）的条件下，AB=2√2r=2√6，
∴r=√3，
∴CD=2√3，
AC √2
在Rt△CAD中， = ，AC2+AD2=CD2，
AD 2
解得AC=2，AD=2√2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，AC AP
∴ = ，
AE AD
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×2√2=4√2．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三
角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
【变式4-1】（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为C´E的中点，过点D作
DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【答案】(1)见解析
10
(2)AC＝
3
【分析】（1）连接OD，BE，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到
∠ODB=∠EBD，进而得到OD//BE，根据圆周角定理结合题意推出AD⊥OD，即可判定AD是⊙O
的切线；
（2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的
和差求解即可．
（1）
证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为C´E的中点，∴C´D=E´D，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD//BE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵AD//CE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）
解：∵DG//CE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
BF
在Rt BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝ ，
EF
∴BE＝△ 6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝√CE2+BE2=10，
∴OD＝OC＝5，
BE 6 3
在Rt BCE中，sin∠ECB＝ = = ，
BC 10 5
△ 3
∴sinA＝sin∠ECB＝ ，
5
OD 3
在Rt AOD中，sinA＝ = ，OD＝5，
OA 5
△25
∴OA＝ ，
3
10
∴AC＝OA﹣OC＝ ．
3
【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直
角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB
交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BF=2
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明
直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则 ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝
30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
△
【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝90°，
∴∠M＋∠DAM＝90°，∠ABM＋∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性
质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为
1
⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE= ∠ABC．
2
(1)求证：EF是⊙O的切线．
3
(2)若BF=2，sin∠BEC= ，求⊙O的半径．
5【答案】(1)过程见解析
(2)3
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出OE∥BC，再由
EF∥CA，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明△FEO∼△ACB，再设⊙O的半径为r，并表示FO，AB，BC，然后根据对应边成比例得
EO FO
出 = ，根据比例式求出半径即可．
BC AB
【详解】（1）证明：连接OE．
1 1
∵∠BCE= ∠ABC，∠BCE= ∠BOE，
2 2
∴∠ABC=∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠BCD．
∵EF∥CA，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴FE⊥EO．
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）∵EF∥AC，
∴△FEO∼△ACB．
3
∵BF=2，sin∠BEC= ．
5
设⊙O的半径为r，
6
∴FO=2+r，AB=2r，BC= r．
5EO FO
∵ = ，
BC AB
r 2+r
=
∴6 2r ，
r
5
解得r=3，
∴⊙O的半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【要点4 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【考点5 切线的性质的综合运用】
【例5】（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的
⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．
【答案】(1)见解析
4√2
(2)
3
【分析】（1）连接DF,OF，设∠ODF=∠OFD =β，∠OFC=α，根据已知条件以及直径所对的圆周
角相等，证明α+β=90°，进而求得∠DFG=α,∠DFO=β，即可证明FG是⊙O的切线；
（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形GEOF是正方形，进而求得DC的长，根据
GB FC
∠BFG=∠FDC=β，sinβ= = ，即可求解．
BF DC
【详解】（1）如图，连接DF,OF，
∵OF=OD，
则∠ODF=∠OFD，
设∠ODF=∠OFD =β，∠OFC=α，∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF=α，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFO+OFC=∠DFC=90°，
即α+β=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=α，
∵FG⊥AB，
∴∠GFB=90°−∠B=90°−α=β，
∵∠DFB=∠DFC=90°，
∴∠DFG=90°−∠GFB=90°−β=α，
∴∠GFO=GFD+DFO=α+β=90°，
∵OF为⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）如图，连接OE，
∵AB是⊙O的切线，则OE⊥AB，又OF⊥FG,FG⊥AB，
∴四边形GEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形GEOF是正方形，1
