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专题 01 统计
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）全面调查与抽样调查
（1）统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
（2）全面调查与抽样调查的优缺点：
①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．
②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准
确程度．
（二）总体、个体、样本、样本容量
(1)总体：要考察的全体对象；(2)个体：组成总体的每一个考察对象；
(3)样本：被抽查的那些个体组成一个样本；(4)样本容量：样本中个体的数目．
（三）统计量的分析
（1）平均数：x，x，…，x 的平均数＝(x＋x＋…＋x).
1 2 n 1 2 n
（2）加权平均数：①一般地，若n个数x，x，…，x的权分别是ω，ω，…，ω，则叫做这n
1 2 n 1 2 n
个数的加权平均数．
②若x出现f次，x出现f次，…，x出现f次，且f＋f＋…＋f＝n，则这k个数的加权平均数
1 1 2 2 k k 1 2 k
＝(xf＋xf＋…＋xf).
1 1 2 2 k k
（3）中位数：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中
间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据
的中位数．
（4）众数：一组数据中出现次数最多的数据.一组数据的众数可能有多个，也可能没有.
（5）方差：公式：设x，x，…，x的平均数为，则这n个数据的方差为s2＝[(x－)2＋(x－ )2
1 2 n 1 2
＋…＋(x－ )2].方差意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越稳定．
n
（四）统计图
（1）频数、频率：①频数：每个对象出现的次数．②频率：频数与数据总数的比
（2）统计图：①条形统计图能够显示每组中的具体数据．
②扇形统计图能够显示部分在总体中的百分比．
③折线统计图能够显示数据的变化趋势．
④频数分布直方图能够显示数据的分布情况．
（3）画频数分布直方图的步骤：
①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③决定分点；④列频数分布表；
⑤画频数分布直方图．
模块三 考点一遍过
考点1：全面调查与抽样调查
典例1：下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况
C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量
【变式1】下列调查适合抽样调查的是（ ）
A．审核书稿中的错别字
B．对某社区的卫生死角进行调查
C．对八名同学就地摊经济知晓程度进行调查
D．对全国中学生目前的睡眠情况进行调查
【变式2】下列调查：①调查一批灯泡的寿命；②调查某城市居民家庭收入情况；③调查某班学生
的视情况；④调查某种袋装食品是否含有防腐剂；⑤调查神舟飞船的设备零件的质量状况．其中适
合抽样调查的是 （填所有序号）．
【变式3】①了解全国中小学生每天的零花钱；②了解一批灯泡的平均使用寿命；③调查20～25岁
年轻人最崇拜的偶像；④对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查．上述调查适合
做普查的是： .
考点2：总体、个体、样本、样本容量
典例2：为了解某校七年级620名学生参加课外劳动的时间，从中抽取100名学生参加课外劳动的时
间进行分析，在此次调查中，下列说法：①七年级620名学生参加课外劳动的时间是总体；②每个
学生是个体；③被抽取的100名学生参加课外劳动的时间是样本；④样本容量是200名．其中正确
的有（ ）
A．①④ B．①③ C．③④ D．②④
【变式1】为了解某地5000名八年级考生的数学成绩，教育部门抽取了200名考生的数学成绩进行
统计分析．下列说法正确的是（ ）
A．每个考生是个体 B．样本容量是200名学生C．200名考生是总体的一个样本 D．5000名学生的数学成绩的全体是总体
【变式2】为了了解我市2019年13752名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行
统计，在此次调查中，下列说法：①我市2019年13752名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每
个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是样本；④样本容量是200名．其中说法
正确的有 ．(填序号)
【变式3】为了了解我市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生成绩进行统
计.在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体；
③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本：④样本容量是200.其中说法正确的有
（填序号）
考点3：统计量的计算
典例3：已知一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数是2，方差是2，那另一组数据2x −1，2x −1，
1 2 3 4 5 1 2
2x −1，2x −1，2x −1，的平均数和方差分别为（ ）
3 4 5
A．4，4 B．3，3 C．3，8 D．3，4
【变式1】某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零
花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5
人数 1 2 4 1 2
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是2.5 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4
【变式2】体育课上，某班15名男生进行引体向上的训练，在训练后的测试中，这15名男生做引体
向上个数的统计数据如下：
个数 5 7 8 9 10 12 14
人数 1 2 4 3 2 2 1
根据以上数据，这15名男生做引体向上个数的众数是 ，中位数是 ．
【变式3】嘉淇本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1:2:2计
算得出总成绩，则本学期嘉淇的数学总成绩为 分．
测试类
平时 期中 期末
别
得分/分 80 85 90
考点4：统计量的选择
典例4：贵阳贵安2021年第二届初中教师说课评比顺利结束，陈老师根据七位评委所给的分数，将最后一位参赛教师的得分制作了表格．对七位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后．
表中数据一定不发生变化的是（ ）
