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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题21二次函数与三角函数综合问题
【例1】（2022•泰安二模）抛物线 的顶点 在 轴上，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，求 的面积；
（3）如图2，已知（2）中 点坐标，点 是第二象限抛物线上一点，是否存在点 ，使
得 ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由．
【例2】（2022•江岸区校级模拟）抛物线 与 轴交于 、 两点，与
轴交于 点，且 ， ．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若 ， 是抛物线上两点， 在对称轴右侧，且 ，求
点坐标；
（3）如图3， 是 点右侧抛物线上的一动点， 、 两点关于 轴对称，直线 、
分别交直线 于 、 两点， 交 轴于 ，求 的值．【例3】（2022•沈阳模拟）如图1，直线 分别交 轴， 轴于点 ， ，经过点
， 的抛物线 交 轴正半轴于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2， 是第三象限内的抛物线上动点， 轴交直线 于点 ，若
是等腰三角形，求点 坐标；
（3） 是抛物线的顶点，直线 上存在点 ，使 ，请直接写出点 坐标．
【例4】（2022•湖北）抛物线 与直线 交于原点 和点 ，与 轴交于另
一点 ，顶点为 ．
（1）直接写出点 和点 的坐标；
（2）如图1，连接 ， 为 轴上的动点，当 时，求点 的坐标；
（3）如图2， 是点 关于抛物线对称轴的对称点， 是抛物线上的动点，它的横坐标
为 ，连接 ， ， 与直线 交于点 ．设 和 的面积分
别为 和 ，求 的最大值．【例5】（2022•南充）抛物线 与 轴分别交于点 ， ，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1， 顶点 在抛物线上，如果 面积为某值时，符合条件的点
有且只有三个，求点 的坐标．
（3）如图2，点 在第二象限的抛物线上，点 在 延长线上， ，连接
并延长到点 ，使 ． 交 轴于点 ， 与 均为锐角，
，求点 的坐标．
【例6】（2022•无锡）已知二次函数 图象的对称轴与 轴交于点 ，
图象与 轴交于点 ， 、 为该二次函数图象上的两个动点（点 在点 的左侧），
且 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点 与点 重合，求 的值；
（3）点 是否存在其他的位置，使得 的值与（2）中所求的值相等？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20题）
1．（2022秋•工业园区期中）已知抛物线 的图象与 轴交于 、 两点
（点 在点 的左侧），与 轴正半轴交于 点，顶点为 ，直线 轴于点 ．
（1）当 时，知 ，求 的长；
（2）当 时，若 ， ，求抛物线的解析式；
2．（2022 春•德化县期中）在平面直角坐标系 中，经过原点 的抛物线
与 轴 的 正 半 轴 交 于 点 ， 为 抛 物 线 的 顶 点 ， 且
．
（1）已知 ．
①求二次函数的解析式；
②直线 平行于 ，且将 分成面积相等的两部分，求直线 的解析式．
（2）若 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线 交对称轴于点 ，点 ，
关于点 对称，求证：直线 过定点．
3．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，已知抛物线 与 轴交于点
，与 轴交于点 、 ，
（1）若点 的坐标为 ；
①求该抛物线的解析式．
② ；
③点 是线段 上的动点．过点 作 ，交线段 于点 ，连接 ，设点
的横坐标为 ， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式；当 的面积最大时，
求点 的坐标；（2）已知 、 是抛物线上两点；将抛物线上位于 、 两点间的部分记
为 ；把 的最高点与最低点的纵坐标的差记为 ，当 时，求 的取值范围．
4．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，
且该抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧）．我们规定抛物线与 轴围成的
封闭区域称为“区域 ”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）如果抛物线 经过点 ．
①求 的值；
②直接写出“区域 ”内整数点的个数；
（2）当 时，如果抛物线 在“区域 ”内有4个整数点，求 的取值
范围；
（3）当 时，抛物线与直线 交于点 ，把点 向左平移5个单位长度得到点 ，
以 为边作等腰直角三角形 ，使 ，点 与抛物线的顶点始终在 的两
侧，线段 与抛物线交于点 ，当 时，直接写出 的值．
5．（2022•长沙二模）如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样
的三角形为“ 三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“ 三角形”？如果是，请在对应横线上画“ ”，如果不
是，请在对应横线上画“ ”；
①其中有两内角分别为 ， 的三角形 ；
②其中有两内角分别为 ， 的三角形 ；
③其中有两内角分别为 ， 的三角形 ；
（2）如图1，点 在双曲线 上且横坐标为1，点 ， 为 中点， 为
轴负半轴上一点，若 ．
①求 的值，并求证： 为“ 三角形”；
②若 与 相似，直接写出 的坐标；
（3）如图 2，在 中， ， ， ， 为 边上一点，且 是“ 三角形”，已知 ，记 ，过 ， 作抛物线
， 在 右 侧 ， 且 在 轴 上 ， 点 在 抛 物 线 上 ， 使 得
，若符合条件的 点个数为3个，求抛物线 的解析式．
6．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，
点 是抛物线上一动点，过点 ， 作直线 ．
（1）求抛物线的解析式及 的值；
（2）当点 到直线 的距离为 时，求点 的坐标；
（3）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，若 ，求点 的
坐标．
7．（2022•中山市三模）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ，抛物线的对称轴为直线 ，点 ，过 的直线交 轴于点 ，交抛物线于
，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线第四象限的图象上找一点 ，使得 的面积最大，求出点 的坐标；（3）点 是线段 上的一点，求 的最小值，并求出此时点 的坐标．
8．（2022•松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 中，点 、点 分别在 的正