∴GF=OF= DC，
2
在Rt△GFB中，BG=1，BF=3，
∴FG=√BF2−GB2=2√2，
∴DC=4√2，
由（1）可得∠BFG=∠FDC=β，
∵FG⊥AB,DF⊥FC，
GB FC
∴sinβ= = ，
BF DC
1 FC
∴ = ，
3 4√2
4√2
解得FC= ．
3
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切
线的性质与判定是解题的关键．
【变式5-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点
B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
4
(2)若DE＝5，cos∠ABD＝ ，求OE的长．
5
【答案】(1)见解析
25
(2)
4
【分析】（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，然后证明 DOE≌△BOE，求出∠ODE＝
∠ABC＝90°即可得出结论；
△
（2 ）可推出∠C＝∠ABD，解直角 ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
△∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，
∵E是BC的中点，
1
∴DE＝BE＝EC＝ BC，
2
在 DOE和 BOE中，¿，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
△ △
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，
∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，
∴∠C＝∠ABD，
BC 10
= 25
在Rt ABC中，AC＝cosC 4 ＝ ，
2
5
△
∵OA＝OB，BE＝CE，
1 25
∴OE＝ AC= ．
2 4
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角
三角形，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关基础知识．
【变式5-2】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，
BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE．(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
1
(2)若AC=4，sinC= ，
3
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
【答案】(1)CO与⊙O相切，理由见解析
4√6
(2)①⊙O的半径为2；②BD=
3
【分析】（1）连接OD，根据OB=OD，可得∠OBD=∠ODB，再由BE=DE，可得∠EBD=∠EDB，
然后根据BE与⊙O相切可得∠FDB+∠ODB=90°，即可求解；
OD 1
（2）①设OD=OA=r，根据sinC= = ，即可求解；②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，求出
OC 3
AD AC √2
CD=4√2，证明ΔCAD∽ΔCDB，可得 = = ，再由勾股定理，即可求解．
BD CD 2
（1）
解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵BE=DE
∴∠EBD=∠EDB
又∵BE与⊙O相切
∴BE⊥AB，即∠EBA=90°∴∠EBD+∠OBD=90°
∴∠FDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴CD⊥OD
∴CD与⊙O相切；
（2）
解：①设OD=OA=r，
∵CD⊥OD
∴∠CDO=90°
OD 1
∴sinC= =
OC 3
∵AC=4，
r 1
∴ = ，解得r=2
r+4 3
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，CD=√OC2−OD2−√62−22=4√2
∵AB为直径
∴∠BDO+∠ADO=90°
∵∠ADC+∠ADO=90°
∴∠ADC=∠BDO
∵∠OBD=∠ODB
∴∠ADC=∠OBD
又∵∠C=∠C
∴ΔCAD∽ΔCDB
AD AC 4 √2
∴ = = =
BD CD 4√2 2
设AD=√2x，则BD=2x，
由勾股定理得AD2+BD2=AB2，即(√2x) 2+(2x) 2=42
2√6
解得x= （负值舍去）
34√6
∴BD=2x=
3
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练掌握相
关知识点是解题的关键，是中考常见题型．
【变式5-3】（2022·广东东莞·石龙三中校考三模）如图，AB为⊙O的直径CE与⊙O相切于点D，与BA
的延长线交于点E，EF⊥CO交CO延长线于点F，连接OD，CB，已知CB=3,EB=4,∠FEB=∠FCB．
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BF，求sin∠FBE．
【答案】(1)证明见详解；
3
(2) ；
2
√5
(3) ．
5
【分析】（1）根据三角形内角和定理及切线的判定方法可得结论；
（2）利用切线的性质及勾股定理可得答案；
（3）延长CB，EF交于点P，利用全等三角形的判定与性质可得EF=PF，再根据直角三角形的性质、勾股
定理及解直角三角形可得答案．
（1）
证明：在△OEF和△OBC中，
∠FEB=∠FCB，∠EOF=∠BOC，
∴∠EFO=∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）
∵∠CBE=90°，BC=3，BE=4，
∴CE=√42+32=5，∵CD，CB是⊙O的切线，
∴CD=CB=3，
∴DE=2，
设⊙O的半径为x，
∴OD=OB=x，
∴OE=4-x，
在Rt△ODE中，x2+22=(4−x) 2 ，
3 3
∴x= ，即⊙O的半径为 ；
2 2
（3）
如图，延长CB，EF交于点P，
∵CD，CB是⊙O的切线，
∴∠ECF=∠PCF，
∵CF⊥PE，
∴∠CFE=∠CFP=90°，
在△CFE和△CFP中，
¿
∴△CFE≌△CFP（SAS），
∴EF=PF，
∵∠EBP=90°，
∴EF=PF=BF，
∴∠FPB=∠FBP，
∵∠P+∠FCP=90°，∠FBP+∠FBE=90°，
∴∠FBE=∠FCP，
∴∠FBE=∠OCB，
3
∵OB= ，BC=3，
2
∴OC=
√
32+
(3) 2
=
3√5
2 23
OB 2 √5
∴sin∠OCB= = = ，
OC 3√5 5
2
√5
∴sin∠FBE= ．
5
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、垂径定理及勾股定理，正确作出
辅助线是解决此题的关键．
【要点5 切线长定理】
（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
【考点6 切线长定理】
【例6】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长
与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【答案】A
【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD
（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=
