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专题 22 与圆有关的位置关系（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 点与圆的位置关系】...............................................................................................................................1
【考点2 直线与圆的位置关系】...........................................................................................................................5
【考点3 圆与圆的位置关系】...............................................................................................................................8
【考点4 切线的判定的综合运用】.....................................................................................................................12
【考点5 切线的性质的综合运用】.....................................................................................................................21
【考点6 切线长定理】.........................................................................................................................................30
【考点7 三角形的内切圆】.................................................................................................................................35
【考点8 直线和圆的位置关系（一次函数）】.................................................................................................39
【考点9 圆的切线的运用（尺规作圆）】.........................................................................................................45
【考点10 动圆问题】.............................................................................................................................................51
【要点1 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2022·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆
心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C在⊙A内且点B在⊙A外”可得3r+R，从而得到r的范围．
【详解】解：设⊙B半径为Rcm，则R=BC=6cm，
∵⊙A与⊙B外离，
∴AB>r+R，
∴r0，
∴0R+r；
两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R−rr）；两圆内
含⇔dr）．
【变式3-1】（2022·四川绵阳·一模）如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°，
1 2 1 2
O 沿直线OO 平移，当 O 平移到与 O 和AB所在直线都有公共点时，令圆心距OO＝x，则x的取
2 1 2 2 ⊙1 ⊙ 1 2
值范围是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4√3 D．2≤x≤8
【答案】D
【分析】由题意得出点O 在点O 的右侧，⊙O 与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，OO 的最大值和最
2 1 2 1 1 2
小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O 在点O 的左侧时的结论．
2 1
【详解】解：当点O 在点O 的右侧时，
2 1当⊙O 向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
2
则OM=4，
2
又∵∠AOO=30°，
2 1
∴OO=2•OM=8，
1 2 2
当⊙O 继续向左移动到与⊙O 内切时，如图2所示，此时OO=6-4=2，
2 1 1 2
所以当⊙O 平移到与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
2 1
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的
关键．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，点C是OD的中点，以OC为半径作⊙O，以CD为直
径作⊙O'，AB与⊙O和⊙O'分别相切于点A和点B，连接BD，则cos∠BDC的值是（ ）
√3 √5 1 √2
A． B． C． D．
3 5 2 2
【答案】A
【分析】连接OA、O'B、BC、AC，过点O'作O'P⊥AO于点P，，设小圆半径，则可表示出AB，进而根据
△ABC∽△CDB，可求出∠BDC的正切值，进而求其余弦值即可．
【详解】解：如图，连接OA、O'B、BC、AC，过点O'作O'P⊥AO于点P，由题意得：AO＝2BO'，
设BO'＝a，则AO＝2a，
∵AB与⊙O和⊙O'分别相切，
∴∠OAB＝∠ABO'＝90°，
∵∠APO'＝90°，
∴四边形ABO'P为矩形，
∴AP＝OP＝BO'＝a，
∵OO'＝OC+O'C＝3a，
