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专题21 圆
一、垂径定理及其应用
【高频考点精讲】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
【热点题型精练】
1．（2022•泸州中考）如图，AB是 O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交 O于点E．若AC＝4
√2，DE＝4，则BC的长是（ ⊙） ⊙
A．1 B．√2 C．2 D．4
解：∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°，⊙
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
1
∴OD∥BC，且OD= BC，
2
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4√2）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．答案：C．
2．（2022•云南中考）如图，已知AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝
24，则∠OCE的余弦值为（ ） ⊙ ⊙
7 12 7 13
A． B． C． D．
13 13 12 12
解：∵AB是 O的直径，AB⊥CD，
⊙1
∴CE＝DE= CD＝12，
2
∵AB＝26，
∴OC＝13．
CE 12
∴cos∠OCE= = ．
OC 13
答案：B．
3．（2022•荆门中考）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的
面积为（ ）
A．36√3 B．24√3 C．18√3 D．72√3
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC=√OC2−OE2=√36−9=3√3，
∴CD＝2CE＝6√3，
1 1
∴四边形ACBD的面积= AB⋅CD= ×12×6√3=36√3．
2 2
答案：A．
4．（2022•鄂州中考）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工
件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，
该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知 O的直径就是铁球的直径，
AB是 O的弦，CD切 O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD⊙＝4cm，则这种铁球的直径为
（ ⊙） ⊙
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切 O于点E，
∴OE⊥C⊙D，
∴OE⊥AB，
1 1
∴四边形EFBD是矩形，AF= AB= ×16＝8（cm），
2 2
∴EF＝BD＝4cm，设 O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在⊙Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
答案：C．
5．（2022•自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 AB长20厘米，弓形高CD为2
厘米，则镜面半径为 2 6 厘米．
解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
1
由题意可得：OC⊥AB，AC= AB＝10（厘米），
2
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
答案：26．
6．（2022•牡丹江中考） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的
长为 4√5 或 2√5 ．⊙ ⊙
解：连接OA，∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
1
∴AM＝BM= AB，
2
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM=√OA2−OM2=√52−32=4，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC=√AM2+CM2=√42+82=4√5；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC=√AM2+MC2=√42+22=2√5．
综上所述，AC的长为4√5或2√5．
答案：4√5或2√5．
7．（2022•长沙中考）如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则
BC的长为 7 ． ⊙
解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
{
OD=CD
∠ADO=∠BDC
AD=BD
∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．
答案：7．
8．（2022•荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的
最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7. 5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为rcm，
由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），
1
由垂径定理得：AM＝DM= AD＝6（cm），
2
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，
即62+（12﹣r）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即球的半径为7.5cm，
答案：7.5．
9．（2022•六盘水中考）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐
天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截
面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在C^D上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶
C^D上巡视时总能看清洞口CD的情况．
解：（1）设OA＝OC＝Rm，
∵OA⊥CD，
1
∴CB＝BD= CD＝14m，
2
在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，
∴R2＝142+（R﹣12）2，
85
∴R= ，
6
85
∴OC= ≈14.2m．
6
（2）补全 O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，
⊙
1
∵∠N= ∠COD＝81°，
2
∵∠CMD+∠N＝180°，
∴∠CMD＝99°．
∵∠CMD＝99°不变，是定值，
∴“齐天大圣”点M在洞顶C^D上巡视时总能看清洞口CD的情况．
二、圆周角定理
【高频考点精讲】
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。
【热点题型精练】
10．（2022•营口中考）如图，点A，B，C，D在 O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
⊙
A．4√3 B．8 C．4√2 D．4
解：连接AB，如图所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
AC
tan∠ABC= ，
BC
AC
∴BC= ．
tan∠ABC
∵AC＝4，
4
∴BC= =4√3．
tan30°
答案：A．
11．（2022•包头中考）如图，AB，CD是 O的两条直径，E是劣弧^BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，
则∠CDE的度数为（ ） ⊙A．22° B．32° C．34° D．44°
解：连接OE，
∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧^BC的中点，
∴C^E=^BE，
1
∴∠COE= ×136°＝68°，
2
1 1
由圆周角定理得：∠CDE= ∠COE= ×68°＝34°，
2 2
答案：C．
12．（2022•陕西中考）如图，△ABC内接于 O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ ）
⊙
A．44° B．45° C．54° D．67°
解：如图，连接OB，
∵∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
180°−92°
∴∠OAB= =44°．
2