√OA2+AP2=10，最后利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连接OA
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在 APD和 BPD中，
¿，
△ △
∴ APD≌ BPD（SAS）
∴ △∠ADP=∠△ BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=√OA2+AP2=10，
AP 8 4
∴sin∠ADB= = = ．
OP 10 5
故选A．
【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，
三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
【变式6-1】（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，
PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．62°
【答案】C
【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于
点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
【详解】连接OB，∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故选：C
【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
【变式6-2】（2022·四川泸州·校考模拟预测）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点
D，E，F，AB=14，BC=13，CA=9，则AD的长是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】D
【分析】设AD=x，根据切线长定理得出AF=AD，CE=CF，BD=BD，求出BD=BE=14−x，
CF=CE=9−x，根据CE+BE=BC，代入求出x即可．
【详解】设AD=x，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD，CE=CF，BD=BD，
∵AB=14，BC=13，CA=9，
∴BD=BE=14−x，CF=CE=9−x，
∵CE+BE=BC=13
∴9−x+14−x=13，
∴x=5，
∴AD=5．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【变式6-3】（2022·山东淄博·统考二模）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜
边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC=2PQ，则sin∠B的值为（ ）1 3 3 4
A． B． C． D．
2 5 4 5
【答案】B
【分析】设⊙O与Rt△ABC相切于点D，E，G，与PQ相切于点F，连接OD，OE，OF，OG，设⊙O的
半径为r，BQ=x，PE=y．根据切线的性质定理，正方形的判定定理和性质求出CE，GQ，FQ的长度，根
据相似三角形的判定定理和性质求出BC的长度，根据切线长定理确定BE=BG，PE=PF，进而列出方程并
用r表示BQ，进而用r和y表示出PQ和BP的长度，根据勾股定理用r表示出y，进而求出PQ和BP的长
度，再根据直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】解：如下图所示，设⊙O与Rt△ABC相切于点D，E，G，与PQ相切于点F，连接OD，OE，
OF，OG，设⊙O的半径为r，BQ=x，PE=y．
∵⊙O与Rt△ABC相切于点D，E，G，与PQ相切于F，PQ⊥AB，
∴OD=OE=OF=OG=r，∠ODC=∠OEC=∠OGQ=∠OFQ=∠ACB=∠PQB=∠FQG=90°，PF=PE=y，BE=BG．
∴四边形ODCE是矩形，四边形OFQG是矩形，BP2=BQ2+PQ2．
∴矩形ODCE是正方形，矩形OFQG是正方形．
∴CE=OE=r，FQ=GQ=OG=r．
∴BG=BQ+GQ=x+r，PQ=PF+FQ=y+r．
∵AC=2PQ，
AC
∴ =2．
PQ
∵∠ABC=∠PBQ，
∴△ACB∽△PQB．
BC AC
∴ = =2．
BQ PQ
∴BC=2BQ=2x．∴BE=BC-CE=2x-r．
∴x+r=2x-r．
∴x=2r．
∴BQ=2r．
∴BE=3r．
∴BP=BE-PE=3r-y．
∴(3r−y) 2=(2r) 2+(y+r) 2．
1
∴y= r．
2
1
∴PE=PF= r．
2
3 5
∴PQ= r，BP= r．
2 2
3
r
PQ 2 3
∴sin∠B= = = ．
BP 5 5
r
2
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定定理和性质，相似三角形的判定定理和性质，切线长定理，
勾股定理，解直角三角形，综合应用这些知识点是解题关键．
【要点6 三角形的内切圆】
内切圆的圆心是
A
与三角形各边都 三角形三个内角 三角形的内心到
相切的圆叫做三 的角平分线的交 三角形三边的距
三角形内切圆 角形的内切圆 点，叫做三角形 离相等
的内心 I
B C
【考点7 三角形的内切圆】
【例7】（2022·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一
个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
则大正方形的面积为______．【答案】289
【分析】设直角三角形的三边分别为a,b,c，较长的直角边为a,较短的直角边为b, c为斜边，由切线长定
a+b−c
理可得，直角三角形的内切圆的半径等于 ，即a+b−c=6，根据小正方的面积为49，可得
2
(a−b) 2=49，进而计算c2即a2+b2即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为a,b,c，较长的直角边为a,较短的直角边为b, c为斜
边，
∵直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
a+b−c
∴ =3，(a−b) 2=49，
2
∴ a+b−c=6①，a−b=7②，
13+c c−1
∴a= ,b= ，
2 2
∵a2+b2=c2③，
∴
(13+c) 2
+
(c−1) 2
=c2 ，
2 2
解得c=17或c=−5（舍去），
大正方形的面积为c2=172=289，
故答案为：289．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切
a+b−c
圆的半径等于 是解题的关键．
2
【变式7-1】（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知一个等边三角形的边长是6，那么这个等边三角形内切圆半
径是________．
【答案】√3
【分析】根据等边三角形的性质，直角三角形的边角关系，三角形面积公式求出三角形的面积，再根据三
角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图所示，△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，AG⊥BC于
G．
∵等边三角形ABC的边长为6，
∴AB=BC=AC=6，∠ABC=60°．∴AG=AB⋅sin∠ABC=3√3．
1
∴S = BC⋅AG=9√3．
△ABC 2
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF．
2S
∴OD= △ABC =√3．
AB+BC+AC
