文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题6 反比例函数的图象及应用
知识梳理
【考点一】反比例函数与一次函数综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的 x的范
围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范
围为 或 ．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况
【考点二】反比例函数与几何图形综合
1.三角形相关知识：
直角三角形：勾股定理、面积公式；
等腰/等边三角形：性质（等边对等角、三线合一）、判定；
三角形全等/相似：判定定理（SAS、SSS、ASA；AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相
等）—— 用于转化线段长度、角度关系；2.特殊四边形相关知识：
平行四边形、矩形、菱形、正方形：性质（对边平行且相等、对角线特征等）、判定；
3.坐标几何基础：
平面直角坐标系中点的坐标特征：象限符号、坐标轴上的点（x 轴上 y=0，y 轴上 x=0）
两点间距离公式：若 A(x ,y )、B(x ,y )，则 AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
点到坐标轴的距离：点 (x ,y ) 到 x 轴距离 |y |，到 y 轴距离 |x |
0 0 0 0
斜率与平行、垂直：两直线平行 ⇔ 斜率相等；两直线垂直 ⇔ 斜率乘积为 −1（初中阶段可通过坐
标计算角度）
3.核心方法与数学思想
（1）数形结合思想
从函数图像上提取点的坐标信息，转化为代数计算；
用代数计算结果（如 k 的值、点的坐标）推导几何图形的形状、面积、边长。
（2）方程思想
利用 xy=k 建立等量关系；
结合几何性质（如勾股定理、相似比）列方程，求解点的坐标或 k 的值。
（3）转化思想
不规则图形面积 → 转化为规则图形（矩形、三角形）的和/差；
线段长度 → 转化为点的坐标差的绝对值。
（4）分类讨论思想
当点的位置不确定时（如在不同象限、不同边上），需分类讨论，避免漏解。
【考点三】反比例函数的实际应用
1.用反比例函数解决实际问题的步骤
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
2. 常见反比例关系举例
S
（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为y= (00)；
x
F
（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为p= (S>0)；
S
U
（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为I= (R>0)；
R
L
（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为t= (n>0)．.
n
3.与实际情境结合的分段函数问题
(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式
中的字母系数。
(2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。
例题讲解
【题型一】反比例函数与一次函数的综合应用
◇典例1：
在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】 时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解： ，
一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数 的图象经过二、四象限，
故 选项的图象符合要求．
◆变式训练k
1.如图，已知反比例函数y = 1 （k >0）与一次函数y =k x+1(k ≠0)相交于A、B两点（点A在第一
1 x 1 2 2 2
AC
象限），AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且 =2．
OC
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函数y 的值？
1 2
2
【答案】(1)y = ；y =x+1
1 x 2
(2)B点的坐标为(−2,−1)，当x<−2和0y ．
1 2
【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函
数的性质是本题的解题关键．
（1）根据tan∠AOC=2，△OAC的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可
求解；
（2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函
1
数y 的值．
2
【详解】（1）解：在Rt△OAC中，设OC=m．
AC
∵ =2，
OC
∴AC=2m．
1 1
∵S = ⋅OC⋅AC= m⋅2m=1，
△AOC 2 2
∴m2=1．
∴m=1（负值舍去）．
∴A点的坐标为(1,2)．
k
把A点的坐标代入y = 1中，得k =2．
1 x 12
∴反比例函数的表达式为y = ．
1 x
把A点的坐标代入y =k x+1中，得k +1=2，
2 2 2
∴k =1．
2
∴一次函数的表达式y =x+1．
2
（2）由题意得：¿，
解得：¿，¿
∴B点的坐标为(−2,−1)．
由图可知：当x<−2和0y ．
1 2
2.在同一平面直角坐标系中，若 ，则函数 与 的大致图象是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据 、 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解： ，
①若 ， ，则 经过一、三、四象限，反比例函数 位于二、四象限，
②若 ， ，则 经过一、二、四象限，反比例函数 位于一、三象限，
只有选项 符合题意，
故选： ．
【题型二】反比例函数与几何图形的综合应用
◇典例2：
如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是菱形， ，且点 落在函数
的图象上，则四边形 的周长是（ ）A．12 B．16 C．20 D．28
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作 轴，垂足为 ，
设点 坐标为 ，根据条件列出关于 的方程，解出 值，再利用勾股定理求出 ，根据菱形性质
求出菱形的周长即可．
【详解】解：如图，作 轴，垂足为 ，
设点 坐标为 ，
，
∴ ，整理得 ，
解得 或 （舍去），
，
，
∴四边形 的周长为 ，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在直角坐标系中，菱形 的顶点均在坐标轴上， ．若反比例函数 经过
边的中点 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，熟知反比例函数图
像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义可设 ，则 ，故可得出 ，再由菱形的性质用 表示出各点
坐标，再把点 的坐标代入反比例函数的解析式，求出 的值，进而可得出结论．
【详解】解： 菱形 的顶点均在坐标轴上， ，
可设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
四边形 是菱形，
， ，
∴ ，
点 是 边的中点，
∴ ，
点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，
负值舍去 ，，
∴ ．
故答案为： ．
2.如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为 ，反比
例函数 的图像与边 分别交于点 （不与边的端点重合），连接 ， ， ．