答案：A．
13．（2022•巴中中考）如图，AB为 O的直径，弦CD交AB于点E，^BC=^BD，∠CDB＝30°，AC＝2√3，则
OE＝（ ） ⊙
√3
A． B．√3 C．1 D．2
2
解：如图，连接BC，
∵AB为 O的直径，^BC=^BD，
∴AB⊥C⊙D，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC=2√3，
∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
AC
∴AB= =4，
cos∠BAC
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
答案：C．
14．（2022•襄阳中考）已知 O的直径AB长为2，弦AC长为√2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 45 ° 或
135° ． ⊙
解：如图，∵OA＝OC＝1，AC=√2，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AD'C＝135°，
答案：45°或135°．
15．（2022•日照中考）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的
13
测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
2
解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13（cm），
13
所以圆形镜面的半径为 cm，
2
13
答案： cm．
2
16．（2022•永州中考）如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 12 0 度．
⊙ ⊙解：∵∠ADC是^AC所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
答案：120．
17．（2022•苏州中考）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝
62 °． ⊙
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
答案：62．
18．（2022•南通中考）如图，四边形ABCD内接于 O，BD为 O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2√2，点E在
BC的延长线上，连接DE． ⊙ ⊙
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5√2，计算图中阴影部分的面积．解：（1）∵BD为 O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝⊙90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2√2，
∴BD＝2√2×√2=4；
（2）∵BE＝5√2，
∴CE＝3√2，
∵BC＝DC，
1
∴S阴影 ＝S△CDE =
2
×2√2×3√2=6．
三、圆内接四边形的性质
【高频考点精讲】
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【热点题型精练】
19．（2022•淮安中考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
⊙
A．80° B．100° C．140° D．160°
解：∵∠AOC＝160°，
1
∴∠ADC= ∠AOC＝80°，
2
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠⊙ADC＝180°﹣80°＝100°，答案：B．
20．（2022•株洲中考）如图所示，等边△ABC的顶点A在 O上，边AB、AC与 O分别交于点D、E，点F是
劣弧^DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠⊙DFE的度数为（ ）⊙
A．115° B．118° C．120° D．125°
解：四边形EFDA是 O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°⊙，
∵等边△ABC的顶点A在 O上，
∴∠A＝60°， ⊙
∴∠EFD＝120°，
答案：C．
21．（2022•锦州中考）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC
的度数为 40 ° ． ⊙ ⊙
解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°⊙﹣130°＝50°，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
答案：40°．
22．（2022•甘肃中考）如图， O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ 7 0 °．
⊙解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝1⊙80°﹣110°＝70°，
答案：70．
23．（2022•威海中考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；⊙
（2）若BC＝3， O的半径为2，求sin∠BAC．
⊙
（1）证明：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC， ⊙
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交 O于点F，连接BF，
⊙
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，BC 3
∴sinF= = ，
CF 4
∵∠F＝∠BAC，
3
∴sin∠BAC= ．
4
四、三角形的外接圆与外心
【高频考点精讲】
1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。
2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
3、注意事项
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角
形的外部。
（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三
角形却有无数个。
【热点题型精练】
24．（2022•梧州中考）如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在^AB上取点D（不与点A，B
重合），连接BD，AD，则∠⊙BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
答案：C．
25．（2022•十堰中考）如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结
论：①∠ADB＝∠BDC；②⊙DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵^AB=^AB，^BC=^BC，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；
∵点D是弧AC上一动点，
∴^AD与C^D不一定相等，
∴DA与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为 O直径，
∴∠BCD＝90°， ⊙
∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴DB＝2DC，故③正确；
在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；
∴正确的有①③④，共3个，
答案：C．
26．（2022•杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的 O，∠BAC＝ （ 是锐角），则△ABC的面积的最
大值为（ ） ⊙ θ θ
A．cos （1+cos ） B．cos （1+sin ）
C．sinθ（1+sin θ） D．sinθ（1+cosθ）
解：当θ△ABC的θ高AD经过圆的圆心时，此时△ABCθ的面积最θ大，
如图所示，
∵A′D⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝ ，
在Rt△BOD中， θ
BD BD OD OD
sin = = ，cos = =
OB 1 OB 1
θ θ
∴BD＝sin ，OD＝cos ，
∴BC＝2BDθ＝2sin ， θ
A′D＝A′O+OD＝θ 1+cos ，
1 1 θ
∴S = A′D•BC = ×2sin （1+cos ）＝sin （1+cos ）．
△ABC 2 2
θ θ θ θ
答案：D．
27．（2022•玉林中考）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC 外把你认为外心也是 O 的三角形都写出来
△ ABD ，△ ACD ，△ BCD ．