故答案为：√3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形面积公式，切线的性质定理，三角形面积与
内切圆半径的关系，熟练掌握这些知识点是解题关键．
【变式7-2】（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠ACB=90°，BO的延长
线交AC于点D，若BC=4，CD=1，则⊙O的半径长为______．
4
【答案】 ##0.8
5
【分析】过点O作OE⊥BC于点E，设⊙O的半径长为r，三角形内切圆的性质，可得OE是⊙O的半径，
OC平分∠ACB，从而得到CE=OE=r，再由△BOE∽△BDC，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥BC于点E，
设⊙O的半径长为r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OE是⊙O的半径，OC平分∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCE=45°，
∴∠COE=∠OCE=45°，
∴CE=OE=r，
∴BE=4-r，
∵OE⊥BC，∴∠BEO=∠ACB=90°，
∴△BOE∽△BDC，
BE EO 4−r r
∴ = ，即 = ，
BC CD 4 1
4 4
解得：r= ，即⊙O的半径为 ．
5 5
4
故答案为：
5
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内切圆的性质，
相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式7-3】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
连接DE、CD交⊙O于G，连接EG并延长交BC于H．
(1)求证：DE∥BC
(2)连接AG，若EH⊥BC求sin∠DAG的值；
【答案】(1)见解析
2√7
(2)sin∠DAG=
7
【分析】(1)只要证明∠ADE=∠B即可解决问题；
(2)证明△ABC是等边三角形，证明 GE＝GC，设GE＝GC＝m，则 DG＝2m，CD＝3m，AD＝√3m，求出 AG
即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，O为内切圆圆心．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AB，AC切⊙O于D，E，∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵2∠ADE＋∠DAE＝180°，2∠B＋∠BAC＝180°，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．
（2）∵EH⊥BC，DE∥BC，
∴EH⊥DE，
∴DG是⊙O的直径，
∵FC，CE是⊙O的切线，CF＝CB，∠DCF＝∠DCE，
∵∠EDC＝∠DCF，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝EC＝CF，
同法可证：BD＝BF＝CE＝DE，
1
∵DE∥BC，DE= BC．
2
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD＝BD＝BF＝CF，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECG＝∠CEG＝∠EDC＝30°，
∴GE＝GC，设GE＝GC＝m，则DG＝2m，CD＝3m，AD=√3m，
∴AG=√AD2+DG2=√ (√3m) 2+(2m) 2=√7m，
DG 2√7
∴sin∠DAG= = ．
AG 7
【点睛】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟
练掌握对应基本知识．
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】
【例8】（2022·山东菏泽·统考三模）已知在直角坐标系中，以点A(0,3)为圆心，以3为半径作⊙A，则
直线y=kx+2(k≠0)与⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．与k值有关
【答案】B
【分析】直线y=kx+2(k≠0)过定点(0,2)，该点在⊙A内部，因此可知直线y=kx+2(k≠0)与⊙A的位
置关系是相交．
【详解】解：对于y=kx+2(k≠0)，当x=0时，无论k取何值，对应的y值均为2，∴直线y=kx+2(k≠0)过定点(0,2)，
∵⊙A是以点A(0,3)为圆心，以3为半径的圆，
∴定点(0,2)在⊙A内部，
∴直线y=kx+2(k≠0)与⊙A的位置关系是相交．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线与圆位置关系的判定，得出直线 y=kx+2(k≠0)
过定点(0,2)是解题的关键．
【变式8-1】（2022·江苏南京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，2个单位长度为半径画
圆．若一次函数y=kx+5k（k为常数，k≠0）的图像与⊙O有公共点，则k的取值范围是_________．
2√21 2√21
【答案】− ≤k≤ 且k≠0
21 21
【分析】根据题意，首先得出一次函数必过定点（-5,0），则直线绕点（-5,0）旋转，与⊙O有公共点，即
找出两个相切的极限位置，求出对应的k值，k在两个极限位置k值之间．
【详解】∵一次函数解析式为：y=kx+5k=k(x+5)（k为常数，k≠0），
∴当x=−5时，y=0，即一次函数必过定点(−5,0)，
设一次函数y=kx+5k与x轴和y轴分别交于点A,B，
当直线AB与⊙O相切时，切点为M，有两种情况，如图所示：
①当直线与y轴交于正半轴时，连接OM，
∵直线AB与⊙O相切，
∴OM⊥AB，
∴∠AMO=90°，
在Rt△AMO中，
AM=√AO2−OM2=√52−22=√21,
OM 2
∴tan∠OAM= =
,
AM √21
在Rt△ABO中，
BO BO 2
tan∠BAO= = =
,
AO 5 √2110√21
解得：BO=
,
21
10√21
即B点坐标为(0, )，
21
代入一次函数解析式y=kx+5k，
2√21
解得k= ，
21
②当直线与y轴交于负半轴时，同理可得：
10√21
B点坐标为(0,− )，
21
代入一次函数解析式y=kx+5k，
2√21
解得k=− ，
21
2√21 2√21
∴− ≤k≤ 且k≠0，
21 21
2√21 2√21
故填：− ≤k≤ 且k≠0．
21 21
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，勾股定理及解直角三角形，解题关键是熟练掌
握直线与圆的位置关系，将几何关系转化为代数关系．
1
【变式8-2】（2022·福建龙岩·统考二模）直线y=− x−2与x轴、y轴分别交于A和B点，圆心为（0，
2
2）且与x轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______．
8√5
【答案】 −2．
5
1
【分析】过点C作CE⊥AB交AB于点E，与圆C交于点P，根据直线y=− x−2与x轴、y轴分别交于A
2
和B点，可得B点坐标是（0，-2），A点坐标是（-4，0），则有OA=4，OB=2，
AB=√OA2+OB2=2√5，再根据圆心为（0，2）的圆C与x轴相切，可得OC=2,BC=4，根据
1 1 8√5
S△ABC= AB·CE= BC·OA,可求得CE= ，利用PE=CE−OC，可求得结果．
2 2 5
【详解】解：如图示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，与圆 C交于点P，则PE点为所求，1
