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2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题6 反比例函数的图象及应用
知识梳理
【考点一】反比例函数与一次函数综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的 x的范
围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范
围为 或 ．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况
【考点二】反比例函数与几何图形综合
1.三角形相关知识：
直角三角形：勾股定理、面积公式；
等腰/等边三角形：性质（等边对等角、三线合一）、判定；
三角形全等/相似：判定定理（SAS、SSS、ASA；AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相
等）—— 用于转化线段长度、角度关系；2.特殊四边形相关知识：
平行四边形、矩形、菱形、正方形：性质（对边平行且相等、对角线特征等）、判定；
3.坐标几何基础：
平面直角坐标系中点的坐标特征：象限符号、坐标轴上的点（x 轴上 y=0，y 轴上 x=0）
两点间距离公式：若 A(x ,y )、B(x ,y )，则 AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
点到坐标轴的距离：点 (x ,y ) 到 x 轴距离 |y |，到 y 轴距离 |x |
0 0 0 0
斜率与平行、垂直：两直线平行 ⇔ 斜率相等；两直线垂直 ⇔ 斜率乘积为 −1（初中阶段可通过坐
标计算角度）
3.核心方法与数学思想
（1）数形结合思想
从函数图像上提取点的坐标信息，转化为代数计算；
用代数计算结果（如 k 的值、点的坐标）推导几何图形的形状、面积、边长。
（2）方程思想
利用 xy=k 建立等量关系；
结合几何性质（如勾股定理、相似比）列方程，求解点的坐标或 k 的值。
（3）转化思想
不规则图形面积 → 转化为规则图形（矩形、三角形）的和/差；
线段长度 → 转化为点的坐标差的绝对值。
（4）分类讨论思想
当点的位置不确定时（如在不同象限、不同边上），需分类讨论，避免漏解。
【考点三】反比例函数的实际应用
1.用反比例函数解决实际问题的步骤
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
2. 常见反比例关系举例
S
（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为y= (0<x≤√S)；
x2S
（2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为y= (x>0)；
x
F
（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为p= (S>0)；
S
U
（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为I= (R>0)；
R
L
（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为t= (n>0)．.
n
3.与实际情境结合的分段函数问题
(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式
中的字母系数。
(2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。
例题讲解
【题型一】反比例函数与一次函数的综合应用
◇典例1：
在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】 时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解： ，
一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数 的图象经过二、四象限，
故 选项的图象符合要求．
◆变式训练k
1.如图，已知反比例函数y = 1 （k >0）与一次函数y =k x+1(k ≠0)相交于A、B两点（点A在第一
1 x 1 2 2 2
AC
象限），AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且 =2．
OC
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函数y 的值？
1 2
2
【答案】(1)y = ；y =x+1
1 x 2
(2)B点的坐标为(−2,−1)，当x<−2和0<x<1时，y >y ．
1 2
【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函
数的性质是本题的解题关键．
（1）根据tan∠AOC=2，△OAC的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可
求解；
（2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函
1
数y 的值．
2
【详解】（1）解：在Rt△OAC中，设OC=m．
AC
∵ =2，
OC
∴AC=2m．
1 1
∵S = ⋅OC⋅AC= m⋅2m=1，
△AOC 2 2
∴m2=1．
∴m=1（负值舍去）．
∴A点的坐标为(1,2)．
k
把A点的坐标代入y = 1中，得k =2．
1 x 12
∴反比例函数的表达式为y = ．
1 x
把A点的坐标代入y =k x+1中，得k +1=2，
2 2 2
∴k =1．
2
∴一次函数的表达式y =x+1．
2
（2）由题意得：¿，
解得：¿，¿
∴B点的坐标为(−2,−1)．
由图可知：当x<−2和0<x<1时，y >y ．
1 2
2.在同一平面直角坐标系中，若 ，则函数 与 的大致图象是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据 、 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解： ，
①若 ， ，则 经过一、三、四象限，反比例函数 位于二、四象限，
②若 ， ，则 经过一、二、四象限，反比例函数 位于一、三象限，
只有选项 符合题意，
故选： ．
【题型二】反比例函数与几何图形的综合应用
◇典例2：
如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是菱形， ，且点 落在函数
的图象上，则四边形 的周长是（ ）A．12 B．16 C．20 D．28
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作 轴，垂足为 ，
设点 坐标为 ，根据条件列出关于 的方程，解出 值，再利用勾股定理求出 ，根据菱形性质
求出菱形的周长即可．
【详解】解：如图，作 轴，垂足为 ，
设点 坐标为 ，
，
∴ ，整理得 ，
解得 或 （舍去），
，
，
∴四边形 的周长为 ，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在直角坐标系中，菱形 的顶点均在坐标轴上， ．若反比例函数 经过
边的中点 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，熟知反比例函数图
像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义可设 ，则 ，故可得出 ，再由菱形的性质用 表示出各点
坐标，再把点 的坐标代入反比例函数的解析式，求出 的值，进而可得出结论．
【详解】解： 菱形 的顶点均在坐标轴上， ，
可设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
四边形 是菱形，
， ，
∴ ，
点 是 边的中点，
∴ ，
点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，
负值舍去 ，，
∴ ．
故答案为： ．
2.如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为 ，反比