解：由图可知：
OA=√12+22=√5，
OB=√12+22=√5，
OC=√12+22=√5，
OD=√12+22=√5，
OE=√12+32=√10，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
答案：△ABD，△ACD，△BCD．
28．（2022•黑龙江中考）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C为 O上一点，∠ACB＝60°，
则AB的长为 3√3 cm． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
解：连接AO并延长交 O于点D，
⊙∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
√3
∴AB＝AD•sin60°＝6× =3√3（cm），
2
答案：3√3．
29．（2022•凉山州中考）如图，在边长为1的正方形网格中， O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则
⊙
2√13
cos∠ACB的值是 ．
13
解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD=√AB2+BD2=√62+42=2√13，
BD 4 2√13
∴cos∠ADB= = = ，
AD 2√13 13
∵∠ACB＝∠ADB，
2√13
∴cos∠ACB的值是 ，
13
2√13
答案： ．
13五、切线的性质
【高频考点精讲】
1、圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。
【热点题型精练】
30．（2022•深圳中考）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则
△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．√2：2 D．（√2−1）：1
解：如图，连接OC，
∵BC是 O的切线，OC为半径，
∴OC⊥B⊙C，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是 O的直径，
∴∠DCE⊙＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
{
∠A=∠OCD
∠ABC=∠COD，
AC=CD∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
1
∴S△COD ＝S△COE =
2
S△DCE ，
1
∴S△ABC =
2
S△DCE ，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2，
答案：B．
31．（2022•无锡中考）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，
则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°．
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；
∵DE是 O的切线，
∴OD⊥D⊙E．
∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，∴OF＝DE．
在直角△AFO中，OA＞OF．
∵OD＝OA，
∴DE＜OD．
故选项C符合题意．
答案：C．
32．（2022•重庆中考）如图，AB是 O的切线，B为切点，连接AO交 O于点C，延长AO交 O于点D，连接
BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则⊙AB的长度是（ ） ⊙ ⊙
A．3 B．4 C．3√3 D．4√2
解：如图，连接OB，
∵AB是 O的切线，B为切点，
∴OB⊥A⊙B，
∴AB2＝OA2﹣OB2，
∵OB和OD是半径，
∴∠D＝∠OBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝∠OBD，
∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，
∴OD：BD＝BD：AD，
∴BD2＝OD•AD，
即OA2﹣OB2＝OD•AD，
设OD＝x，
∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，
∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），
∴OA＝6，OB＝3，
∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，
∴AB＝3√3，
答案：C．
33．（2022•资阳中考）如图，△ABC内接于 O，AB是直径，过点A作 O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC
的度数是 3 5 度． ⊙ ⊙
解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与 O相切，
∴AB⊥A⊙D，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
答案：35．
34．（2022•泰州中考）如图，PA与 O相切于点A，PO与 O相交于点B，点C在^AmB上，且与点A、B不重合．
若∠P＝26°，则∠C的度数为 3⊙ 2 °． ⊙
解：如图，连接AO并延长交 O于点D，连接DB，
⊙∵PA与 O相切于点A，
∴∠OA⊙P＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，
1 1
∴∠D= ∠AOP= ×64°＝32°，
2 2
∵点C在^AmB上，且与点A、B不重合，
∴∠C＝∠D＝32°，
答案：32．
35．（2022•青岛中考）如图，AB是 O的切线，B为切点，OA与 O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半
径作^EF，分别交AB，AC于点E，⊙F．若OC＝2，AB＝4，则图中⊙阴影部分的面积为 4 ﹣ ．
π
解：连接OB，
∵AB是 O的切线，B为切点，
∴∠OBA⊙＝90°，
∴∠BOA+∠A＝90°，
由题意得：
OB＝OC＝AE＝AF＝2，∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积）
1 90π×22
= AB•OB−
2 360
1
= ×4×2﹣
2
π
＝4﹣ ，
答案：π4﹣ ．
36．（2022•济π南中考）已知：如图，AB为 O的直径，CD与 O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，
BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交 O于⊙点E，过点B作BF⊥⊙CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD； ⊙
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
（1）证明：连接OC，
∵CD与 O相切于点C，
∴∠OCD⊙＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
1
∴∠A= ∠COD＝30°，
2
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙∵∠A＝30°，AB＝12，
1
∴BC= AB＝6，
2
∵CE平分∠ACB，
1
∴∠BCE= ∠ACB＝45°，
2
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
√2
∴BF＝BC•sin45°＝6× =3√2，
2
∴线段BF的长为3√2．
六、三角形的内切圆与内心
【高频考点精讲】
1、内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三
角形叫做圆的外切三角形。
2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。
3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
4、三角形内心的性质
（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。
【热点题型精练】
37．（2022•娄底中考）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和
白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
√3π √3 √3π √3
A． B． C． D．
18 18 9 9
解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，设AB＝2a，则BD＝a，
∵∠ADB＝90°，
∴AD=√AB2−BD2=√3a，
1 √3
∴OD= AD= a，
3 3
√3 1
π×( a) 2×
3 2 √3π
