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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题21二次函数与三角函数综合问题
【例1】（2022•泰安二模）抛物线 的顶点 在 轴上，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，求 的面积；
（3）如图2，已知（2）中 点坐标，点 是第二象限抛物线上一点，是否存在点 ，使
得 ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据 ，求得 的值，从而得出抛物线的解析式；
（ 2 ） 以 为 斜 边 作 等 腰 直 角 三 角 形 ， 设 ， 从 而 表 示 出
，将点 坐标代入抛物线的解析式求得 的值，进而求得 ， 两点坐
标，进一步求 的面积；
（3）作直角三角形 ，使 ，作 轴于 ，作 轴于 ，可证得
，进而求得点 的坐标，进一步求得 的解析式，进一步可求得结果．
【解答】解：（1）由题知，
，
，
；
（2）如图1，由题意得： ，
是等腰直角三角形，
以 为斜边作等腰直角三角形 ，
，
，
设 ，
，
为抛物线上，
，
，
当 时， ，
，
，
延长 交 轴于 ，作 轴于 ，
；
（3）如图2，
作直角三角形 ，使 ，作 轴于 ，作 轴于 ，
， ，
，
，，
，
，
， ， ，
，
的解析式为： ，
由 得，
（舍取）， ，
当 时， ，
．
【例2】（2022•江岸区校级模拟）抛物线 与 轴交于 、 两点，与
轴交于 点，且 ， ．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若 ， 是抛物线上两点， 在对称轴右侧，且 ，求
点坐标；
（3）如图3， 是 点右侧抛物线上的一动点， 、 两点关于 轴对称，直线 、
分别交直线 于 、 两点， 交 轴于 ，求 的值．
【分析】（1）如图1，连接 、 ，可求得： ， ， ， ， ，再结合 ，建立方程求解即可得出答案；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 ，使 ，过点 作
轴于点 ，如图2，可证明 ，利用 ，求得 ，
运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，联立方程组求解可得 ， ；
如图2，在 的反向延长线上截取 ，连接 交抛物线于点 ，同理可求得
， ；
（3）设 ，则 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为
， 得 出 ， 同 理 可 得 ： 直 线 的 解 析 式 为
， ，再由 ，即可求得 的值为3．
【解答】解：（1）如图1，连接 、 ，
抛物线 ，令 ，得 ，
，
，
令 ，得 ，
解得： ，
， ， ， ，
，
， ，
，
①，
，，
②，
把②代入①，得 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
，
抛物线的解析式为 ；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 ，使 ，过点 作
轴于点 ，如图2，
点 在抛物线 上，
，
，
轴，
， ， ，
， ，
轴，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组得： ，
解得： （舍去）， ，
， ；
如图2，在 的反向延长线上截取 ，连接 交抛物线于点 ，
点 与点 关于原点对称，
，
同理可得：直线 的解析式为 ，
联立方程组得： ，
解得： （舍去）， ，
， ；
综上所述， 点坐标为 ， 或 ， ；
（3） 抛物线 ，令 ，得 ，， ，
， ，如图3，
、 两点关于 轴对称，
设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
同理可得：直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，
， ，
，
故 的值为3．【例3】（2022•沈阳模拟）如图1，直线 分别交 轴， 轴于点 ， ，经过点
， 的抛物线 交 轴正半轴于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2， 是第三象限内的抛物线上动点， 轴交直线 于点 ，若
是等腰三角形，求点 坐标；（3） 是抛物线的顶点，直线 上存在点 ，使 ，请直接写出点 坐标．
【分析】（1）将 ， 代入 ，即可求解；
（ 2 ） 设 ， 则 ， 求 出 ， ，
，再分三种情况讨论即可；
（3）设 ，求出直线 的解析式为 ，分两种情况讨论：
①当 点在 点左侧时，过点 作 交于点 ，过点 作 轴交 轴于点
，过点 作 交于点 ，则 ，再由 ，设 ，
求出 ， ，将点 代入 ，可求 点坐标；②当 点在
点右侧时，过点 作 交于 点，过点 作 轴交 轴于点 ，过点
作 交 于 点 ， 则 ， 由 ， 设 ， 求 出
， ，将点 点代入 ，求出 点坐标即可．
【解答】解：（1）令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，
将 ， 代入 ，
，
解得 ，
；
（2）设 ，则 ，
在第三象限内，
，
， ， ，
①当 时， ，
解得 （舍 或 ，；
②当 时， ，
解得 （舍 或 或 （舍 ，
， ；
③当 时， ，
解得 （舍 或 （舍 或 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 ， 或 ．
（3） ，
顶点 ，
设 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
，
①当 点在 点左侧时，过点 作 交于点 ，过点 作 轴交 轴于点
，过点 作 交于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，设 ，
， ，
， ，
， ，
将点 代入 ，可得 ，
解得 （舍 或 ，
， ；
②当 点在 点右侧时，过点 作 交于 点，过点 作 轴交 轴于点
，过点 作 交于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，
， ，
， ，
， ，
将点 ， 代入 ，
则 ，解得 ，
， ；
综上所述， 点坐标为 ， 或 ， ．
【例4】（2022•湖北）抛物线 与直线 交于原点 和点 ，与 轴交于另
一点 ，顶点为 ．