半轴和 的正半轴上， ，抛物线 经过 、 两点，顶点为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将 绕点 顺时针旋转 后，点 落到点 的位置，求四边形 的面积；
（3）将该抛物线沿 轴向上或向下平移，使其经过点 ，若点 在平移后的抛物线上，
且满足 ，求点 的坐标．
9．（2022•沈阳模拟）如图，已知点 ，点 ，直线 过点 ，交
轴于点 ，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点 的坐标；
（3）平面内任意一点 ，与点 距离始终为2，连接 ， ．直接写出 的最
小值．10．（2022春•西山区校级月考）已知对称轴为直线 的抛物线经过 ，
两点，抛物线与 轴的另一个交点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点 为第四象限抛物线上一点，连接 ， 交于点 ，连接 ，求
的最大值；
（3）如图2，若点 为抛物线上一点，且当 ，求点 的坐标．
11 ． （ 2022 春 • 汉 川 市 校 级 月 考 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 顶 点 为
的抛物线经过点 ，且与 轴交于 ， 两点（点 在点 的
左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的值；
（3）点 在第二象限内的抛物线上，点 在 轴上，且 ，当 与
相似时，求点 的坐标．12．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线
交 轴于点 ， 轴于点 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点，交
轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 在第三象限抛物线上， 点横坐标为 ，连接 、 ， 的面积为 ，求
关于 的函数关系式；（不要求写自变量 的取值范围）
（3）在（2）的条件下， 绕点 逆时针旋转，与线段 相交于点 ，且
， 过 点 作 交 于 ， 轴 于 点 ， 连 接 ， 若
，求线段 的长．
13．（2022•荆门模拟）抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，顶点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 在第一象限的抛物线上，且 ，求点 的坐标；在线段
上确定一点 ，使 平分四边形 的面积，求点 的坐标；
（3）点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、 ，设 的外心为 ，当
的值最大时，请直接写出点 的坐标．14．（2022春•磐安县期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ，已知 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？
如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐
标；如果不存在，请说明理由．
15．（2022•合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴
交于点 ， ，与直线 交于 轴上的点 ，直线 与 轴
交于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接 、 ，当 的面积最大时，
求点 的坐标；
（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线 ，点 是直线 上一点，连接 、
，若直线 上存在使 最大的点 ，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022•高州市一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交
于 、 两点，与 轴交于 点， 为抛物线顶点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，连接 ，交 轴于点 ，点 是第一象限的抛物线上的一个动点，连接
交 轴于 ，连接 、 ，若 ，求点 的坐标．
（3）点 是抛物线对称轴上一动点，连接 、 ，设 外接圆圆心为 ，当
的值最大时，请求出点 的坐标．
17．（2022•夏津县模拟）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，且
，与 轴交于点 ，连接 ，抛物线对称轴为直线 ． 为第一象限内抛
物线上一动点，过点 作 于点 ，与 交于点 ，设点 的横坐标为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段 的长度最大时，求 的值；
（3）点 是抛物线对称轴上的一点，点 是坐标平面内的一点，是否存在点 ，使得以
点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2022•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交点为
、 ，与 轴交于点 ， 为抛物线上一点，过点 作 于 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 在直线 上方， 轴于 ，交 于 ．
①求 的值；
②求线段 的最大值．
（3）如图2，连接 ，当 与 相似时，直接写出点 的坐标．
19．（2022•广东模拟）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于
、 两点，与 轴交于 点， 为抛物线顶点．
（1）连接 ，交 轴于点 ， 是抛物线上的一个动点．
①如图一，点 是第一象限的抛物线上的一点，连接 交 轴于 ，连接 、 ，若
，求点 的坐标．
②如图二，点 在第四象限的抛物线上，连接 、 交于点 ，设 ，则 有
最大值还是最小值？ 的最值是多少？
（2）如图三，点 是第四象限抛物线上的一点，过 、 、 三点作圆 ，过点 作轴，垂足为 ，交圆 于点 ，点 在运动过程中线段 是否变化？若有变化，
求出 的取值范围；若不变，求线段 长度的定值．
（3）点 是抛物线对称轴上一动点，连接 、 ，设 外接圆圆心为 ，当
的值最大时，请直接写出点 的坐标．
20．（2022•瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，沿
轴向右以每秒一个单位长的速度运动 秒 ，抛物线 经过点 和点 ．
（1）求 ， （用 的代数式表示）；
（2）抛物线 与直线 和 分别交于 ， 两点，当 时，
①在点 的运动过程中，你认为 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不
变，求出 的值；
② 的面积 与 的函数关系式；
③是否存在这样的 值，使得以 ， 、 ， 为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由．
