文档内容
专题 15 图形的初步认识
【专题目录】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【题型】一、线段的中点
【题型】二、角的计算
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
【题型】四、余角与补角的相关计算
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
【题型】六、邻补角相等求角的度数
【题型】七、平行线的判定
【题型】八、平行线的应用
【题型】九、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．
2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算．
3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、直线、射线、线段与角
直线公理 经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射
射线
线只有一个端点.
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段
线段
分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.
两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
1°=60',1'=60″.
1周角=2平角=4直角=360°.
直线
余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相
角
射线 等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.
线段 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对
与角 顶角相等.
角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
线段垂直平分
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相
线
等的点在线段的垂直平分线上.
（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行线的性质:
① 两条直线平行,同位角相等;
② 两条直线平行,内错角相等;
③ 两条直线平行,同旁内角互补.
平行线 （3）平行线的判定:
① 同位角相等,两条直线平行;
② 内错角相等,两条直线平行;
③ 同旁内角互补,两条直线平行.
【技巧归纳】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
【类型】一、利用平行线的定义
1．下面的说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行 B．同一平面内不相交的两条射线平行om]
C．同一平面内不相交的两条直线平行 D．以上三种说法都不正确
【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”
2．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”
3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”
4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”
5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.
【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”]
6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.[来源:Z+xx+k.Com]
(1)试说明：AB∥CD；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
参考答案
1．C 点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注意在同一平面
内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行．
2．解：EC∥DF，理由如下：∵∠ABC＝∠ACB，
∠1＝∠2，∴∠3＝∠ECB.
又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.
∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
3．解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB，
所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
4．解：AB∥CD，理由如下：延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.
又因为∠DCE＝35°，
所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.
又因为∠ABE＝120°，
所以∠ABE＋∠BFC＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
点拨：本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB与CD之间的桥梁．
5．解：因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
因为∠E＋∠ECD＝180°，
所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．
6．解：(1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)．
(2)BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2.
即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．
点拨：∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，
可说明∠MBE＝∠NDE.
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
【类型】一、利用平角、对顶角转换求角
1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．
解：由∠EOC∶∠EOD＝2∶3，
设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.
因为∠EOC＋∠________＝180°(____________)，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠EOC＝72°.
因为OA平分∠EOC(已知)，
所以∠AOC＝∠EOC＝36°.
因为∠BOD＝∠AOC(______________)，
所以∠BOD＝________．
【类型】二、利用垂线求角
2．如图，已知FE⊥AB于点E，CD是过点E的直线，且∠AEC＝120°，则∠DEF＝________°.3．如图，MO⊥NO于点O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，则∠GOP的度数为________．
4．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【类型】三、直接利用平行线的性质求角
5．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.
【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角
6．如图，∠1与 ∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．参考答案
1．EOD；平角的定义；对顶角相等；36° 2.30
3．54° 点拨：设∠GOP＝x°，则∠MOG＝x°，∠PON＝3x°，由题意得x＋x＋3x＝360－90，解得x＝54.
∴∠GOP＝54°.
4．解：(1)∵∠AOC∠AOD＝711，∠AOC＋∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.
又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝×70°＝35°.∴∠COE＝180°－∠DOE＝180°－35°＝
145°.
(2)∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°.
又∵∠DOE＝35°，∴∠FOD＝90°－∠DOE＝90°－35°＝55°.
∴∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.
5．解：如图，过点P向左侧作PE∥AB，
则∠AMP＋∠MPE＝180°.
∴∠MPE＝180°－∠AMP＝180°－150°＝30°.
∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD，
∴∠EPN＝∠PND＝60°.
∴∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝30°＋60°＝90°，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
即MP⊥PN.
6．A
7．解：∵∠1＝72°，∠2＝72°，∴∠1＝∠2.
∴a∥b.∴∠3＋∠4＝180°.
又∵∠3＝60°，∴∠4＝120°.
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【类型】二、过“拐点”作平行线
a．“ ”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
b．“ ”形图
3．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
c．“ ”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
d．“ ”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
e．“ ”形图
6．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
【类型】三、平行线间多折点角度问题探究
7．(1)在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？
(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
参考答案
1．C
2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.
∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝
180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD＝360°－∠B
－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝
360°.
(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，
内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠DCF＝∠D(两直
线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.
点拨：已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同
旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．
5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝
42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
6．解：(1)过点E向左侧作EF∥AB，∴∠B＋∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过点E向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC
＝∠C，
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图
所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此
∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
(2)∠E ＋∠E＋∠E＋…＋∠E＝∠B＋∠F＋∠F＋…＋∠F ＋∠D.