直线y=− x−2与x轴、y轴分别交于 A和B点，
2
∴当x=0时，y=−2，
∴B点坐标是（0，-2），
∴当y=0时，x=−4，
∴A点坐标是（-4，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=√OA2+OB2=√42+22=2√5，
又∵圆心为（0，2）的圆C与x轴相切，
∴OC=2,BC=OB+OC=2+2=4，
1 1
∴S△ABC= AB·CE= BC·OA，
2 2
BC·OA 4×4 8√5
∴CE= = = ，
AB 2√5 5
8√5
∴PE=CE−OC= −2，
5
8√5
故答案是： −2．
5
【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心C到直线AB的距离是解
题的关键．
【变式8-3】（2022秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、
B两点，⊙O 过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运
1
动，其中动点P以每秒√2个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿
A→O→D→C→B运动，AO 交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
1（1）求E点的坐标和S 的值；
ABE
（2）试探究点P、Q从△开始运动到停止，直线PQ与⊙O 有哪几种位置关系，并求出对应的运动时间t的
1
范围．
2 4
【答案】（1）E（0， ）， ；（2）当PQ与⊙O 相离，0＜t＜1；当PQ与⊙O 相切时，t=1或t=4；当
3 3 1 1
PQ与⊙O 相交时，4＞t＞1.
1
【分析】（1）依题意容易知道O 的坐标，根据待定系数法可以确定直线AE的解析式，然后求出E的坐标，
1
最后求出S ；
ABE
（2）容易知△ 道当Q运动到O点时PQ与圆相切，此时t=1，所以可以确定其他位置的t的值；
【详解】（1）由题意知，A（﹣2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，∴O （1，1），
1
设AO 的直线的解析式为y=kx+b，则有0=﹣2k+b，1=k+b，
1
2 1
解得：b= ，k= ，
3 3
1 2 2
∴y= x+ ，∴E（0， ），
3 3 3
4 1 4
∴BE= ，S = OA•BE= ；
3 ABE 2 3
△
（2）直线PQ与⊙O 有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，
1
∵动点P沿A→B→A运动后停止；动点Q沿A→O→D→C→B运动，
∴根据切线的定义，如果PQ与⊙O 相切，切点只能是O、D、C、B中的一个.
1
分两种情况：
①当点P从A点移到B点时，由于OA=OB=2,
∴AB=2√2，
∴t=2√2 ÷√2=2，
当t=2时，点Q从A点运动到D点，
当到达D点时，点P在B点，显然不合题意，舍去，1
当点Q在O点时，如图①，此时t=2÷2=1,连结O Q、PQ,易知PA=√2 = AB,
1 2
∵QA=QB,
1
∴∠PQB=
∠AQB=45∘
,
2
∵O1是正方形ODCB的中心，
∴∠O QB=45∘,
1
∴∠PQO =900,
1
∴PQ为⊙O 的切线，此时t=1
1
图① 图②
②当点P从B点移到A点时, 点Q从D点经过C点到达B点，显然，当点Q在点C处时，PQ与⊙O 相交，
1
当点Q运动到B点时，点P回到了点A,如图②，同理可证此时PQ与⊙O 相切，易得t=4，
1
综上，当t=1或t=4时，PQ与⊙O 相切，
1
∴由题意可知：
当PQ与⊙O 相离，0＜t＜1；
1
当PQ与⊙O 相切时，t=1或t=4；
1
当PQ与⊙O 相交时，4＞t＞1；
1
【点睛】本题考查了圆的综合题：圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径；待定系数法是求函数解析式常
用的方法；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质以及坐标轴上点的坐标特点．
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】
【例9】（2022·江苏泰州·校联考三模）如图，AB是 O的直径，点D在AB的延长线上，点C在 O上，
CA＝CD，∠CDA＝30°．
⊙ ⊙
（1）试判断直线CD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若 O的半径为4，
⊙
用尺规作出点A到CD所在直线的距离；
⊙
求出该距离．
①
②【答案】（1）CD与 O相切．理由见解析；（2） 如图，AH为所作；见解析； 点A到CD所在直线
的距离为6．
⊙ ① ②
【分析】（1）连接OC，如图，利用等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA＝30°，∠OCA＝∠OAC＝30°，
则利用三角形内角和计算出∠OCD＝90°，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）①如图，利用基本作图，过点A作AH⊥CD于H即可；②在Rt OCD中利用含30度的直角三角形三边
的关系得到OD＝8，则AD＝12，从而可求出AH的长．
△
【详解】（1）CD与⊙O相切．
理由如下：连接OC，如图，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣3×30°＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）①如图，AH为所作；
②在Rt OCD中，∵∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝8，
△
∴AD＝8+4＝12，
1
在Rt ADH中，AH＝ AD＝6，
2
即点△ A到CD所在直线的距离为6．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．【变式9-1】（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2√3
【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出
CH可得结论．
【详解】（1）解：如图，切线AD即为所求；
（2）如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
1
∴∠BCA＝ ∠AOB＝75°，
2∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝√3，
∴BC＝2√3．
【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式9-2】（2022春·湖南·九年级统考期中）如图．△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图．并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法）．
①作△ABC的外接圆O；
②在AB的延长线上作一点D，使得CD与⊙O相切；
(2)综合与运用：在你所作的图中．若AC＝6，则由线段CD、BD及B´C所围成图形的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)6√3−2π
【分析】（1）①作线段AB的垂直平分线EF交AB于O，以O为圆心OA为半径作⊙O，则⊙O即为所求．
②过点C作OC的垂线，交AB的延长线于D，则点D即为所求．
（2）线段CD、BD及B´C所围成图形的面积为S DOC﹣S OBC，进行计算即可.
