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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题22二次函数与新定义综合问题
【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛
物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C ：y＝x2+2x﹣3与抛物线
1
C ：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C 和抛物线C 与x轴有着
2 1 2
相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣
1）．
（1）求抛物线C 的解析式和点G的坐标．
2
（2）点M是x轴下方抛物线C 上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C 于点
1 2
D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在
点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，
请说明理由．
【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n（n≥0）的点叫做
这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；
点（2，1）是函数y＝ 图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣ ）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝
图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直
接写出n的取值范围．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且
b＝a+3时，函数y有最大值y ，最小值y ，设h＝y ﹣y ，则称h为y的“极差函
max min max min
数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y ﹣y 为一个常数（与a无关）
max min
时，称y有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，
如果不是，请在对应（ ）内画“×”．
①y＝2x （ ）；
②y＝﹣2x+2 （ ）；
③y＝x2 （ ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函
数”h＝3，求一次函数解析式；
（3）若 ，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极
差函数”h；并求4ah的取值范围．
【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字
母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关
系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣ a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动
路径是抛物线．
（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点
为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．
ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点
C'的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20题）
1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C 的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新
1
的函数C 的图象，我们称函数C 是函数C 关于点P的相关函数．
2 2 1
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2
﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，
求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是 y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝
．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大
值为8，求m的值．
2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为
这个函数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝ ；
若点P（m，m）是函数 的图象上的“梅岭点”，则m＝ ；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二
次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存
在两个不同的“梅岭点”A（x ，x ），B（x ，x ），且满足﹣1＜x ＜1，|x ﹣x |＝2，
1 1 2 2 1 1 2
如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．
3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点
为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值
点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是 ；
函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是 ；（直接填结果）
（2）设函数y＝ ，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作
BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．
4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数
值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰
根”．
（1）函数y ＝﹣x+m与y ＝﹣ 是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两
1 2
函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝| x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝ x2+2x的图象x轴下方的
部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y ＝﹣x+m与y ＝|
1 2
x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．
5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数
图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P
为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互
反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y＝ （x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，
B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2
（x≥m）的图象记为W ，将W 沿直线l翻折后的图象记为W ，当W ，W 两部分组成
1 1 2 1 2
的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x ，0），
1
B（x ，0）两点，且（x ＜0＜x ），交y轴于点C，顶点为D．
2 1 2
（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；
②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函
数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．
7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称
该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝ x+ 的图象的“等
值点”．
（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐
标；如果不存在，说明理由；
（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为
1
W ．当W ，W 两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．
2 1 2
8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n（n≥0）的点叫
做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；
点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．
（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（ ，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象
的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝ x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存
在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．
9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称
该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这
个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点
（ ，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两
点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．
（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W ，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ，
1 2
W 和W 构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．
1 2
10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到
新的函数C 的图象，我们称函数C 是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，
1 1
函数 关于点P（0，1）的相关函数为 ．
（1）当n＝0时．
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求
a的值．
（2）函数 关于点P的相关函数是 ，则n＝ ．
11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则
称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为
这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，
点（﹣ ，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两
点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线 y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个
函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，
若Q点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．
13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方
形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分
别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．
点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运
动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，
且CD＝OC，求a的值．
14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则
称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好
点”．
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝ ③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是
；（填序号）
（2）设函数y＝﹣ （x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部
分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝
ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一
个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线
与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 ，点A的坐标为
，点B的坐标为 ．
（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的
对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点
F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E，F
的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点
Q在反比例函数 （c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数
y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数 的“衍生函数”，点P称为“基
点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数 的“衍生函数”，
则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数 的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基
点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数 y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数 的“衍生函数”经过点
（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函
数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x 、x ，求|x ﹣x |的取值范围．
1 2 1 2
17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深
入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，
纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A （x，x+y）．他们把这个
1
点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点
构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴
曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按
照定义完成：
（1）点P（1，2）的“简朴”点是 ；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲
线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B （﹣1，1），若
1
该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．
18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x
轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长
满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线 y＝ax2+bx+2
（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于
点C，且OA＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．
①求PD的最大值；
②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．
19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关
数”．
特例感知“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y ＝x2﹣4x+3；
1
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y ＝2x2﹣5x+3；
2
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y ＝3x2﹣6x+3；
3
（1）下列结论正确的是 （填序号）．
①抛物线y ，y ，y 都经过点（0，3）；
1 2 3
②抛物线y ，y ，y 与直线y＝3都有两个交点；
1 2 3
③抛物线y ，y ，y 有两个交点．
1 2 3
形成概念
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线y 称为“一簇抛物线”，分别
n
记为y ，y ，y ，…，y ．抛物线y 与x轴的交点为A ，B ．
1 2 3 n n n n
探究问题
（2）①“一簇抛物线”y ，y ，y ，…，y 都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为
1 2 3 n
．
②抛物线y 的顶点为 ，是否存在正整数n，使△A B 是直角三角形？若存在，请求
n n n n n
出n的值；若不存在，请说明理由．
∁ ∁
③当n≥4时，抛物线y 与x轴的左交点A ，与直线y＝3的一个交点为D ，且点D 不
n n n n
在y轴上．判断A A 和D D 是否相等，并说明理由．
n n+1 n n+1
20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴
交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．
（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 m＝2022时，求出在抛物线
和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