(1)若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析
式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据 为边 的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
（2）设出点D的坐标，点E坐标，根据 ，得出
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， 为边 的中点，
∴点 的坐标为 ，代入 得， ，
解得， ，
把 代入 得， ，
解得， ，
点E坐标为
（2）解：∵点 的坐标为 ，反比例函数 的图像与边 分别交于点 ，
设点D的坐标为 ，点E坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得， （舍去）或 ，
则点D的坐标为 ，点E坐标为 ，
， ，
．【题型三】反比例函数与利润问题应用
◇典例3：
某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活
动，发现此商品的日销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以
用反比例函数刻画这种商品的日销售量y（件）与日销售单价x（元/件）之间的关系
第1天 第2天 第3天 第4天
日销售单价x（元/件） 150 200 240 250
日销售量y（件） 40 30 25 24
(1)写出这个反比例函数的解析式（不必写x的取值范围）；
(2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余
下的这些商品预计再用多少天可以全部售出；
(3)设商品的日销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300
元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？
6000
【答案】(1)y=
x
(2)8天
(3)能
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键．
（1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可；
（2）根据题意计算即可；
6000
（3）根据y= ，可表示出W与x之间的函数关系式，再根据x≤300求出最大利润，再进行计算即可．
x
k
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为y= ，
x
k
把(150,40)代入得40= ，
150
解得k=6000，
6000
∴反比例函数的解析式为y= ．
x
311− 40− 30− 25−24
（2）解： =8（天），
24
∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出．6000
（3）解：依题意W=(x−120)y=(x−120)× ，
x
6000×120
整理得：W=6000− ，
x
∵x≤300，
∴当x=300时，W最大，
6000
∴当x=300时，y= =20，
300
311− 40− 30− 25−24
∴ =9.6<10（天），
20
∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品．
◆变式训练
1.某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润
率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例
函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果．
【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等，
∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方，
∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润．
故选C．
2.校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每
天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件．
(1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)；
(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？300
【答案】(1)y=
x
(2)5元/件
【分析】（1）由“销售额=销售量×单价”列出函数关系式；
（2）设该物品的售价应定为x元/件，结合“利润=销售量×差价”列出函数式，并解答．
【详解】（1）解：依题意得：xy=50×6=300，
300
则y= ；
x
（2）设该物品的售价应定为x元/件，
300
依题意得：60= (x−4)，
x
解得x=5，
经检验，x=5是方程的根且符合题意．
答：该物品的售价应定为5元/件．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
【题型四】反比例函数与工程问题应用
◇典例4：
瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持
不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高50%，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车
运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为
5:2:3:1恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
【答案】376
3 4
【分析】设甲车每次运x吨，可得乙车每次运 x（吨)，丙车每次运(x+12)吨，丁车每次运( x+8)
2 3
3 4
吨，由x， x，x+12， x+8都是整数，知x是6的倍数，x最小为6，设这一批建筑材料共W吨，运完这
2 3
24
一批建筑材料，丁车运输k次，可得5kx=120，k= ，
x
3 4 480
W=5kx+2k⋅ x+3k⋅(x+12)+k⋅( x+8)=296+ ，故x=6时，W最大为376吨．
2 3 x
【详解】解：设甲车每次运x吨，
∵乙车每次运货量比甲车高50%，丙车每次运货量比甲车多12吨，3
∴乙车每次运(1+50%)x= x（吨)，丙车每次运(x+12)吨，
2
∵甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，
2x+2(x+12) 4
∴丁车每次运 =( x+8)吨，
3 3
3 4
∵x， x，x+12， x+8都是整数，
2 3
∴x是6的倍数，x最小为6，
设这一批建筑材料共W吨，运完这一批建筑材料，丁车运输k次，则甲车运输5k次，乙车运输2k次，丙车
运输3k次，
∵甲车共运输了120吨，
∴5kx=120，
24
∴k= ，
x
根据题意得：
3 4
W=5kx+2k⋅ x+3k⋅(x+12)+k⋅( x+8)
2 3
37
= kx+20k
3
37
= ×24+20k
3
=296+20k
480
=296+ ，
x
∴当x最小时，W取最大值，
480
∴x=6时，W最大为296+ =376（吨)，
6
∴这批建筑材料最多有376吨，
故答案为：376．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键．
◆变式训练
1.某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例
函数关系，已知该函数关系的图象经过点(30,40)，如图．(1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程?