（1）直接写出点 和点 的坐标；
（2）如图1，连接 ， 为 轴上的动点，当 时，求点 的坐标；
（3）如图2， 是点 关于抛物线对称轴的对称点， 是抛物线上的动点，它的横坐标
为 ，连接 ， ， 与直线 交于点 ．设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【分析】（1）令 ，求出 的值即可得出点 的坐标，将函数 化
作顶点式可得出点 的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，易得 ，因为 ，所以
，分两种情况进行讨论，当点 在线段 的右侧时， 轴，当点
在线段 左侧时，设直线 与 轴交于点 ，则 是等腰三角形，分别求出点
的坐标即可．
（3）分别过点 ， 作 轴的平行线，交直线 于点 ， ，则 ，
，由点 的横坐标为 ，可表达 ，再利用二次函数的性质可得出结
论．
【解答】解：（1）令 ，
解得 或 ，
；
，
顶点 ．
（2）如图，过点 作 轴于点 ，
， ，
，
，，
①当点 在线段 的右侧时， 轴，如图，
；
②当点 在线段 左侧时，设直线 与 轴交于点 ，则 是等腰三角形，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
解得 ，
，
直线 的解析式为： ，
令 ，则 ，
解得 ，
， ．综上，点 的坐标为 或 ， ．
（3） 点 与点 关于对称轴 对称，
．
如图，分别过点 ， 作 轴的平行线，交直线 于点 ， ，
， ，
点 横坐标为 ，
， ，
．
， ，
，
，
当 时， 的最大值为 ．
【例5】（2022•南充）抛物线 与 轴分别交于点 ， ，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1， 顶点 在抛物线上，如果 面积为某值时，符合条件的点
有且只有三个，求点 的坐标．
（3）如图2，点 在第二象限的抛物线上，点 在 延长线上， ，连接
并延长到点 ，使 ． 交 轴于点 ， 与 均为锐角，
，求点 的坐标．【分析】（1）将 、 两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得 ， ，进而得出抛物线
的解析式；
（2）在 的下方存在一个点 ，在 的上方时两个，其中过 下方的点 的直线 与
平行的直线与抛物线相切，根据直线 的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次
方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得 的值，进而得出在 的上方的直
线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
（3）作 轴于 ，作 轴于 ，作 ，交 的延长线于 ，设
点的横坐标为 ，根据 得出 ，根据 得出
， ，从而 ，根据 可表
示出 ，根据 可得出 的值，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
；
（2）如图1，作直线 且与抛物线相切于点 ，直线 交 轴于 ，作直线 且直线 到
的距离等于直线 到 的距离，
的解析式为 ，
设直线 的解析式为： ，
由 得，
，
△ ，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
， ，
即 ，
直线 的解析式为： ，
，， ，
， ， ， ，
综上所述：点 或 ， 或 ， ；
（3）如图2，
作 轴于 ，作 轴于 ，作 ，交 的延长线于 ，
设 点的横坐标为 ，
，
， 点的横坐标为： ，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，
．
【例6】（2022•无锡）已知二次函数 图象的对称轴与 轴交于点 ，
图象与 轴交于点 ， 、 为该二次函数图象上的两个动点（点 在点 的左侧），
且 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点 与点 重合，求 的值；
（3）点 是否存在其他的位置，使得 的值与（2）中所求的值相等？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数与 轴交于点 ，求得 ，根据 ，即二次函数对称轴为直线 ，求出 的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）通过证明 ， ，然后结合点 的坐标特征列方程求得
和 的长度，从而求解；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点 的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思
想求出对应点 的坐标即可．
【解答】解：将点 代入 ，
可得 ，
二次函数 图象的对称轴与 轴交于点 ，
，
解得： ，
二次函数的解析式为 ；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
设 点坐标为 ，， ， ，
，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中 关于对称轴对称时， ，
点 的坐标为 ，
此时，点 的坐标为 ，
当点 、 关于对称轴对称时，此时 与 长度相等，即 ，
②当点 在 轴上方时，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，，点 、 关于对称轴对称，
，
为等腰直角三角形，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得 （舍去）或 ，
此时点 的坐标为 ， ；
③当点 在 轴下方时，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，
，点 、 关于对称轴对称，
，
为等腰直角三角形，，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得 （舍去）或 ，
此时点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 或 ， 或 ， ．
一．解答题（共20题）
1．（2022秋•工业园区期中）已知抛物线 的图象与 轴交于 、 两点
（点 在点 的左侧），与 轴正半轴交于 点，顶点为 ，直线 轴于点 ．
（1）当 时，知 ，求 的长；
（2）当 时，若 ， ，求抛物线的解析式；