扇形
（1） △
①作线段AB的垂直平分线EF交AB于O，以O为圆心OA为半径作⊙O，则⊙O即为所求．
②过点C作OC的垂线，交AB的延长线于D，则点D即为所求．（2）
∵AC＝6，∠A＝30°，
∴BC＝tan30°×6＝2√3，∠COB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝2√3，
∵CD与⊙O相切，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴DO＝2OC＝4√3，
∴DC＝6，
∴线段CD，BD及B´C所围成图形的面积
2
1 60π×(2√3)
＝S DOC﹣S OBC= ×2√3×6− =6√3−2π
扇形
2 360
△
故答案为：6√3−2π．
【点睛】本题考查了尺规作图中垂直平分线和垂线的作法以及扇形面积的计算方法，熟练掌握尺规作图和
扇形面积的计算方法是本题的解题关键.
【变式9-3】（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）【已有经验】我们通过尺规作图，可以作⊙O 经
1
过A，B两点，如图1所示；也可以作⊙O （或⊙O ），使⊙O （或⊙O ）过点M，且与直线l相切，
2 3 2 3
如图2－1（或图2－2）．(1)【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知∠P，求作⊙O使其与∠P的两边都相切；（保留作图
痕迹，不写作法）
(2)【问题解决】如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=3．若⊙O经过点C，且与直线AB
相切，⊙O的半径为r，当圆心O在△ABC的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．
【答案】(1)见解析
6 3
(2)①r的最小值为 ；②r的最大值为
5 2
【分析】（1）先画出∠P的角平分线，在角平分线上任意取一点O，过点O作∠P一边的垂线，以点O
到垂足的距离为半径画圆，此时⊙O与∠P的两边相切；
（2）①过点C作CD⊥AB于点D，当CD是⊙O的直径时，r最小；②当点O运动到BC边上时，r最大．
【详解】（1）解：如下图所示：
（2）①如图，过点C作CD⊥AB于点D，当CD是⊙O的直径时，r最小．∵∠C=90∘，AB=5，AC=3，
∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4．
1 1
∵S = CD⋅AB= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 12
∴CD= = ．
AB 5
1 6
∴OD= CD= ．
2 5
6
∴r的最小值为 ．
5
3
②r的最大值为 ．
2
当点O运动到BC边上时，r最大．
此时，OD=OC=r，则OB=4−r；
∵直线AB是⊙O的切线，
∴∠ODB=90∘=∠C，
∵∠B=∠CBA,
∴△ABC ∽△OBD ，
OD OB r 4−r
∴ = ，即： = ，
AC AB 3 5
3
解得r= ．
2
【点睛】本题考查圆的切线，尺规作图等知识点，分析出圆心O的位置，并能灵活运用等面积法、相似等
是解题的关键．
【考点10 动圆问题】
【例10】（2022·上海·二模）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，圆P的半径为1cm，动点
P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心
P的运动时间为 _____s．
【答案】4或8##8或4
【分析】求得当 P位于点O的左边与CD相切时t的值和 P位于点O的右边与CD相切时t的值即可．
⊙ ⊙【详解】解：当点P在射线OA时 P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E
⊙
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°
∴OP＝2PE＝2cm
∴ P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切
6−2
⊙
∴ P移动所用的时间＝ ＝4（秒）；
1
当⊙点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E
∴PF＝1cm
∵∠AOC＝∠DOB＝30°
∴OP＝2PF＝2cm
∴ P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
6+2
∴⊙ ⊙ P移动所用的时间＝ ＝8（秒）
1
∴当 P的运动时间为4或8秒时， P与直线CD相切．
故答案为：4或8．
⊙ ⊙
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点
P在射线OB两种情况进行计算．
3
【变式10-1】（2022·江苏常州·校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+3的图
4
5
像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD= OC，以
3
CD为直径作⊙Q，设点C(0,m)．（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写