例函数 的图像与边 分别交于点 （不与边的端点重合），连接 ， ， ．
(1)若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析
式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据 为边 的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
（2）设出点D的坐标，点E坐标，根据 ，得出
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， 为边 的中点，
∴点 的坐标为 ，代入 得， ，
解得， ，
把 代入 得， ，
解得， ，
点E坐标为
（2）解：∵点 的坐标为 ，反比例函数 的图像与边 分别交于点 ，
设点D的坐标为 ，点E坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得， （舍去）或 ，
则点D的坐标为 ，点E坐标为 ，
， ，
．【题型三】反比例函数与利润问题应用
◇典例3：
某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活
动，发现此商品的日销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以
用反比例函数刻画这种商品的日销售量y（件）与日销售单价x（元/件）之间的关系
第1天 第2天 第3天 第4天
日销售单价x（元/件） 150 200 240 250
日销售量y（件） 40 30 25 24
(1)写出这个反比例函数的解析式（不必写x的取值范围）；
(2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余
下的这些商品预计再用多少天可以全部售出；
(3)设商品的日销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300
元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？
6000
【答案】(1)y=
x
(2)8天
(3)能
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键．
（1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可；
（2）根据题意计算即可；
6000
（3）根据y= ，可表示出W与x之间的函数关系式，再根据x≤300求出最大利润，再进行计算即可．
x
k
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为y= ，
x
k
把(150,40)代入得40= ，
150
解得k=6000，
6000
∴反比例函数的解析式为y= ．
x
311− 40− 30− 25−24
（2）解： =8（天），
24
∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出．6000
（3）解：依题意W=(x−120)y=(x−120)× ，
x
6000×120
整理得：W=6000− ，
x
∵x≤300，
∴当x=300时，W最大，
6000
∴当x=300时，y= =20，
300
311− 40− 30− 25−24
∴ =9.6<10（天），
20
∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品．
◆变式训练
1.某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润
率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例
函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果．
【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等，
∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方，
∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润．
故选C．
2.校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每
天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件．
(1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)；
(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？300
【答案】(1)y=
x
(2)5元/件
【分析】（1）由“销售额=销售量×单价”列出函数关系式；
（2）设该物品的售价应定为x元/件，结合“利润=销售量×差价”列出函数式，并解答．
【详解】（1）解：依题意得：xy=50×6=300，
300
则y= ；
x
（2）设该物品的售价应定为x元/件，
300
依题意得：60= (x−4)，
x
解得x=5，
经检验，x=5是方程的根且符合题意．
答：该物品的售价应定为5元/件．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
【题型四】反比例函数与工程问题应用
◇典例4：
瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持
不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高50%，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车
运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为
5:2:3:1恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
【答案】376
3 4
【分析】设甲车每次运x吨，可得乙车每次运 x（吨)，丙车每次运(x+12)吨，丁车每次运( x+8)
2 3
3 4
吨，由x， x，x+12， x+8都是整数，知x是6的倍数，x最小为6，设这一批建筑材料共W吨，运完这
2 3
24
一批建筑材料，丁车运输k次，可得5kx=120，k= ，
x
3 4 480
W=5kx+2k⋅ x+3k⋅(x+12)+k⋅( x+8)=296+ ，故x=6时，W最大为376吨．
2 3 x
【详解】解：设甲车每次运x吨，
∵乙车每次运货量比甲车高50%，丙车每次运货量比甲车多12吨，3
∴乙车每次运(1+50%)x= x（吨)，丙车每次运(x+12)吨，
2
∵甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，
2x+2(x+12) 4
∴丁车每次运 =( x+8)吨，
3 3
3 4
∵x， x，x+12， x+8都是整数，
2 3
∴x是6的倍数，x最小为6，
设这一批建筑材料共W吨，运完这一批建筑材料，丁车运输k次，则甲车运输5k次，乙车运输2k次，丙车
运输3k次，
∵甲车共运输了120吨，
∴5kx=120，
24
∴k= ，
x
根据题意得：
3 4
W=5kx+2k⋅ x+3k⋅(x+12)+k⋅( x+8)
2 3
37
= kx+20k
3
37
= ×24+20k
3
=296+20k
480
=296+ ，
x
∴当x最小时，W取最大值，
480
∴x=6时，W最大为296+ =376（吨)，
6
∴这批建筑材料最多有376吨，
故答案为：376．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键．
◆变式训练
1.某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例
函数关系，已知该函数关系的图象经过点(30,40)，如图．(1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程?