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是： = ，
2a⋅√3a 18
2
答案：A．
38．（2022•德阳中考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点
G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则
∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
2 2
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
1
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°− （∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；
2
∵∠BAD＝∠CAD，
∴^BD=^DC，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
答案：D．
39．（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的 O是△ABC的内切圆，连接OB、
⊙
13
OC，则图中阴影部分的面积是 π cm2．（结果用含 的式子表示）
4
π解：∵∠A＝80°， O是△ABC的内切圆，
⊙1 1 1
∴∠DOE＝180°﹣（ ∠ABC+ ∠ACB）＝180°− （180°﹣∠A）＝130°，
2 2 2
130π×32 13
∴S扇形DOE =
360
=
4
π（cm2），
13
答案： π．
4
40．（2022•泰州中考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB
1
边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 2 或 ．
2
解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，
当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，
∴∠BCO＝∠COD，
∴BC∥DE，
∴∠CBO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，
在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=10，
AD DE 8−x x+ y
{ = { =
AC BC 8 6
∴ ，即 ，
AE DE 10−y 8−x
= =
AB BC 10 8
{x=2
解得 5，
y=
2
∴CD＝2，
过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，
∵点O为△ABC的内心，
∴OD＝OE′，
在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，
{∠OE′E=∠ODD′
OE′=OD ，
∠EOE′=∠D′OD
∴△ODD′≌△OE′E（ASA），
∴OE＝OD′，
5 9
∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+ = ，
2 2
在△AD′E′和△ABC中，
{ ∠A=∠A
，
∠D′E′ A=∠BCA
∴△AD′E′∽△ABC，
AD′ D′E′
∴ = ，
AB BC9
∴AD′ 2，
=
10 6
15
解得：AD′= ，
2
1
∴CD′＝AC﹣AD′= ，
2
1
答案：2或 ．
2
41．（2022•宜宾中考）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大
正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为 3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 289
．
解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
AC+BC−BA
∴OE＝OD＝3= ，
2
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
答案：289．
七、弧长及扇形面积计算
【高频考点精讲】
1、弧长计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
2、扇形面积计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：组成圆心角π的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
①S扇形 ＝ πR2
②S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；
③割补法。
【热点题型精练】
42．（2022•湖北中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画
弧，交AB于点D，则^AD的长为（ ）
4 5
A． B． C． D．2
3 3
π π π π
解：连接CD，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
1
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC= AB=4，
2
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
60π×4 4
∴^AD的长为： = π，
180 3
答案：B．
43．（2022•广西中考）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转2 ，得到
△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，^BBα′的长是（ ） α
2√3 4√3 8√3 10√3
A． B． C． D．
3 3 9 9
π π π π
解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
1
∴AD＝DB= AB′．
2
∴∠AB′D＝30°，
∴ ＝30°，
∵αAC＝4，
√3
∴AD＝AC•cos30°＝4× =2√3，
2
∴AB=2AD=4√3，
nπr 60×π×4√3 4√3
∴^BB′的长度l= = = ．
180 180 3
π
答案：B．44．（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于
矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
5π 8π 10π 5π
A． m B． m C． m D．（ +2）m
3 3 3 3
解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2√3m，∠ADC＝90°，
AD 2√3
∴tan∠DCA= = =√3，AC=√CD2+AD2=4（m），
CD 2
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
300π×2 10π
∴改建后门洞的圆弧长是： = （m），
180 3
答案：C．
45．（2022•资阳中考）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与^AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
2π √3 2π π √3 π
A． − B． −√3 C． − D．
3 2 3 3 2 3
解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD=√OC2−OD2=√22−12=√3，
60π×22 2×√3 2π
∴阴影部分的面积为： − = −√3，
360 2 3
答案：B．
46．（2022•兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2
所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则
阴影部分的面积为（ ）A．4.25 m2 B．3.25 m2 C．3 m2 D．2.25 m2
解：S阴 ＝π S扇形DOA ﹣S扇形BOC π π π
9
120π×
120π×9 4
= −
360 360
＝2.25 m2．
答案：πD．
47．（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE
为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
9√3 9√3
A．6 ﹣9√3 B．12 ﹣9√3 C．6 − D．12 −
2 2
π π π π
解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3√3，∴DF＝6√3，
120π×36 1
阴影部分的面积= − ×6√3×3＝12 ﹣9√3，
360 2
π