【分析】（1）根据题意求出 ， ，再由 ，得到 ，则
，当 时，分别求出 ， ， ， ，
再求 的长即可；
（ 2 ） 过 点 作 交 于 点 ， 由 ， ， 可 得
，再由 ，求出 ， ， ，根据， ，可知 ， ， ，根据 ，求出 的值，从而确定 、
点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】解：（1） ，
顶点 ， ，
令 ，则 ，
，
，
，
，
，
令 ，则 ，
或 ，
， ， ， ，
；
（2）过点 作 交于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
将 代入 中， ，
解得 ，
．
2．（2022 春•德化县期中）在平面直角坐标系 中，经过原点 的抛物线
与 轴 的 正 半 轴 交 于 点 ， 为 抛 物 线 的 顶 点 ， 且
．
（1）已知 ．
①求二次函数的解析式；
②直线 平行于 ，且将 分成面积相等的两部分，求直线 的解析式．
（2）若 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线 交对称轴于点 ，点 ，
关于点 对称，求证：直线 过定点．
【分析】（1）①将 ， 代入 ，可得 ，
从而求出 ，再由 ，求出 的值即可求函数的解析式；②由①可知 ，求出直线 的解析式可得 ，设直线 与 轴的交点为 ，由
平行可得 ，求出 ， ，即可求直线 的解析式；
（2）由题意可求 ， ， ， ， ，设 ，求出直线
的解析式，可求 ， ， ， ，再由求出直线 的解析式为 ，
即可得直线 经过定点 ．
【解答】（1）解：① ，
，
抛物线经过原点，
，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
；
②由①可知 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
，
，
设直线 与 轴的交点为 ，
，直线 将 分成面积相等的两部分，
，，
， ，
，
解得 ，
；
（2）证明： ，
抛物线的对称轴为直线 ， ， ，
令 ，则 ，
解得 或 ，
， ，
，
，
解得 ，
， ， ， ， ，
设 ，直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
， ，
点 ， 关于点 对称，
， ，
设直线 的解析式为 ，，
解得 ，
，
直线 经过定点 ．
3．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，已知抛物线 与 轴交于点
，与 轴交于点 、 ，
（1）若点 的坐标为 ；
①求该抛物线的解析式．
② 3 ；
③点 是线段 上的动点．过点 作 ，交线段 于点 ，连接 ，设点
的横坐标为 ， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式；当 的面积最大时，
求点 的坐标；
（2）已知 、 是抛物线上两点；将抛物线上位于 、 两点间的部分记
为 ；把 的最高点与最低点的纵坐标的差记为 ，当 时，求 的取值范围．
【分析】（1）①将点 、 的坐标代入可得出 、 的值，继而确定抛物线解析式；②求出点 的坐标，即可得 的值；
③设 ，且 ，由 ，可得 ，利用对应边成比例可得出
的长，由 ，可得 关于 的表达式，利用配方法求最值即可；
（ 2 ） 由 点 可 得 ， 可 得 、 ， 由
，可得顶点坐标为 ，分当 时，当 时两
种情况，根据最高点与最低点的纵坐标的差记为 ， ，即可求解．
【解答】解：（ 1）①将点 ，点 代入抛物线 得：
，
解得： ，
故抛物线解析式： ；
②令 则 ，
， ，
点 的坐标为 ，
，
点 ，
，
，
故答案为：3；
③设 ，且 ，
作 轴于 ，
，
△ ，，
即 ，
，
的面积 ，
，
当 时， 面积最大，此时 ；
（2） 抛物线 与 轴交于点 ，
，
，
顶点坐标为 ，
、 ，
当 时，最高点为 ，最低点为 ，
，
，
，
；
当 时，最高点为 ，最低点为 ，
，
，
，
．
综上， 的取值范围为 或 ．
4．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，
且该抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧）．我们规定抛物线与 轴围成的
封闭区域称为“区域 ”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）如果抛物线 经过点 ．
①求 的值；②直接写出“区域 ”内整数点的个数；
（2）当 时，如果抛物线 在“区域 ”内有4个整数点，求 的取值
范围；
（3）当 时，抛物线与直线 交于点 ，把点 向左平移5个单位长度得到点 ，
以 为边作等腰直角三角形 ，使 ，点 与抛物线的顶点始终在 的两
侧，线段 与抛物线交于点 ，当 时，直接写出 的值．
【分析】（1）①将点 代入 ，求出 的值即可；
②画出函数图象，分别求出满足条件的点即可；
（2）由题意可得在对称轴上有 2 个整数点，在 和 上各有一个整数点，则
，即可求 的取值范围；
（3）求出 ， ，则 ，由题意可知当 时，
点与抛物线的顶点重合，当 时， 点始终在顶点的上方，则 点在 点上方，点
，过点 作 交于 ，设 ，则 ， ，
由 ，求出 ，进而求出 ， ，再将
点坐标代入函数的解析式即可求 的值．
【解答】解：（1）① 抛物线 经过点 ，
，
解得 ；
② ，
，
令 ，则 ，
解得 或 ，
， ，
当 时， ，
在 轴上有整点 ， ，
当 时， ，
在 的直线上有整点 ， ，当 时， ，
在 的直线上有整点 ， ，
综上所述：“区域 ”内整数点共有6个；
（2）令 ，则 ，
解得 或 ，
， ，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
“区域 ”内有4个整数点，
在对称轴上有2个整数点，在 和 上各有一个整数点，
，
解得 ，
当 时，“区域 ”内有4个整数点；
（3）当 时， ，
，
点 向左平移5个单位长度得到点 ，
，
，
，抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 点与抛物线的顶点重合，当 时， 点始终在顶点的上方，
点 与抛物线的顶点始终在 的两侧，
点在 点上方，
，
过点 作 交于 ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，设 ，则 ， ，
，
，
，
， ，
，
，
点在抛物线上，
，