1200
【答案】(1)y与x之间的函数表达式为y=
x
(2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前10天完成此项工程
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是
解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出y与x之间的函数表达式；
（2）将x=24及x=30代入（1）中求得的解析式，求出y值，作差后即可得出答案．
k
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y= (k≠0)，
x
∵该函数关系的图象经过点(30,40)，
k
∴40= ，
30
∴k=1200，
1200
∴y与x之间的函数表达式为y= ；
x
1200
（2）解：当x=30时，y= =40，
30
1200
当x=24时，y= =50，
24
∵50−40=10，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前10天完成此项工程．
2.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石
方的任务．
(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②若0<t≤80时，求y的取值范围．(2)若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡
车运输？
106
【答案】(1)①y= ；②y≥12500
t
(2)125辆
【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可；
（2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可；
106
【详解】（1）解：①由题意得：y= ，
t
106
②∵函数y= 在0<t≤80上递减，
t
106
∴当x=80时，函数值最小，此时y= =12500，
80
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，
∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键．
【题型五】反比例函数与行程问题应用
◇典例5：
元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行
驶时间为1.5h．设小汽车行驶的平均速度为vkm/h，行驶的时间为 t h．
(1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)；
(2)若这条公路限速为120km/h，李老师需要不超过2.5h从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平
均速度ν的取值范围．
150
【答案】(1)v=
t
(2)李老师从乙地返回甲地的平均速度v的取值范围是60≤v≤120
【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解．
（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）将t=2.5代入v关于t的函数表达式，再结合题意即可得小汽车行驶的速度范围．
【详解】（1）解：由题意可得从甲地到乙地路程为：100×1.5=150(km)，
150
∴v与t的关系式为：v= ；
t150
（2）解：在v= 中，
t
150
令t=2.5，v= =60km/h，
2.5
∵150>0，当t>0时，v随t的增大而减小，
∴v≥60，
又∵此公路限速120km/h，
∴60≤v≤120
答：李老师从乙地返回甲地的平均速度v的取值范围是60≤v≤120．
◆变式训练
1.去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息
技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其
最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它
的最快移动速度v =6m/s；求其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度．
【答案】其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据待定系数法求出反比例函数解析式，代入数据即可求解，掌
握反比例函数的应用是解题的关键．
k
【详解】解：反比例函数的解析式为v= ，
m
∵该机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=vm=60×6=360，
360
∴v= ，
m
360
当m=90时，v= =4，
90
∴其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s，
答：其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s．
2.元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为88km/h时，行驶时间
为2h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若小汽车匀速行驶的速度为55km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
176
【答案】(1)v=
t(2)3.2h
【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解．
（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）把v=55km/h代入（1）中的函数关系式中求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：vt=88×2=176，
176
所以v与t的关系式为：v= ；
t
176
（2）解：当v=55km/h时，t= =3.2h．
55
答：小汽车速度为55km/h时，从乙地到甲地需要3.2h．
【题型六】反比例函数与物理问题应用
◇典例6：
F
在物理中，压强p(Pa)，压力F(N)，受力面积S(m2)满足公式p= ．
S
(1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号）
(2)已知一块比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
【答案】(1)①③
(2)这块薄木板的面积至少0.06m2．
【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键．
（1）根据函数解析式即可判断求解；
F
（2）①把F=600N，S=0.03m2代入p= 计算即可求解；
S
F
②把p=10000Pa，F=600N代入p= 计算即可求解；
S【详解】（1）解：当F为定值时，p是S的反比例函数，故①正确；
当p为定值时，F=pS，F是S的正比例函数，故②错误；
当S为定值时，p是F的正比例函数，故③正确；
正确的有①③，
∴故答案为：①③；
F
（2）解：把F=600N，S=0.03m2代入p=
S
600
得，p= =20000pa，