出m的取值范围．
27 27 3 27
【答案】（1）5；（2）m的值 是或0；（3） ≤m≤ 或m≤−
13 34 2 16
3
【分析】（1）由一次函数y=− x+3的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，可求OB=3,OA=4，根据
4
勾股定理求AB=5即可；
（2）分两种情形：当点C与点O重合时，圆Q与x轴相切，此时m=0;当m>0时，设⊙Q与x轴相切于点
BO 3
F，连接QF，先求sin∠BAO= = ，根据DE∥x轴可得∠BDE=∠BAO，利用三角函数BE=m，再由勾
AB 5
4 1 3
股定理DE= m，可证BH=OH= OB= ，利用勾股定理CE2+DE2=CD2，构造方程
3 2 2
(2m−3) 2+ (1 m ) 2 =32 解方程即可；
2
3 5 3
（3）当m≥0时，当CD⊥AB时，可证 CDB∽△AOB，可得BD= BC,构造方程 m= (3−m),当CD⊥y
5 3 5
△ 3−m 3
=
轴时，可得∠BDC=∠BAO，利用三角函数sin∠BAO=sin∠BDC可得 5 5，当m<0时，当CD⊥AB时，
m
3
5 3
可证∠BCD=∠BAO，由sin∠BCD=sin∠BAO可得 (−m)= (3−m)，解方程求出边值即可．
3 5
3
【详解】解：（1）一次函数y=− x+3的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
4
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=4
∴在Rt AOB中，OB=3,OA=4
∴AB=
△
√OB2+OA2=5
即线段AB的长是5；
（2）分两种情形：当点C与点O重合时，圆Q与x轴相切，此时m=0;
如图当m>0时，设⊙Q与x轴相切于点F，连接QF，
则QF⊥x轴，CD=2QF，
设⊙Q与y轴相交于点E时，连接DE，
∵OC=m，
5 5
∴BD= OC= m，
3 3
BO 3
∵sin∠BAO= =
AB 5
∵CD为直径，
∴DE⊥OB，
∴DE∥x轴
∴∠BDE=∠BAO，
5 3
∴BE=BDsin∠BDE= m× =m，
3 5
∴DE=√BD2−BE2= √ (5 m ) 2 −m2= 4 m，
3 3
∴CE=OC+BE−BO=2m−3，
取CE的中点H，连接QH，
∴QH⊥CE，
∵DE⊥OB，
∴QH//DE，
∵BC=OB-OC=3-m=OB-BE=OE,
1 3
∴BH=BC+CH=OE+EH=OH= OB= ，
2 2
3
∴QF=OH= ，
2
∵CE2+DE2=CD2，
∴(2m−3) 2+ (1 m ) 2 =32
227
解这个方程，得m = ,m =0（舍去）
1 13 2
27
当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时， m的值为0或 ；
13
（3）当m≥0时，从CD⊥AB开始到CD⊥OB截止，
当CD⊥AB时，
∴∠CDB=∠BOA=90°，∠CBD=∠ABO，
∴△CDB∽△AOB，
BC BD BD OB 3
∴ = 即 = = ,
AB OB BC AB 5
3
∴BD= BC,
5
5 3
∴ m= (3−m),
3 5
27
解得m=
,
34
当CD⊥y轴时，
∴CD∥x轴，
∴∠BDC=∠BAO，
BC BO 3
∴sin∠BAO=sin∠BDC= = =
BD AB 53−m 3
=
∴ 5 5
m
3
3
解得m=
2
经检验符合题意，
27 3
∴有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），m的取值范围为 ≤m≤
34 2
当m<0时，从CD⊥AB开始，向下均满足，
当CD⊥AB时，∠BDC=∠BOA=90°，
∴∠BCD+∠DBC=∠BAO+∠DBC=90°，
∴∠BCD=∠BAO，
BD BO 3
∴sin∠BCD=sin∠BAO= = =
BC AB 5
3
即BD= BC
5
5 3
∴ (−m)= (3−m)
3 5
27
解得m=−
16
27
∴有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），m的取值范围为m≤−
16
∴直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），m的取值范围27 3 27
为 ≤m≤ 或m≤− ．
34 2 16
【点睛】本题考查一次函数与两轴的交点坐标．勾股定理，分类思想的运用，圆的切线性质，平行线性质，
锐角三角函数，三角形相似判定与性质，一元二次方程的解法，利用边值定范围，掌握一次函数与两轴的
交点坐标．勾股定理，分类思想的运用，圆的切线性质，平行线性质，锐角三角函数，三角形相似判定与
性质，一元二次方程的解法，利用边值定范围．
【变式10-2】（2022·河北石家庄·统考二模）如图1和图2，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴
4
的上方作射线OB，且tan∠AOB= .点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同
3
时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点O时，点E，F都停止运动.