解得 或 ．5．（2022•长沙二模）如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样
的三角形为“ 三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“ 三角形”？如果是，请在对应横线上画“ ”，如果不
是，请在对应横线上画“ ”；
①其中有两内角分别为 ， 的三角形 ；
②其中有两内角分别为 ， 的三角形 ；
③其中有两内角分别为 ， 的三角形 ；
（2）如图1，点 在双曲线 上且横坐标为1，点 ， 为 中点， 为
轴负半轴上一点，若 ．
①求 的值，并求证： 为“ 三角形”；
②若 与 相似，直接写出 的坐标；
（3）如图 2，在 中， ， ， ， 为 边上一点，
且 是“ 三角形”，已知 ，记 ，过 ， 作抛物线
， 在 右 侧 ， 且 在 轴 上 ， 点 在 抛 物 线 上 ， 使 得
，若符合条件的 点个数为3个，求抛物线 的解析式．【分析】（1）①三角形中最小的两个角的和是 ，则三角形不是“ 三角形”；
②三角形中最小的两个角的和大于 ，则三角形不是“ 三角形”；
③三角形中最小的两个角分别为 和 ，则三角形是“ 三角形”；
（2）①利用勾股定理求 的值即可，确定 的值可知 ， ，再根据
定义证明即可；
② 分 两 种 情 况 讨 论 ： 当 时 ， ， ； 当
时， ， ， ；
（3）过点 作 轴交于 ，过点 作 轴交于 ，求出 ， ，由
于 是“ 三角形”，分两种情况讨论：当 时， ；当
时， （不合题意）；则可求 ， 与 轴的交点为
或 ，经过 ， 的直线 与抛物线有唯一交点，联立方程组
， 得 到 △ ① ， 将 ， 代 入
，得到 ②，联立①②可求函数的解析式．
【解答】解：（1）① 两内角分别为 ， ，
，
三角形不是“ 三角形”，
故答案为： ；
② 两内角分别为 ， ，
，
三角形不是“ 三角形”，故答案为： ；
③ 两内角分别为 ， ，
三角形的另一个内角是 ，
，
三角形是“ 三角形”，
故答案为： ；
（2）① 点 在双曲线 上且横坐标为1，
，
点 ， 为 中点，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
为 中点，
，
，
，
是“ 三角形”；
② ， ，
或 ，
当 时， ，
，即 ，
解得 ，
；
当 时， ，，即 ，
解得 ，
， ；
综上所述： 点坐标为 或 ， ；
（3） ， ， ，
，
，
，
过点 作 轴交于 ，过点 作 轴交于 ，
， ， ，
，
， ，
是“ 三角形”，
或 ，
当 时， ，
，
解得 ，
；
当 时， ，
解得 ，
，
，
，
不合题意；
，，
，
与 轴的交点为 或 ，
设经过 ， 的直线解析式为 ，
，
解得 ，
，
，符合条件的 点个数为3个，
直线 与抛物线有唯一交点，
联立方程组 ，
整理得， ，
△ ①，
将 ， 代入 ，
②，
联立①②可得 ，
抛物线的解析式为 ．6．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，
点 是抛物线上一动点，过点 ， 作直线 ．
（1）求抛物线的解析式及 的值；
（2）当点 到直线 的距离为 时，求点 的坐标；
（3）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，若 ，求点 的
坐标．
【分析】（1）将 ， 代入 ，即可求函数的解析式，再求出
点坐标，即可求 ；
（2）过点 作 交于 ，可求 ，由题意可知， 点在经过 的中点且
与 平行的直线上，求出 的中点为 ， ，则经过 的中点且与 平行的直线解析式为 ，联立方程组 ，可求 点坐标为 或
， ；直线 关于直线 对称的直线解析式为 ，联立
方程组 ，可求 ；
（3）作 点关于 轴的对称点 ，连接 ，则 ，可推导出 ，求出
直线 的解析式为 ，联立方程组 ，可求 ；作 关于
的对称直线交 轴于 ，可证明 ，从而求出 ，则直线 的解析
式为 ，联立方程组 ，可求 ， ．
【解答】解：（1）将 ， 代入 ，
，
解得 ，
，
令 ，则 ，
，
，
，
；
（2）过点 作 交于 ，
， ，
，
，
点 到直线 的距离为 ，
点在经过 的中点且与 平行的直线上，
是 的中点，
，的中点为 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
经过 的中点且与 平行的直线解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
点坐标为 或 ， ；
直线 关于直线 对称的直线解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 ， 或 ；
（3）作 点关于 轴的对称点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
，
联立方程组 ，
解得 （舍 或 ，
；
作 关于 的对称直线交 轴于 ，
，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
联立方程组 ，
解得 （舍 或 ，
， ；
综上所述： 点坐标为 或 ， ．7．（2022•中山市三模）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ，抛物线的对称轴为直线 ，点 ，过 的直线交 轴于点 ，交抛物线于
，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线第四象限的图象上找一点 ，使得 的面积最大，求出点 的坐标；
（3）点 是线段 上的一点，求 的最小值，并求出此时点 的坐标．
【分析】（1）由 得点 的对称点 的坐标，将 、 坐标代入 中，
利用待定系数法可求；（2）求出直线 的解析式，用 表示点 、 的坐标，进而表示线段 ，根据
，用含 的代数式表示 的面积，利用二次函数的性质，求出 关
于 的二次函数的顶点横坐标，即可得出结论：
（3）过点 作 轴，过点 作 轴，过 作 于点 ，构造出直角三
角形，利用三角函数找到与 相等的线段，根据“垂线段最短”得 的最小
值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点 坐标，点 坐标可求．
【解答】解：（1）抛物线 与 轴交于 、 两点，抛物线的对称轴为直线
，点 ，
，
，
解得 ．
抛物线的解析式为 ．
（2） ， ，
，即 ．
直线 的解析式为： ．
如图，过点 作 轴，交 于点 ，
设 ，则 ，
，，
，
当 时，即 ， 时 的面积最大．