中位
平均数 众数 方差
数
86.2分 85分 84分 5.76
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【变式1】在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入
决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【变式2】要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了
一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．
你认为应该选择 （填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是 ．
【变式3】某校八年级（2）班为选拔18名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有35名同学报名
参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前18名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数
后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”）
考点5：统计图的选择
典例5：下面的信息中，最适合用折线统计图表示的是（ ）
A．植物园各类植物的数量
B．六年级参加各项课后兴趣班的人数
C．珠海市2023年每月的降雨量变化情况
D．书店各类书的销售情况
【变式1】中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地
体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（ ）
山名 东岳泰山 南岳衡山 西岳华山 北岳恒山 中岳嵩山
海拔
1533 1300 2155 2016 1492
(m)
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．直方图
【变式2】下表为100粒种子的发芽情况：
天数 1 2 3 4 5
发芽
10 65 15 5 0
率
用统计图说明该种子的发芽率，可选择 统计图；说明哪天种子发芽最多，可选择
统计图；反映种子的发芽规律，可选择 统计图．
【变式3】反映某种股票涨跌情况，应选用 统计图；学校统计各年级的总人数应选用
统计图，在一片果园中，有不同种类的果树，为了反映某种果树的种植面积占整个果园的面积百分
比，应选用 统计图．
考点6：从统计图获取信息
典例6：为了解学生身体健康状况，某校从全校2000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选
取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表1），并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
表1 学生体质健康统计表
成绩 频数 百分比
不及格 3 a
及格 b 20%
良好 45 c
优秀 32 32%根据上面的信息解决下面问题：
(1)本次选取的学生人数为__________人，图1中a=__________，b=__________，c=__________；
(2)请补全图2的条形统计图；
(3)为听取测试建议，学校选出了1名“良好”学生和3名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽
取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“优
秀”的概率．
A B C D
A (B,A)(C,A()D,A)
B (A,B) (C,B)(D,B)
C (A,C()B,C) (D,C)
D (A,D()B,D)(C,D)
【变式1】某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生
只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对
以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据统计结果，绘制成了如图9所示
的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：(1)在这项调查中，共调查了_______名学生；
(2)将条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数），并求出扇形统计图中的圆心角α的度数；
(3)该学校从E组中挑选了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加
市青少年人工智能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
100
α= ×360°=120°
300
由题意可得： ；
【变式2】数字经济已成为我国新时代建设现代化经济体系的重要动力，其中，通信业务总体上呈
现较高速度增长态势．下面是我国去年1−11月份通信行业“五大业务”收入情况（单位：亿元）
和“五大业务”与上一年同期相比增长率情况（单位：%）统计图．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)填空：去年1−11月份“移动数据流量”收入为________亿元；(2)请求出前年1−11月份电信业务收入约为多少亿元？
(3)某通信运营商在对全市各营业厅进行年终业绩考核中，把“电信业务”和“新型业务”作为优先
考核的两大项目，请你简要说明该通信运营商这样考虑的原因是什么？
【变式3】3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中
游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学
生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一
类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为_______人，A类活动所占圆心角的度数为_______；
(2)补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）；
(3)若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(4)该校从C类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生参加市青少年
魔方比赛，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是_______．
男 男 男 女 女
（男， （男，
男 （男，男） （男，女）
男） 女）
（男，
男 （男，男） （男，男） （男，女）
女）
（男， （男，