1 2 3 n 1 2 n－1【题型讲解】
【题型】一、线段的中点
例1、如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
【答案】1
【提示】
先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【详解】
解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝ AB＝ ×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
【题型】二、角的计算
例2、如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）
A．19° B．38° C．42° D．52°
【答案】D
【解析】
试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，
∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．考点：平行线的性质；余角和补角．
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
例3、如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【提示】
根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
【题型】四、余角与补角的相关计算
例4、如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， ．则 （
）A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先根据射线 平分 ，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据 ，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即
可得出答案．
【详解】
∵ ，
∴∠CEF=140°，
∵射线 平分 ，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵ ，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
例5、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【题型】六、邻补角相等求角的度数
例6、如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ．若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
已知 ， ，根据邻补角定义即可求出 的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【题型】七、平行线的判定
例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【提示】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【题型】八、平行线的应用
例8、如图， ，直线 分别交 ， 于点E，F， 平分 ，若 ，则
的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】利用平行线的性质求解 ，利用角平分线求解 ，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解： ，
平分 ，故选 ．
【题型】九、求平行线间的距离
例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距
离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
【答案】7或17．
【提示】
分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
【详解】
解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当EF在AB，CD同侧时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．图形的初步认识（达标训练）
一、单选题
1．如图所示，下列条件中能说明 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可．
【详解】解：A．当∠1＝∠2时，不能判定a∥b，故选项不符合题意；
B．当∠3＝∠4时，∠3与∠4属于同位角，能判定a∥b，故选项符合题意；
C．当∠2+∠4＝180°时，∠2与∠4属于同旁内角，能判定c∥d，故选项不符合题意；
D．当∠1+∠4＝180°时，不能判定a∥b，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
2．如图， ， ，则 的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得．
【详解】解： ，，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．如图，若AB CD，CD EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．
【详解】解：如图，
∵AB CD，CD EF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°－∠2，
∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互
补”是解决本题的关键．
4．如图， ， 平分 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行的性质可得∠1=∠BGF，则可求出∠AGF,再根据HG平分∠AGF，即可求出∠2．
【详解】∵ ，∠1=66°，
∴∠1=∠BGF=66°，
∴∠AGF=180°-∠BGF=180°-66°=114°，
∵HG平分∠AGF，
∴∠2= ∠AGF=114°× =57°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，根据平行线的性质得到∠1=∠BGF是解答本题的关
键．
5．如图， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补角的定义，两直线平行内错角相等，计算求值即可；
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDA，
∵∠CDA=180°-∠CDE=180°-140°=40°，
∴∠A=40°，
故选：A．
【点睛】本题考查了相交线和平行线，掌握平行线的性质是解题关键．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余先求出 和 的度数，再根据平角的定义求出 的度数，最后
由平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，平角的定义．关键是根据两直线平行，同位
角相等进行解答．
二、填空题
7．如图，直线 ，则 的度数为______．【答案】30°##30度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠1=30°．
故答案为：30°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为 _____．
【答案】130°##130度
【分析】延长DC，根据平行线的性质得∠ECF＝∠BAE＝50°，即可得．
【详解】解：如图所示，延长DC，
，
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝∠BAE＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ECF＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质“两直线平行，同位角相等”．
三、解答题
9．已知， 和 中， ， ．试探究：(1)如图1， 与 的关系是______，并说明理由；
(2)如图2，写出 与 的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠1，∠1 =∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1 = 180°，∠1=∠E，即可得出答案；
（3）根据(1) (2)可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
（1）
解： ，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1，
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；故答案为： ；
（2）
解： ，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°，
又∵BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°
故答案为： ；
（3）
解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
图形的初步认识（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线 ，等腰直角 的两个顶点 、 分别落在直线 、 上， ，若
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，进而可得答案．
【详解】解：如图标记∠3，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：C ．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角
相等，等腰直角三角形的性质．
2．如图， 为 的外角， 平分 ，EB AC， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得到 ，再根据 平分 ，即可得到 的度数．
【详解】解：∵EB AC， ，
，
又 平分 ，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及角平分线的定义，熟记平行线的性质是
解题的关键．
3．如图， ， 交 、 于点 、 ， 平分 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，求出 的度数，再根据角平分线的定义求出 的度数，再由平行线
的性质得出结论即可．
【详解】解： ，
∴
平分 交 于点 ，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，熟练掌握该性质是解决本题的关键．
4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF＝∠GFE＝45°，∠H＝60°，∠EFH＝30°），满足点E在AB上，点F在CD上，AB∥CD，∠AEG＝20°，则∠HFD的大小是（ ）
A．70° B．40° C．35 D．65°
【答案】C
【分析】由角的和差可求解∠AEF的度数，结合平行线的性质可求解∠EFD的度数，利用三角形的内角和
定理可求解∠EFH的度数，进而可求解．
【详解】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝20°+45°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝65°，
∵∠EFH＝30°，
∴∠HFD＝65°﹣30°＝35°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，求解∠EFD的度数是解题的关键．
5．如图，已知直线 ， ， ， 中， ， ，直线 ， ， 交于一点，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，得出 ， 互相平行，再运用平行线的
性质，得出 ，再根据平角定义，可得出 ，结合已知可求出 的度数．
【详解】如图，∵ ， ，
∴
∴
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直定义和平角定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解
本题的关键．
二、填空题
6．已知 ，一个含有 角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若 ，则 __________度．
【答案】25
【分析】先利用平行线的性质得出 ， ，最后利用直角三角形的性质即可．
【详解】解：如图，过直角顶点作直线 ，，
，
， ，
，
，
又 ，
．
故答案为：25．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，解题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
7．如图所示， ，点 在 上， ，垂足为 ，已知 ，则 的度数为
________．
【答案】56°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABE的度数，然后根据角的和差关系求∠ABF度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴∠ABE=∠BED=34°，
∵ ，即∠EBF=90°，
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-34°=56°．
故答案为：56°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差与垂直的定义，解题的关键是根据平行线的性质求出∠ABE
的度数．三、解答题
8．（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．
做法一：
①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；
②以 为圆心， 长为半径作弧，交 的延长线于点 ；
③再以 为圆心， 长为半径作弧，与前弧交于点 ；
④连接 ，则 ．
做法二：
①以 为圆心， 长为半径作弧；
②以 为圆心， 长为半径作弧；两弧交于点 ，连接 ；则 ．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：____________________________________
做法二：____________________________________
（2）如图， 中， ，请你再加一个条件，使四边形 为菱形，并证明．【答案】（1）做法一：同位角相等，两直线平行 做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）AF=FC，见解析
【分析】（1）利用平行线的判定定理，平行四边形的判定定理即可．
（2）根据平行四边形的性质，菱形的判定定理解答即可．
【详解】（1）做法一：同位角相等，两直线平行．
做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（2）添加条件：AF=FC，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，
∴EC=AF，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵ FC=AF，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握各种判定定理是解题的关
键．