（3）如图，过点 作 轴，过点 作 轴，过 作 于点 ，
轴，
，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
令 ，解得 （舍 或 ，
， ，
的最小值 ，此时 ．
8．（2022•松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 中，点 、点 分别在 的正
半轴和 的正半轴上， ，抛物线 经过 、 两点，顶点为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将 绕点 顺时针旋转 后，点 落到点 的位置，求四边形 的面积；
（3）将该抛物线沿 轴向上或向下平移，使其经过点 ，若点 在平移后的抛物线上，
且满足 ，求点 的坐标．
【分析】（1）根据 ，求得点 的坐标，代入 即可求得抛物线
解析式；
（2）由旋转可得出 ，再求出抛物线顶点 ，利用勾股定理及其逆定理可得
，根据 ，即可求得答案；
（3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为 ，分两种情况：①若点
在 轴上方时，②若点 在 轴下方时，分别求出点 的坐标即可．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ，
，
，
，
，
，
将 代入抛物线 ，得 ，解得： ，
抛物线的表达式为 ．
（2） 将 绕点 顺时针旋转 后，得到△ ，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
又 ，且 ，
，
即四边形 的面积为7．
（3）当 时， ，
可知抛物线 经过点 ，
将原抛物线沿 轴向下平移2个单位过点 ，
平移后得抛物线解析式为： ；
①若点 在 轴上方时，作 轴，交抛物线于 点，易证 ，
点 与点 关于抛物线 的对称轴直线 对称，
；
②若点 在 轴下方时，如图2，作 的中垂线，与 轴交与 点，联结 并延长，交
抛物线 于 点，
根据线段的垂直平分线的性质可得 ，
，
轴，
，
，
作 轴，垂足为 ，则 ， ，设 ，则 ， ，
在 中， ，
，解得 ，
，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
， ，
综上所述，满足条件得 点坐标为 或 ．9．（2022•沈阳模拟）如图，已知点 ，点 ，直线 过点 ，交
轴于点 ，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点 的坐标；
（3）平面内任意一点 ，与点 距离始终为2，连接 ， ．直接写出 的最
小值．
【分析】（1）将 点坐标代入 中，求得 ，进而求得 点坐标，将 、 两点
坐标代入抛物线解析式，从而求得 ， 的值，进而求得结果；
（2）发现 ，故作 ，作 轴，作 ，设 ，根
据 可表示出 ，在直角三角形 中，根据勾股定理列出方程，从而求
得点 坐标，进而求得 的关系式，根据 的关系式和抛物线的关系式，进而求得结果；
（3）先确定点 在以 为圆心，2 为半径的圆上运动，取 ，求得出 ，
从而得出 ，进而确定点 、 、 共线时， 的值最小，进一步求得结
果．
【解答】解：（1）由题意得，
，，
直线 的解析式是： ，
，
，
，
抛物线的解析式是： ；
（2）如图1，
作 于 ，作 轴于 ，作 于 ，
， ，
，
， ，
可得： ，
，
设 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得，
，
， （舍去），， ，
， ，
直线 的解析式是： ，
由 得，
（舍去）， ，
当 时， ，
， ；
（3）如2，
点 距离始终为2，
点 在以 为圆心，2为半径的圆 上运动，
在 上取 ，
， ，
，
，
，
，
当 、 、 共线时， 最小，此时 在线段 与 的交点 处，
，
在 中，，
的最小值是 ．
10．（2022春•西山区校级月考）已知对称轴为直线 的抛物线经过 ，
两点，抛物线与 轴的另一个交点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点 为第四象限抛物线上一点，连接 ， 交于点 ，连接 ，求
的最大值；
（3）如图2，若点 为抛物线上一点，且当 ，求点 的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将 ， 的坐标和抛物线
代入，从而得到抛物线的解析式；
（ 2 ） 过 点 作 轴 于 点 ， 交 于 点 ， 证 明 ， 得 出
， 求 出 直 线 的 解 析 式 为 ， 设 ， 则
，可得出 的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，证明
， ， 设 ， 则 ， 求 出 ， 可 得
，求出 的值，即可得点 的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ．， ，抛物线 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
抛物线 经过 ，与 轴的另一个交点为 ．
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
．
．当 时， 有最大值，最大值是1；
（3）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
，
， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
．
， ，
，
，
，
，
，解得 或 ，
点 的坐标为 ， 或 ， ．
11 ． （ 2022 春 • 汉 川 市 校 级 月 考 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 顶 点 为的抛物线经过点 ，且与 轴交于 ， 两点（点 在点 的
左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的值；
（3）点 在第二象限内的抛物线上，点 在 轴上，且 ，当 与
相似时，求点 的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）过点 作 轴交 轴于 ，过点 作 轴交 于 ，先证明 和
均为等腰直角三角形，得出： ， ， ，
，再运用三角函数定义即可；
（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程
①③，根据解方程组，可得 点的坐标．
【解答】解：（1） ，