以点F为圆心，OF为半径的半圆与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t
秒(t>0)，点E在数轴上对应的数为x．
（1）用含t的式子表示OC的长为______，当点E与点C重合时，x=______；
（2）若DE与半圆F相切，求x；
10
（3）如图2，当t= 时，半圆F与DE的另一个交点为G，求∠OED的度数及C´G的长；
3
（4）若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
6 5π
【答案】（1） t，6；（2）x=10；（3）∠OED=45°，l = ；（4）0<x<6或10≤x<16．
5 C´G 3
4
【分析】（1）连接CF，过F点作OA垂线，垂足为G，tan∠AOB= ，设OG=3m，FG=4m，可得
3
6t
t2=(3m) 2+(4m) 2，解得m的值即可求得OC的长；当点E与点C重合时： =16−2t，解得t的值，代
5
入求得OE即可；
4
（2）当半圆F与DE相切时，则OD⊥DE，又因为tan∠AOB= ，设DE=4k，OD=3k，则OE=5k，
3
OD 3 2t 3
可列 = ， = ，求出t值，解出OE值即可；
OE 5 16−2t 510
（3）连接CD，因为OD为半圆F的直径，∠OCD=90°，当t= 时，由勾股定理可以求得CD值，
3
CE=OA−AE−OC，最终得到CD=CE，即△CDE为等腰直角三角形，
由此可知∠OED的度数；连接OG，FG，FC，可知∠CFG=2∠COG=90°，根据弧长
公式求解即可；
（4）若半圆F与线段DE相切时，可以求得x的值；当点E与点C重合时，可以求出x的值，解出相应取值
范围即可．
【详解】解：（1）连接CF，过F点作OA垂线，垂足为G，
∵F为半圆圆心，
∴OF=FC=t，
1
∴OG=CG= OC，
2
4
∵tan∠AOB= ，
3
设OG=3m，FG=4m，
∴t2=(3m) 2+(4m) 2，
t
解得：m= ，
5
6t
∴OC=2OG=2×3m=6m= ；
5
6t
当点E与点C重合时： =16−2t
5
解得：t=5，
当t=5时，OC=OE=6；
6
故答案为： t，6．
5
（2）当半圆F与DE相切时，则OD⊥DE.
4
在Rt△ODE中，tan∠DOE= ，设DE=4k，OD=3k，则OE=5k，
33
∴cos∠DOE= ，
5
OD 3
∴ = .
OE 5
2t 3
∴ = .
16−2t 5
∴t=3.
∴t=3s时，半圆F与DE相切.
此时x=16−3×2=10.
（3）如图，连接CD，
∵OD为半圆F的直径，
∴∠OCD=90°，
3
由（2）可知，cos∠COD=
.
5
OC 3
∴在Rt△OCD中， = ，
OD 5
3 3 6
∴OC= OD= ⋅2t= t，
5 5 5
10 20 20
∴当t= 时，OC=4，OD=2OF=2t= ，AE=2t= ，
3 3 3
√ 20 2 16
由勾股定理，得CD=√OD2−OC2= ( ) −42= .
3 3
20 16
∵CE=OA−AE−OC=16− −4= ，
3 3
∴CD=CE，即△CDE为等腰直角三角形，
∴∠OED=45°.
连接OG，FG，FC.
∵OD为直径，
∴∠OGD=90°.
∴∠COG=90°−∠OED=90°−45°=45°.∴∠CFG=2∠COG=90°.
10
90π⋅
3 5π.
∴l = =
C´G 180 3
（4）若半圆F与线段DE相切时，OD⊥DE，△OCD∽△ODE，
2t 3
= ，解得t=3，此时x等于10，
16−2t 5
∴当10≤x<16时，半圆F与线段DE只有一个交点，
当点E与点C重合时，由（1）得：x=6，
∴当0<x<6时，半圆F与线段DE只有一个交点，
综上所述：0<x<6或10≤x<16.
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，锐角三角函数，相似三角形等知识点，本题属于圆与动点问
题的结合，难度较大，找到圆与直线特殊的位置关系，列出相应关系式是解题关键．
【变式10-3】（2022春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，
BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径
最小值为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2
【答案】D
【分析】如图所示，连接OC，OP，设圆O的半径为r，则OC=OP，由OC+OP≥PC，得到2r≥PC，则
当P、O、C三点共线且CP⊥AB时，r有最小值，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OC，OP，设圆O的半径为r
∴OC=OP，
∵OC+OP≥PC，
∴2r≥PC，
∴当P、O、C三点共线且CP⊥AB时，r有最小值，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=√AC2+BC2=5，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CP，
△ABC 2 2
AC⋅BC
∴CP= =2.4，
AB∴r的最小值为1.2，
故选D．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离垂线段最短，圆与三角形综合，正确得到当P、O、C三点共线且
CP⊥AB时，r有最小值是解题的关键．
