文档内容
专题 16 相交线与平行线
【专题目录】
技巧1：识别相交线中的几种角
技巧2：相交线与平行线中的思想方法
技巧3：几何计数的四种常用方法
【题型】一、利用对顶角相等进行相关计算
【题型】二、利用邻补角相等求角的度数
【题型】三、平行线的性质与判定
【题型】四、利用平行线的性质进行相关计算
【题型】五、平行线性质与判定的综合应用
【题型】六、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、相交线直线的位置关 在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
系
当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其
垂线的概念
中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短定 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
理
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶 ∠1的两边与∠2的 对顶角相等
2
1 点 两边互为反向延长 即∠1=∠2
线
∠1与∠2
邻补角 有公共顶 ∠3与∠4有一条边 ∠3+∠4=180°
4 3
点 公共，另一边互为
相
反向延长线.
∠3与∠4
同位角、内错角与同旁内角的知识点
交
同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫
线段垂直平分
同位角。（同旁同侧）
线
如：∠1和∠5。
内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫
内错角。（内部异侧）
如：∠3和∠5。
线
同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角
叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角 指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角 4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
【考点总结】二、平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线a与直线 b 互相平行，记作a∥ b ，读作a平行于b。
平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
平行线的概念
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
平
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
平行线的判定
行
简称：内错角相等，两直线平行
线 判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平
行
简称：同旁内角互补，两直线平行
性质1：两直线平行，同位角相等；
平行线的性质
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
【主要】
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是
邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
【技巧归纳】技巧1：识别相交线中的几种角
【类型】一、识别对顶角
1．下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是( )
2．下列语句正确的是( )
A. 顶点相对的两个角是对顶角
B. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C. 两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角
D．两条直线相交，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
3．如图，∠1的对顶角是( )
A．∠BOF B．∠BOC C．∠BOD D．∠EOC
4．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是( )
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AOD D．∠COF和∠BOD
【类型】二、识别同位角、内错角、同旁内角
5．下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是( )6．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是__________；DE与AC被直线AD所截得的内错角是
__________；图中∠4的内错角是_______和________．
7．如图所示，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于________°，∠1的内错角等于________°，∠1的同
旁内角等于________°。
8．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠3与∠4，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置
关系．
9．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
技巧2：相交线与平行线中的思想方法
【类型】一、基本图形(添加辅助线)法
1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB、∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．【类型】二、分离图形法
2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
【类型】三、平移法
3．如图，在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶，它们的总宽度是3米，总高度是2米，图中所成
角度均为直角，现要在从A到B的台阶上铺上地毯，求地毯的总长度．
[来源:学科网]
4．如图，某住宅小区内有一块长方形地，想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，小路
的宽为2 m，则绿化的面积为多少？
【类型】四、方程思想
5．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分
∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．
【类型】五、转化思想
6．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.【类型】六、数形结合思想
7．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.
【类型】七、分类讨论思想
8．如图，已知直线l∥l ，直线l 交l 于C点，交l 于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD
1 2 3 1 2
上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
技巧3：几何计数的四种常用方法
【类型】一、按顺序计数问题
1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；
(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
(3)如图③，直线上有n个点，则图中有_______条可用图中字母表示的射线，有__________条线段；
(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队
之间赛一场)，预计全部赛完共需________场比赛．
【类型】二、按画图计数问题
2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？
3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
【类型】三、按基本图形计数问题
4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？
【类型】四、按从特殊到一般的思想方法计数问题
5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．
(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；….
(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；
(5)根据探究结果，求2 018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
6．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？
【题型讲解】
【题型】一、利用对顶角相等进行相关计算
例1、如图，直线 ， 相交于点 ，如果 ，那么 是（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、利用邻补角相等求角的度数
例2、如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ．若 ，则 的度
数为（ ）A． B． C． D．
【题型】三、平行线的性质与判定
例3、如图，平行线 ， 被直线 所截．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、利用平行线的性质进行相关计算
例4、如图，直线 于点 ，若 ，则 的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【题型】五、平行线性质与判定的综合应用
例5、如图，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，且
∥ ．求证： ∥ ．【题型】六、求平行线间的距离
例6、如图，直线 ∥ ，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
相交线与平行线（达标训练）
一、单选题
1．如图，直线 ， ， ，则∠3的度数等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100
2．如图，能判定 的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若 ， ，则∠1的度数为（ ）A．110° B．100° C．80° D．70°
4．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，
， ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，直线a与b相交， ， ______．
7．如图，已知射线 平分 ，点 是 上一点，且 交 于点 ，若 ，则
的度数为______．三、解答题
8．如图，在 ABC中， ，D，E分别是边BC，CA上的点， ．
△
(1)求∠BDE的大小；
(2) 交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．
相交线与平行线（提升测评）
一、单选题
1．如图，已知AB CD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，直线a b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为
（ ）A．150° B．140° C．130° D．120°
3．如图，直线a、b被直线c所截，若 ， ，则∠2的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线AB与CD相交于点E，EF平分 ， ．若 ，则 （ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
5．如图， ，EF交AB于点E，交CD于点F，EH为 的平分线，GH交AB于点G，
， ，则 的度数为（ ）
A．80° B．76° C．75° D．70°
二、填空题
6．如图，AB CD， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ， ，则 ______．7．如图，在 中， 平分 ，DE AC，若 ， ，那么 __．
三、解答题
8．如图， ， ，直线 与 ， 的延长线分别交于点 ， ．求证： ．