，
设抛物线的解析式为 ，
将 点坐标代入函数解析式，得： ，
解得： ．
该抛物线的解析式为： ；
（2）如图1，过点 作 轴交 轴于 ，过点 作 轴交 于 ，
， ，
， ，
，
和 均为等腰直角三角形，， ， ，
，
，
；
（3）设 ， ，
当 时， ，
解得： ， ，
，
．
①当 时，如图2，
则 ，即 ，
化简，得： ①，
在抛物线上，
②，
联立①②，得 ，解得： （不符合题意，舍）， ， ，
，
当 时，如图3，
则 ，即 ，
化简，得 ③，
联立②③，得： ，
解得： （不符合题意，舍）， ， ，
．
综上所述：当 与 相似时，点 的坐标为 或 ．
12．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线
交 轴于点 ， 轴于点 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点，交
轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 在第三象限抛物线上， 点横坐标为 ，连接 、 ， 的面积为 ，求
关于 的函数关系式；（不要求写自变量 的取值范围）
（3）在（2）的条件下， 绕点 逆时针旋转，与线段 相交于点 ，且
， 过 点 作 交 于 ， 轴 于 点 ， 连 接 ， 若
，求线段 的长．【分析】（1）直接把 点坐标代入 求出 的值即可得到抛物线解析式为
；
（ 2 ） 连 接 ， 过 点 作 轴 于 ， 轴 于 ， 根 据
可得出 与 的函数关系式；
（3）过 作 轴交 的延长线于 ，作 于 ， 轴于 ，如图
3，利用 得到 ，加上 ，则 ，于
是根据等腰三角形的性质可得 ，接着判断四边形 为矩形得到 ，
则 ，然后证明 得到 ，所以 ；再在
中利用正弦定义可得到 ，利用勾股定理得 ，设 点坐标为
， 则 ， ， 于 是 可 表 示 出
，所以 ，解方程得到得
， （舍去），所以 ．
【解答】解：（1） 直线 交 轴于点 ， 轴于点 ，
， ，
将 代入抛物线 ，
，
，
抛物线解析式为 ，
（2）连接 ，过点 作 轴于 ， 轴于 ，在第三象限抛物线上， 点横坐标为 ，
，
．
（3）过 作 轴交 的延长线于 ，作 于 ， 轴于 ，如图
3，
，
，
，
，
而 ，
，
易得四边形 为矩形，
，
，
，
，
而 ，
，
，
，，
，
，
在 中， ，
，
，
设 点坐标为 ，则 ， ，
，
，
整理得 ， （舍去），
．
13．（2022•荆门模拟）抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，顶点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 在第一象限的抛物线上，且 ，求点 的坐标；在线段
上确定一点 ，使 平分四边形 的面积，求点 的坐标；
（3）点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、 ，设 的外心为 ，当
的值最大时，请直接写出点 的坐标．【分析】（1）设 ，再将 代入 ，即可求解；
（2）由 可得点 ，可得 ，根据
即可求解；
（3）作 的外心 ，作 轴，则 ，进而可得 在 的垂直平
分线上运动，根据题意当 最大转化为求当 取得最小值时， 最大，
进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得 ，运用勾股定理求得 ，即
可求得点 的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
【解答】解：（1） 顶点 的坐标为 ，
设 ，
将 代入 ，
解得 ，
；
（2） 点 ，
则 ，而 ，
解得： 或4，
点 在第一象限的抛物线上，
点 ；
顶点 的坐标为 ．
直线 的解析式为 ，
， ，
点 ， ，直线 的解析式为 ，
，
，
，
，
点 在线段 上， 平分四边形 的面积，
设 ，
，
，解得 ，
点 的坐标为 ， ；
（3）如图，作 的外心 ，作 轴，则 ，，
在 的垂直平分线上运动，
依题意，当 最大时，即 最大时，
是 的外心，
，即当 最大时， 最大，
，
，
则当 取得最小值时， 最大，
，
即当 直线 时， 取得最小值，此时 ，
，
在 中， ，
， ，
根据对称性，则存在 ， ，
综上所述， ， 或 ， ．
14．（2022春•磐安县期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ，已知 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？
如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐
标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）证明 ，根据相似三角形的性质可得 ，利用待定系数法
即可求解；
（2）由题意得 为直径的圆与对称轴：直线 有唯一的交点，即相切．根据切线的
性质可得点 的横坐标为0.5，所以点 到直线 的距离为4.5，则直径 的长为9，
根据勾股定理即可求解；
（3）当点 在以 为弦的 上，圆心角 是 的两倍．过点 做
于 ，则 ．根据 ，可得 ，利用两点的距
离公式即可得点 的坐标．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
，
，
，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
设 ，
把 代入得 ，解得 ，
抛物线的函数表达式 ；
（2）存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点 ，满足 ，就是指以 为直径的圆与对
称轴：直线 有唯一的交点，即相切．
如图，设 的中点为 ，
，
点 的横坐标为0.5，
点 到直线 的距离为4.5，
直径 的长为9，
，
点 的坐标为 ， 或 ；
（3）存在，如图：
当点 在以 为弦的 上，圆心角 ．
过点 做 于 ，则 ．
，
．
，
，或 ，
设 ，
，
当 时， ，
或 ，
同理，当 时， 或
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
15．（2022•合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴
交于点 ， ，与直线 交于 轴上的点 ，直线 与 轴
