文档内容
专题21 圆
一、垂径定理及其应用
【高频考点精讲】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
【热点题型精练】
1．（2022•泸州中考）如图，AB是 O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交 O于点E．若AC＝4
√2，DE＝4，则BC的长是（ ⊙） ⊙
A．1 B．√2 C．2 D．4
2．（2022•云南中考）如图，已知AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝
24，则∠OCE的余弦值为（ ） ⊙ ⊙
7 12 7 13
A． B． C． D．
13 13 12 12
3．（2022•荆门中考）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的
面积为（ ）A．36√3 B．24√3 C．18√3 D．72√3
4．（2022•鄂州中考）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工
件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，
该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知 O的直径就是铁球的直径，
AB是 O的弦，CD切 O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD⊙＝4cm，则这种铁球的直径为
（ ⊙） ⊙
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
5．（2022•自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 AB长20厘米，弓形高CD为2
厘米，则镜面半径为 厘米．
6．（2022•牡丹江中考） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的
长为 ． ⊙ ⊙
7．（2022•长沙中考）如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则
BC的长为 ． ⊙
8．（2022•荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的
最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．9．（2022•六盘水中考）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐
天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截
面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮
洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在C^D上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点 M在洞顶
C^D上巡视时总能看清洞口CD的情况．
二、圆周角定理
【高频考点精讲】
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。
【热点题型精练】
10．（2022•营口中考）如图，点A，B，C，D在 O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
⊙
A．4√3 B．8 C．4√2 D．4
11．（2022•包头中考）如图，AB，CD是 O的两条直径，E是劣弧^BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，
⊙则∠CDE的度数为（ ）
A．22° B．32° C．34° D．44°
12．（2022•陕西中考）如图，△ABC内接于 O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ ）
⊙
A．44° B．45° C．54° D．67°
13．（2022•巴中中考）如图，AB为 O的直径，弦CD交AB于点E，^BC=^BD，∠CDB＝30°，AC＝2√3，则
OE＝（ ） ⊙
√3
A． B．√3 C．1 D．2
2
14．（2022•襄阳中考）已知 O的直径AB长为2，弦AC长为√2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
15．（2022•日照中考）一圆⊙形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的
测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．
16．（2022•永州中考）如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 度．
⊙ ⊙17．（2022•苏州中考）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝
°． ⊙
18．（2022•南通中考）如图，四边形ABCD内接于 O，BD为 O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2√2，点E在
BC的延长线上，连接DE． ⊙ ⊙
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5√2，计算图中阴影部分的面积．
三、圆内接四边形的性质
【高频考点精讲】
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【热点题型精练】
19．（2022•淮安中考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
⊙A．80° B．100° C．140° D．160°
20．（2022•株洲中考）如图所示，等边△ABC的顶点A在 O上，边AB、AC与 O分别交于点D、E，点F是
劣弧^DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠⊙DFE的度数为（ ）⊙
A．115° B．118° C．120° D．125°
21．（2022•锦州中考）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC
的度数为 ． ⊙ ⊙
22．（2022•甘肃中考）如图， O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ °．
⊙
23．（2022•威海中考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；⊙
（2）若BC＝3， O的半径为2，求sin∠BAC．
⊙
四、三角形的外接圆与外心【高频考点精讲】
1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。
2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
3、注意事项
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角
形的外部。
（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三
角形却有无数个。
【热点题型精练】
24．（2022•梧州中考）如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在^AB上取点D（不与点A，B
重合），连接BD，AD，则∠⊙BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
25．（2022•十堰中考）如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结
论：①∠ADB＝∠BDC；②⊙DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2022•杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的 O，∠BAC＝ （ 是锐角），则△ABC的面积的最
大值为（ ） ⊙ θ θA．cos （1+cos ） B．cos （1+sin ）
C．sinθ（1+sin θ） D．sinθ（1+cosθ）
27．（202θ2•玉林中θ考）如图，在5×7网格中，各小正方θ形边长均θ 为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O
是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
28．（2022•黑龙江中考）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C为 O上一点，∠ACB＝60°，
则AB的长为 cm． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
29．（2022•凉山州中考）如图，在边长为1的正方形网格中， O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则
cos∠ACB的值是 ． ⊙
五、切线的性质
【高频考点精讲】
1、圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。
【热点题型精练】
30．（2022•深圳中考）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则
△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．√2：2 D．（√2−1）：1
31．（2022•无锡中考）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，
则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