∴AB＝O'P=√OO'2−OP2=2√2a，
∵∠BDC+∠BCD＝90°，∠ABC+∠CBO'＝90°，∠BCD＝∠CBO'，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴△ABC∽△CDB，
AB BC 2√2a
∴ = = =√2，
CD BD 2a
即BC=√2BD，
∴CD=√BD2+BC2=√3BD，
BD BD √3
∴cos∠BDC= = = ，
CD √3BD 3
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，作出合适的辅助线并且熟练掌握切线的性质及相似三角形的性质与判定是
解题关键．
【变式3-3】（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD
上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若
⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是
__．15
【答案】 0时，设⊙Q与x轴相切于点
BO 3
F，连接QF，先求sin∠BAO= = ，根据DE∥x轴可得∠BDE=∠BAO，利用三角函数BE=m，再由勾
AB 5
4 1 3
股定理DE= m，可证BH=OH= OB= ，利用勾股定理CE2+DE2=CD2，构造方程
3 2 2
(2m−3) 2+ (1 m ) 2 =32 解方程即可；
2
3 5 3
（3）当m≥0时，当CD⊥AB时，可证 CDB∽△AOB，可得BD= BC,构造方程 m= (3−m),当CD⊥y
5 3 5
△ 3−m 3
=
轴时，可得∠BDC=∠BAO，利用三角函数sin∠BAO=sin∠BDC可得 5 5，当m<0时，当CD⊥AB时，
m
3
5 3
可证∠BCD=∠BAO，由sin∠BCD=sin∠BAO可得 (−m)= (3−m)，解方程求出边值即可．
3 5
3
【详解】解：（1）一次函数y=− x+3的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
4
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=4
∴在Rt AOB中，OB=3,OA=4
∴AB=
△
√OB2+OA2=5
即线段AB的长是5；
（2）分两种情形：当点C与点O重合时，圆Q与x轴相切，此时m=0;
如图当m>0时，设⊙Q与x轴相切于点F，连接QF，
则QF⊥x轴，CD=2QF，
设⊙Q与y轴相交于点E时，连接DE，
∵OC=m，
5 5
∴BD= OC= m，
3 3
BO 3
∵sin∠BAO= =
AB 5
∵CD为直径，
∴DE⊥OB，
∴DE∥x轴
∴∠BDE=∠BAO，
5 3
∴BE=BDsin∠BDE= m× =m，
3 5
∴DE=√BD2−BE2= √ (5 m ) 2 −m2= 4 m，
3 3
∴CE=OC+BE−BO=2m−3，
取CE的中点H，连接QH，
∴QH⊥CE，
∵DE⊥OB，
∴QH//DE，
∵BC=OB-OC=3-m=OB-BE=OE,
1 3
∴BH=BC+CH=OE+EH=OH= OB= ，
2 2
3
∴QF=OH= ，
2
∵CE2+DE2=CD2，
∴(2m−3) 2+ (1 m ) 2 =32
227
解这个方程，得m = ,m =0（舍去）
1 13 2
27
当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时， m的值为0或 ；
13
（3）当m≥0时，从CD⊥AB开始到CD⊥OB截止，
当CD⊥AB时，
∴∠CDB=∠BOA=90°，∠CBD=∠ABO，
∴△CDB∽△AOB，
BC BD BD OB 3
∴ = 即 = = ,
AB OB BC AB 5
3
∴BD= BC,
5
5 3
∴ m= (3−m),
3 5
27
解得m=
,
34
当CD⊥y轴时，
∴CD∥x轴，
∴∠BDC=∠BAO，
BC BO 3
∴sin∠BAO=sin∠BDC= = =
BD AB 53−m 3
=
∴ 5 5
m
3
3
解得m=
2
经检验符合题意，
27 3
∴有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），m的取值范围为 ≤m≤
34 2
当m<0时，从CD⊥AB开始，向下均满足，
当CD⊥AB时，∠BDC=∠BOA=90°，
∴∠BCD+∠DBC=∠BAO+∠DBC=90°，
∴∠BCD=∠BAO，
BD BO 3
∴sin∠BCD=sin∠BAO= = =
BC AB 5
3
即BD= BC
5
5 3
∴ (−m)= (3−m)
3 5
27
解得m=−
16
27
∴有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），m的取值范围为m≤−
16
∴直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），m的取值范围27 3 27
为 ≤m≤ 或m≤− ．
34 2 16
【点睛】本题考查一次函数与两轴的交点坐标．勾股定理，分类思想的运用，圆的切线性质，平行线性质，
锐角三角函数，三角形相似判定与性质，一元二次方程的解法，利用边值定范围，掌握一次函数与两轴的
交点坐标．勾股定理，分类思想的运用，圆的切线性质，平行线性质，锐角三角函数，三角形相似判定与
性质，一元二次方程的解法，利用边值定范围．
【变式10-2】（2022·河北石家庄·统考二模）如图1和图2，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴
4
的上方作射线OB，且tan∠AOB= .点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同
3
时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点O时，点E，F都停止运动.
以点F为圆心，OF为半径的半圆与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t
秒(t>0)，点E在数轴上对应的数为x．
（1）用含t的式子表示OC的长为______，当点E与点C重合时，x=______；
（2）若DE与半圆F相切，求x；
10
（3）如图2，当t= 时，半圆F与DE的另一个交点为G，求∠OED的度数及C´G的长；
3
（4）若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
6 5π
【答案】（1） t，6；（2）x=10；（3）∠OED=45°，l = ；（4）0