交于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接 、 ，当 的面积最大时，
求点 的坐标；
（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线 ，点 是直线 上一点，连接 、
，若直线 上存在使 最大的点 ，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【分析】（1）用交点式函数表达式得： ，即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）如图，经过点 、 的圆 与直线 相切于点 ，此时， 最大，即可求解．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得： ，
当 时， ，
则 ，
即 ，解得： ．
则函数的表达式为 ；
（2） ，令 ，则 ，即点 ，
连接 ，设点 ，
，
，
有最大值，
此时点 ；
（3）如图，经过点 、 的圆 与直线 相切于点 ，此时， 最大，
过圆心 作 轴于点 ，则 ， ，
，过点 的坐标为 ， ；
同样当点 在 轴的下方时，其坐标为 ；故点 的坐标为 ， 或 ．
16．（2022•高州市一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交
于 、 两点，与 轴交于 点， 为抛物线顶点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，连接 ，交 轴于点 ，点 是第一象限的抛物线上的一个动点，连接
交 轴于 ，连接 、 ，若 ，求点 的坐标．
（3）点 是抛物线对称轴上一动点，连接 、 ，设 外接圆圆心为 ，当
的值最大时，请求出点 的坐标．
【分析】（1）把 ， 代入 即可求解；
（2）根据题意先求得 ， ， ， 各点的坐标，求得 的解析式，进而求得点 的
坐标，通过计算可得 ，进而可得 ，由 可得出
，依题意，设 ，其中 ，建立方程求解即可得出答案；
（3）作 的外心 ，作 轴，则 ，进而可得 在 的垂直平
分线上运动，根据题意当 最大转化为求当 取得最小值时， 最大，
进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得 ，运用勾股定理求得 ，即
可求得点 的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
【解答】解：（1）把 ， 代入 中，得：
，解得： ，
抛物线解析式为 ；（2） 抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 为抛
物线顶点．
令 ，得： ，
则 ，
，
．
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
依题意，设 ，其中 ，
，
解得： ， （舍去），
， ；
（3）如图，作 的外心 ，作 轴，则 ，，
在 的垂直平分线上运动，
依题意，当 最大时，即 最大时，
是 的外心，
，即当 最大时， 最大，
，
，
则当 取得最小值时， 最大，
，
即当 直线 时， 取得最小值，此时 ，
，
在 中， ，
， ，
根据对称性，则存在 ， ，
综上所述， ， 或 ， ．
17．（2022•夏津县模拟）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，且
，与 轴交于点 ，连接 ，抛物线对称轴为直线 ． 为第一象限内抛
物线上一动点，过点 作 于点 ，与 交于点 ，设点 的横坐标为 ．（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段 的长度最大时，求 的值；
（3）点 是抛物线对称轴上的一点，点 是坐标平面内的一点，是否存在点 ，使得以
点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）由 ，设 ，则 ，又抛物线对称轴为直线 ，得
，解得 ， ，用待定系数法可得抛物线的表达式为
；
（2）连接 ，得 ，可得直线 解析式为 ，设 ，则
， ，用二次函数性质可
得当 时， 取最大值，最大值是 1， ， ，可得 ，
，即知 ；
（3）设 ， ， ，又 ， ，①以 、 为对角线，则 、
的中点重合，且 ，可得 ，解得 ， 或
， ；②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，且 ，③以
、 为对角线，则 、 的中点重合，且 ，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）由 ，设 ，则 ，抛物线对称轴为直线 ，
，
解得 ，
， ，
将 ， 代入 得：
，
解得 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）连接 ，如图：
在 中，令 得 ，
，
设直线 解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
当 时， 取最大值，最大值是1，
此时 ， ，
，
， ，；
（3）存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，理由如下：
如图：
设 ， ， ，又 ， ，
①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，且 ，
，
解得 或 ，
， 或 ， ；
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，且 ，
，解得 或 ，
， 或 ， ；
③以 、 为对角线，则 、 的中点重合，且 ，
，
解得 ，
， ；
综上所述， 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， 或 ，
．
18．（2022•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交点为
、 ，与 轴交于点 ， 为抛物线上一点，过点 作 于 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 在直线 上方， 轴于 ，交 于 ．
①求 的值；②求线段 的最大值．
（3）如图2，连接 ，当 与 相似时，直接写出点 的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（ 2 ） ① 根 据 对 顶 角 性 质 ， 平 行 线 的 性 质 可 得 ， 进 而 可 得