32．（2022•重庆中考）如图，AB是 O的切线，B为切点，连接AO交 O于点C，延长AO交 O于点D，连接
BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则⊙AB的长度是（ ） ⊙ ⊙
A．3 B．4 C．3√3 D．4√2
33．（2022•资阳中考）如图，△ABC内接于 O，AB是直径，过点A作 O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC
的度数是 度． ⊙ ⊙34．（2022•泰州中考）如图，PA与 O相切于点A，PO与 O相交于点B，点C在^AmB上，且与点A、B不重合．
若∠P＝26°，则∠C的度数为 ⊙ °． ⊙
35．（2022•青岛中考）如图，AB是 O的切线，B为切点，OA与 O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半
径作^EF，分别交AB，AC于点E，⊙F．若OC＝2，AB＝4，则图中⊙阴影部分的面积为 ．
36．（2022•济南中考）已知：如图，AB为 O的直径，CD与 O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，
BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交 O于⊙点E，过点B作BF⊥⊙CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD； ⊙
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
六、三角形的内切圆与内心
【高频考点精讲】
1、内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。
3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
4、三角形内心的性质
（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。
【热点题型精练】
37．（2022•娄底中考）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和
白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
√3π √3 √3π √3
A． B． C． D．
18 18 9 9
38．（2022•德阳中考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点
G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则
∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的 O是△ABC的内切圆，连接OB、
OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含 的式子表示） ⊙
π
40．（2022•泰州中考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB
边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 ．41．（2022•宜宾中考）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大
正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
七、弧长及扇形面积计算
【高频考点精讲】
1、弧长计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
2、扇形面积计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：组成圆心角π的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
①S扇形 ＝ πR2
②S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；
③割补法。
【热点题型精练】
42．（2022•湖北中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画
弧，交AB于点D，则^AD的长为（ ）4 5
A． B． C． D．2
3 3
π π π π
43．（2022•广西中考）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转2 ，得到
△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，^BBα′的长是（ ） α
2√3 4√3 8√3 10√3
A． B． C． D．
3 3 9 9
π π π π
44．（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于
矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
5π 8π 10π 5π
A． m B． m C． m D．（ +2）m
3 3 3 3
45．（2022•资阳中考）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与^AB交于点C，
连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）2π √3 2π π √3 π
A． − B． −√3 C． − D．
3 2 3 3 2 3
46．（2022•兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2
所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则
阴影部分的面积为（ ）
A．4.25 m2 B．3.25 m2 C．3 m2 D．2.25 m2
47．（2022π•泰安中考）如图，四π边形ABCD中，∠Aπ＝60°，AB∥CD，DE⊥AπD交AB于点E，以点E为圆心，DE
为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
9√3 9√3
A．6 ﹣9√3 B．12 ﹣9√3 C．6 − D．12 −
2 2
π π π π
48．（2022•大连中考）如图，正方形ABCD的边长是√2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋
转后的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留 ）．
π
49．（2022•青海中考）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形
OCD，则此扇形的弧长为 cm．
50．（2022•黔西南州中考）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．
51．（2022•河南中考）如图，将扇形 AOB 沿 OB 方向平移，使点 O 移到 OB 的中点 O′处，得到扇形
A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
52．（2022•泰州中考）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直
线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形
ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH
为直角，求此时t的值．
八、圆锥的计算
【高频考点精讲】
1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。
2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
3、圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
4、圆锥的全面积：S全 ＝S底+Sπ 侧 ＝ πr2+ rl
π π
5、圆锥的体积＝ ×底面积×高
6、注意事项（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。
（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。
【热点题型精练】
53．（2022•柳州中考）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16 B．24 C．48 D．96
54．（20π22•赤峰中考）如图所π示，圆锥形烟囱帽的底π面半径为12cm，侧面π展开图为半圆形，则它的母线长为（
）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
55．（2022•贺州中考）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转
“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一
个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径
是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm56．（2022•宿迁中考）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半
径是 cm．
57．（2022•云南中考）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为 30cm，
底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
58．（2022•黑龙江中考）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为 ．