答案：B．
48．（2022•大连中考）如图，正方形ABCD的边长是√2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋
1
转后的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留 ）．
2
π π
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，AC=√2AB=√2×√2=2，
∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，
45×π×2 1
∴C^E的长度为 = ．
180 2
π
1
答案： ．
2
π
49．（2022•青海中考）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形
OCD，则此扇形的弧长为 2 0 cm．
π
解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
1
∴OE= OA＝30cm，
2
120⋅π⋅30
∴弧CD的长= =20 cm，
180
π答案：20 ．
50．（2022•π黔西南州中考）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角
∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 2 ﹣ 4 ．
π
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
1
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC =
4
S四边形ABCD ＝4，
∵∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝∠COG，
在△BOE和△COG中，
{∠BOE=∠COG
OB=OC ，
∠OBE=∠OCG
∴△OBE≌△OCG（SAS），
∴S△OBE ＝S△OCG ，
∴S四边形OECG ＝S△OBC ＝4，
∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，
∴OB＝OC＝2√2，
∴S阴 ＝S扇形OFH ﹣S四边形OECG
90π⋅(2√2) 2
= −4
360
＝2 ﹣4，
答案π：2 ﹣4．
51．（202π2•河南中考）如图，将扇形 AOB 沿 OB 方向平移，使点 O 移到 OB 的中点 O′处，得到扇形
π √3
A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 + ．
3 2解：如图，设O′A′交^AB于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO′＝O′B，
∴OT＝2OO′，
∵∠OO′T＝90°，
∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，
∴S阴 ＝S扇形O′A′B′ ﹣（S扇形OTB ﹣S△OTO′ ）
90⋅π×22 60⋅π⋅22 1
= −（ − ×1×√3）
360 360 2
π √3
= + ．
3 2
π √3
答案： + ．
3 2
52．（2022•泰州中考）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直
线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形
ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH
为直角，求此时t的值．
解：（1）设BC与 O交于点M，
⊙当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
1
∴OE= EF＝5，
2
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
60π×5 5π
∴l = = ，
^ME 180 3
5π
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为 ；
3
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
{∠AGO=∠BOH
∠GAO=∠HBO，
OG=OH
∴△AGO≌△BOH（AAS），∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t ＝8，t ＝9，
1 2
即t的值为8或9．
八、圆锥的计算
【高频考点精讲】
1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。
2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
3、圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
4、圆锥的全面积：S全 ＝S底+Sπ侧 ＝ πr2+ rl
π π
5、圆锥的体积＝ ×底面积×高
6、注意事项
（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。
（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。
【热点题型精练】
53．（2022•柳州中考）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16 B．24 C．48 D．96
解：弧πAA′的长，就是圆锥π的底面周长，即2 ×4＝π8 ， π
1 π π
所以扇形的面积为 ×8 ×12＝48 ，
2
π π即圆锥的侧面积为48 ，
答案：C． π
54．（2022•赤峰中考）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（
）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
解：设母线的长为R，
由题意得， R＝2 ×12，
解得R＝24，π π
∴母线的长为24cm，
答案：D．
55．（2022•贺州中考）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转
“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一
个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径
是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
解：如图：∵圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，
1
由已知可得：液体的体积为 ×32×7＝63 （cm3），圆锥的体积为 ×62×6＝72 （cm3），
3
π π π π
∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72 ﹣63 ＝9 （cm3），
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcmπ，则CπD＝πDE＝（6﹣x）cm，
1
∴ •（6﹣x）2•（6﹣x）＝9 ，
3
π π
∴（6﹣x）3＝27，
解得x＝3，
∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，
答案：B．
56．（2022•宿迁中考）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半
径是 2 cm．
解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
120×π×6
由题意得：2 r= ，
180
π
解得：r＝2，
∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，
答案：2．
57．（2022•云南中考）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为 30cm，
底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 120 ° ．
解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，
nπ×30
2 ×10= ，
180
π
解得n＝120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
答案：120°．
58．（2022•黑龙江中考）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为 26+1 0
． π
解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，
∴圆锥的母线长为13，
∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13+2 ×5＝26+10 ．
答案：26+10 ． π π
π