，根据勾股定理求得 ，进而根据正弦的定义求解即可；
②待定系数法求得直线 的解析式为 ，设 ．则 ．
，求得 ，根据①的结论求得 ，当 取得
最大值时， 取得最大值，进而根据二次函数
的性质求得 的最大值；
（3）分别表示出 ， ，求得 ， ， 的长，根据 ，
与 相似时，有以下2种情形，①当 时，②当 时，
进而根据相似三角形的性质列出方程解方程求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交点为 、 ，与 轴交于点
，
令 ，则 ，
，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得， ，
解得： ，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）① 轴，
，
又 ，
，
，
， ，
， ，．
；
②设过 ， ， 的直线解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
当 时， 有最大值2，
，
取最大值时， 取最大值，
最大值为 ；
（3）设 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
与 相似，有以下两种情形，
①当 时，，
即 ，
整理得： ，
解得： （与点 重合，舍去）， ，
当 时， ，
， ；
当 时， ，
即 ，
整理得 ，
解得： ， ， （舍去），
当 时， ，
，
当 时， ，
， ．
综上所述，当 与 相似时，点 的坐标 ， 或 或 ， ．
19．（2022•广东模拟）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于
、 两点，与 轴交于 点， 为抛物线顶点．
（1）连接 ，交 轴于点 ， 是抛物线上的一个动点．
①如图一，点 是第一象限的抛物线上的一点，连接 交 轴于 ，连接 、 ，若
，求点 的坐标．②如图二，点 在第四象限的抛物线上，连接 、 交于点 ，设 ，则 有
最大值还是最小值？ 的最值是多少？
（2）如图三，点 是第四象限抛物线上的一点，过 、 、 三点作圆 ，过点 作
轴，垂足为 ，交圆 于点 ，点 在运动过程中线段 是否变化？若有变化，
求出 的取值范围；若不变，求线段 长度的定值．
（3）点 是抛物线对称轴上一动点，连接 、 ，设 外接圆圆心为 ，当
的值最大时，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）①根据题意先求得 ， ， ， 各点的坐标，求得 的解析式，进而
求得点 的坐标，通过计算可得 ，进而可得 ，由 可得
出 ，依题意，设 ，其中 ，建立方程求解即可得出答
案；
②根据已知条件设 ，其中 ，求得直线 的解析式，直线 的
解 析 式 ， 联 立 即 可 求 得 点 的 坐 标 ， 根 据
， 令
，根据二次函数的性质求得 的最大值，即可求得 的
最小值；
（2）根据题意过点 作 ，依题意，点 为 的外心， 为 垂直平分线
上的点，则点 在抛物线的对称轴直线 上，设 ，其中 ，
， ， ，根据 建立方程，解得： ，进而求得
，即可求得 ；
（3）作 的外心 ，作 轴，则 ，进而可得 在 的垂直平分线上运动，根据题意当 最大转化为求当 取得最小值时， 最大，
进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得 ，运用勾股定理求得 ，即
可求得点 的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
为抛物线顶点．
令 ，得： ，
则 ，
令 ，得： ，
解得： ， ，
则 ， ，
，
．
①设直线 的解析式为 ，如图1，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
依题意，设 ，其中 ，，
解得： ， （舍去），
， ．
② 点 在第四象限的抛物线上， 、 交于点 ，如图2，
设 ，其中 ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组，得： ，
解得： ，
，
，
， ，
，令 ，
，
当 时， 取得最大值 ， 取得最小值为 ，
有最小值，最小值为 ．
（2）不变， ，理由如下：
如图，过点 作 ，依题意，点 为 的外心，
为 垂直平分线上的点，即点 在抛物线的对称轴直线 上，
轴， ，
， 轴，
，
设 ， ， ， ， ，
为 的外心，
，则 ，
即 ，
解得： ，
，
，
，
，
．
（3）如图4，作 的外心 ，作 轴，则 ，
，
在 的垂直平分线上运动，
依题意，当 最大时，即 最大时，是 的外心，
，即当 最大时， 最大，
，
，
则当 取得最小值时， 最大，
，
即当 直线 时， 取得最小值，此时 ，
，
在 中， ，
， ，
根据对称性，则存在 ， ，
综上所述， ， 或 ， ．20．（2022•瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，沿
轴向右以每秒一个单位长的速度运动 秒 ，抛物线 经过点 和点 ．
（1）求 ， （用 的代数式表示）；
（2）抛物线 与直线 和 分别交于 ， 两点，当 时，
①在点 的运动过程中，你认为 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不
变，求出 的值；
② 的面积 与 的函数关系式；
③是否存在这样的 值，使得以 ， 、 ， 为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线 经过点 和点 ，将 ， ，代入求出
， 的值即可；（2）①根据（1）中解析式得出 ，得出 ， 即可得出
的大小不会变化；
② 根 据 当 时 以 及 当 时 ， 分 别 得 出 ，
，求出即可；
③根据当 时以及当 时，分别得出 的值即可．
【解答】解：（1）由题意得 ， ，
代入 ，
得 ，
，
即 ．
即 ．
（2）当 时，① ，
即 ， ，
即 ， ， 是定值．
②当 时， ，
如图1，
过点 作 的垂线，垂足为 ，
，
，
，
当 时，如图2，，
，
③存在这样的 值，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为梯形．
当 时，如图3，
， ，
即 ，代入 得 ．
解得 ；
当 时，如图4，则 ， 关于对称轴 对称，
即 ，
解得： ．
综上，当 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形为梯形．