1200
【答案】(1)y与x之间的函数表达式为y=
x
(2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前10天完成此项工程
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是
解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出y与x之间的函数表达式；
（2）将x=24及x=30代入（1）中求得的解析式，求出y值，作差后即可得出答案．
k
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y= (k≠0)，
x
∵该函数关系的图象经过点(30,40)，
k
∴40= ，
30
∴k=1200，
1200
∴y与x之间的函数表达式为y= ；
x
1200
（2）解：当x=30时，y= =40，
30
1200
当x=24时，y= =50，
24
∵50−40=10，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前10天完成此项工程．
2.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石
方的任务．
(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②若00，当t>0时，v随t的增大而减小，
∴v≥60，
又∵此公路限速120km/h，
∴60≤v≤120
答：李老师从乙地返回甲地的平均速度v的取值范围是60≤v≤120．
◆变式训练
1.去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息
技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其
最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它
的最快移动速度v =6m/s；求其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度．
【答案】其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据待定系数法求出反比例函数解析式，代入数据即可求解，掌
握反比例函数的应用是解题的关键．
k
【详解】解：反比例函数的解析式为v= ，
m
∵该机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=vm=60×6=360，
360
∴v= ，
m
360
当m=90时，v= =4，
90
∴其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s，
答：其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s．
2.元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为88km/h时，行驶时间
为2h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若小汽车匀速行驶的速度为55km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
176
【答案】(1)v=
t(2)3.2h
【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解．
（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）把v=55km/h代入（1）中的函数关系式中求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：vt=88×2=176，
176
所以v与t的关系式为：v= ；
t
176
（2）解：当v=55km/h时，t= =3.2h．
55
答：小汽车速度为55km/h时，从乙地到甲地需要3.2h．
【题型六】反比例函数与物理问题应用
◇典例6：
F
在物理中，压强p(Pa)，压力F(N)，受力面积S(m2)满足公式p= ．
S
(1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号）
(2)已知一块比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
【答案】(1)①③
(2)这块薄木板的面积至少0.06m2．
【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键．
（1）根据函数解析式即可判断求解；
F
（2）①把F=600N，S=0.03m2代入p= 计算即可求解；
S
F
②把p=10000Pa，F=600N代入p= 计算即可求解；
S【详解】（1）解：当F为定值时，p是S的反比例函数，故①正确；
当p为定值时，F=pS，F是S的正比例函数，故②错误；
当S为定值时，p是F的正比例函数，故③正确；
正确的有①③，
∴故答案为：①③；
F
（2）解：把F=600N，S=0.03m2代入p=
S
600
得，p= =20000pa，
0.03
20000>10000，
∵小明不能安全地站在这块冰面上；
∴ F 600
②把p=10000N，F=600N代入p= 得，10000= ，
S S
解得S=0.06m2，
这块薄木板的面积至少0.06m2．
◆变式训练
∴
1.在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成
U
反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为(10,4)，则电源电压U为（提示：I= ）（ ）
R
A．10 V B．20 V C．30 V D．40 V
【答案】D
U
【分析】本题主要考查反比例函数的解析式．将点P(10,4)代入I= 即可得到答案．
R
U
【详解】解：将P(10,4)代入I= 得，
R
∴U=10×4=40．
故选：D．
2.数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关
系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若30）
V
(2)1.1<ρ<3.3
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
k
（1）设密度ρ的关于体积V的函数解析式为ρ= (k≠0)，将A(5,1.98)代入，即可解答；
V
（2）将V=3和V=9代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答，
k
【详解】（1）解：设密度ρ的关于体积V的函数解析式为ρ= (k≠0)
V
∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，
k
∴1.98= ，
5
∴k=9.9，
9.9
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ= (V>0)；
V
9.9 9.9
（2）解：当ρ=3时，代入ρ= ，可得3= ，
V V
解得：V=3.3．
9.9 9.9
当ρ=9时，代入ρ= ，可得9= ，
V V
解得：V=1.1．
∴当3