男 （男，男） （男，女）
男） 女）
（女，
女 （女，男） （女，男） （女，女）
男）
（女， （女，
女 （女，男） （女，男）
男） 女）
考点7：以样本估计总体
典例7：临沂古称琅琊，是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到临沂观光游客的
出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．“其它”所表示的扇形的圆心角为30°
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有4万人
【变式1】某校落实“阅读管理”工作，执行“课前三分钟阅读”方案，为了了解学生对该方案的
认可情况，学校设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．从学校所有2400名学生中随机征求了
100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见
的学生人数约为（ ）
A．70 B．720 C．1440 D．1680
【变式2】某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个月生产
的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个边界值，
不含后一个边界值）．已知检测综合得分大于或等于70分的产品为合格产品，则估计该月该产品合
格的有 件．
【变式3】腹有诗书气自华，最是书香能致远．为开展好读书活动，某校计划购买一批课外读物．
为了解学生对课外读物的需求情况，学校随机抽取了部分学生进行了一次“我最喜欢的课外读物”
的调查（设置了“文学”、“科技”、“历史”、“艺术”、“哲学”和“其他”六个类别，规定
每人必须只能选择其中的一个类别），将调查结果进行了统计分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
该校共有学生1500人，请根据以上统计分析，估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生
约有 人．
考点8：数据的波动程度
典例8：设有n个数x ,x ,x ,⋯,x ，其标准差为S ．另有n个数y ,y ,y ,⋯,y ，其标准差为S ．
1 2 3 n 1 1 2 3 n 2
其中 ，则下列说法正确的是（ ）
y =2x +3(k=1,2,3,⋯,n)
k k
A． B． C． D．
S =2S +3 S =2S S =√2S +3 S =√2S
2 1 2 1 2 1 2 1
【变式1】某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竟赛中，甲、乙两组学生成绩如
下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定
C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高
【变式2】若一组数据x ，x ，…，x 的方差是3，则另一组数据2x +1，2x +1，2x +1，…，
1 2 n 1 2 3
2x +1的标准差是 ．
n
【变式3】甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人
这5次测试成绩数据的方差分别为 ， ，则 （填“ ”，“ ”或“ ”）．
s2 s2 s2 s2 > < =
甲 乙 甲 乙
考点9：统计综合典例9：某校对初三1200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1200名学生中随机抽取部分
学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A、B、C、D四个等级，绘制了图①、图②两幅
不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)将条形统计图和扇形统计图补充完整；
(3)求出扇形统计图中“D”选项对应的圆心角度数；
(4)估计初三“D”等级的学生有多少人？
【变式1】小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制
成如下扇形统计图和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)小张同学共调查了______名居民的年龄，扇形统计图中，0~14岁对应扇形的圆心角为______°；
(2)补全条形统计图；
(3)若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为______；
(4)若该辖区年龄在60岁及以上的居民约有3600人，根据调查结果估计该辖区居民人数共有多少人？
【变式2】2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升
学生综合索质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心
的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．
统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题：
七年级学生最关心的问题问卷调查表
亲爱的同学：你好！
这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你
最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！
(1)此次抽样调查中，共调查了 名学生；
(2)将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度；
(3)该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信
息；
(4)已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加
“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率．
【变式3】某市教育局为了解在校初中生做家务的情况，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，
依据相关数据绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
在下列家务劳动中你每周能主动参与做___________件事情．
①整理房间，打扫卫生；②吃过饭后收拾餐桌，洗刷餐具；③清洗自己的衣服，整理衣柜；④给家
里的花草浇水施肥或给小动物喂食洗澡．
A．零 B．一 C．二 D．三 E．四根据图中信息，请完成下列题：
(1)本次抽样调查的总人数有___________人；
(2)选择B选项的人数有多少人；
(3)补全条形统计图；
(4)在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为α，则α=___________．
