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专题02 实数运算
一、平方根、算术平方根、立方根
【高频考点精讲】
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
一个正数a的正的平方根表示为“ ”，负的平方根表示为“ ”。
2．算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作 。
（2）非负数a的算术平方根 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根 本身是非负数。
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方
运算。
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即x3＝a，那么x叫做a的立方根，
记作
。
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，任意数都有立方根。
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。
注意：“ ”的根指数“3”不能省略，对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一立方根。
4．平方根和立方根的性质
（1）平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【热点题型精练】
1．（2022•攀枝花中考）2的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
解：因为（± ）2＝2，所以2的平方根是 ，
答案：D．
2．（2022•海南模拟）一个正数a的两个平方根是2m﹣1和m+4，则这个正数a＝ 9 ．
解：由题意得，2m﹣1+m+4＝0，
解得：m＝﹣1，
则a＝（m+4）2＝（﹣1+4）2＝9．
答案：9．
3．（2022•恩施州中考）9的算术平方根是 3 ．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
答案：3．
4．（2022•贺州中考）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+ ＝0，则3m+n＝ 7 ．
解：∵|m﹣n﹣5|+ ＝0，
∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴3m+n＝9﹣2＝7．
答案：7．
5．（2022•宝鸡模拟） 的立方根为（ ）
A． B． C． D．
解：∵（﹣ ）3＝ ，
∴ 的立方根是 ．
答案：A．
6．（2022•常州中考）化简： ＝ 2 ．
解：∵23＝8
∴ ＝2．
答案：2．二、无理数定义及估算
【高频考点精讲】
1．无理数定义
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数。
（2）无理数与有理数的区别
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0， ＝0.33333…，
而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ＝1.414213562373…
②所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数则不能，比如圆周率 。
（3）判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，比如 是有理数，而不是无理数。
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值。
【热点题型精练】
7．（2022•福建中考）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
π
解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1 ，
∴这个无理数是 ．
答案：B．
8．（2022•常德中考）在 ， ，﹣ ， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 π C．4 D．5
解：﹣ ＝﹣2，
无理数有： ， 共2个，
π
答案：A．9．（2022•连云港中考）写出一个在1到3之间的无理数： （符合条件即可） ．
解：1到3之间的无理数如 ， ， ，答案不唯一．
10．（2022•重庆中考）估计 ﹣4的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
解：∵49＜54＜64，
∴7＜ ＜8，
∴3＜ ﹣4＜4，
答案：D．
11．（2022•绵阳中考）正整数a、b分别满足 ＜a＜ 、 ＜b＜ ，则ba＝（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
解：∵ ＜ ＜ ， ＜ ＜ ，
∴a＝4，b＝2．
∴24＝16．
答案：D．
12．（2022•黑龙江中考）若两个连续的整数a、b满足a＜ ＜b，则 的值为 ．
解：∵3＝ ＜ ＜ ＝4，
∴a＝3，b＝4，
即 ＝ ．
答案： ．
三、实数的运算
【高频考点精讲】
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数
值的计算以及绝对值的化简等。
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论
何种运算，都要注意先定符号后运算。3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度。
【热点题型精练】
13．（2022•大连模拟）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B． ＝﹣2 C．3﹣1＝﹣ D．（ ﹣1）2＝3
解：A． ＝﹣2，故此选项符合题意；
B． ＝2，故此选项不合题意；
C．3﹣1＝ ，故此选项不合题意；
D．（ ﹣1）2＝3﹣2 ，故此选项不合题意；
答案：A．
14．（2022•保定模拟）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为应数单位．规定i2＝﹣1），a称
为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝
12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2
的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
解：（3﹣mi）2＝9﹣6mi﹣m2，
∵复数（3﹣mi）2的虚部是12，
∴﹣6m＝12，
解得：m＝﹣2，
则实部为9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5．
答案：C．
15．（2021•恩施州中考）从 ，﹣ ，﹣ 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵ ，
，
（﹣ ）× ＝ ＞2，∴从 ，﹣ ，﹣ 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有2个．
答案：C．
16．（2021•河北中考）若 取1.442，计算 ﹣3 ﹣98 的结果是（ ）
A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442
解：∵ 取1.442，
∴原式＝ ×（1﹣3﹣98）
≈1.442×（﹣100）
＝﹣144.2．
答案：B．
17．（2022•攀枝花中考） ﹣（﹣1）0＝ ﹣ 3 ．
解：原式＝﹣2﹣1
＝﹣3．
答案：﹣3．
18．（2022•阜新中考）计算：2﹣2﹣ ＝ ﹣ ．
解：原式＝ ﹣2＝﹣ ．
答案：﹣ ．
19．（2022•益阳中考）计算：（﹣2022）0+6×（﹣ ）+ ÷ ．
解：原式＝1+（﹣3）+2
＝0．
20．（2022•六盘水中考）计算：
（1）32+（ ）0+（ ）﹣1；
（2）若（a+1）2+|b﹣2|+ ＝0，求a（b+c）的值．
解：（1）原式＝9+1+3
＝13；（2）∵（a+1）2+|b﹣2|+ ＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，
则原式＝﹣1×（2﹣3）＝1．