0.03
20000>10000，
∵小明不能安全地站在这块冰面上；
∴ F 600
②把p=10000N，F=600N代入p= 得，10000= ，
S S
解得S=0.06m2，
这块薄木板的面积至少0.06m2．
◆变式训练
∴
1.在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成
U
反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为(10,4)，则电源电压U为（提示：I= ）（ ）
R
A．10 V B．20 V C．30 V D．40 V
【答案】D
U
【分析】本题主要考查反比例函数的解析式．将点P(10,4)代入I= 即可得到答案．
R
U
【详解】解：将P(10,4)代入I= 得，
R
∴U=10×4=40．
故选：D．
2.数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关
系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3<V<9，求密度ρ的变化范围．
9.9
【答案】(1)ρ= （V>0）
V
(2)1.1<ρ<3.3
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
k
（1）设密度ρ的关于体积V的函数解析式为ρ= (k≠0)，将A(5,1.98)代入，即可解答；
V
（2）将V=3和V=9代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答，
k
【详解】（1）解：设密度ρ的关于体积V的函数解析式为ρ= (k≠0)
V
∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，
k
∴1.98= ，
5
∴k=9.9，
9.9
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ= (V>0)；
V
9.9 9.9
（2）解：当ρ=3时，代入ρ= ，可得3= ，
V V
解得：V=3.3．
9.9 9.9
当ρ=9时，代入ρ= ，可得9= ，
V V
解得：V=1.1．
∴当3<V<9时，密度ρ的变化范围为1.1<ρ<3.3．真题在线
一、单选题
1．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，
则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴ ，
∴ ，
当 时， ，故A不符合题意；
当 时， ，故B不符合题意；
∵ ，
∴当 时，x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起
来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点O的右侧用
一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单
位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图
象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 代入数据求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，函数为反比例函数，
当 时， ，
即 函数图象经过点 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
3．（2023·青海·中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓
度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是 时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
【答案】C
【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项．
【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是 时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标 ， ，因为 ，所以心率与酒精浓度不是反比例函数
关系，故D错误．
故选∶ C．
【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判
断是否为反比例函数是解题的关键．
4．（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间
t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有： ，
所以 ，
故 与 之间是反比例函数，其图象在第一象限．
故选：D．
5．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位：
）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻 大于 时，电流 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，
可得该反比函数解析式为 ，再结合在第一象限 随 的增大而减小可得答案．
【详解】解：设该反比函数解析式为 ，
由题意可知，当 时， ，
，
解得： ，
该反比函数解析式为 ，
∴在第一象限 随 的增大而减小；
当 时， ，
∴电流可以为 ，
故选：A．
6．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的直角边 在 轴上， 、 分别与反比例函数 的图象相交于点 ，且 为 的中点，过点 作
轴的垂线，垂足为 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比
例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设 ，可证明 ，则 ， ，那么 ，再由
，即可求解．
【详解】解：设 ，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图， 为矩形 （边 ， 分别在 ， 轴的正半轴上）对角线
上的点，且 ，经过点 的反比例函数 的图象分别与 ， 相交于点 ， ，连接
， ， ，若 的面积是24，则 的面积为（ ）
A．25 B．26 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为 ，点C的坐标为 ，得到点D，
E，F的坐标，然后求出 和 的长，然后根据三角形面积公式求出 的值，再根据
解答即可．
【详解】解：设A点坐标为 ，点C的坐标为 ，
则点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，
又∵点D在反比例函数 的图象上，
∴ ，
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴点F的坐标为 ，点E的坐标为 ，∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴
，
故选：D．
8．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形 与 （其中边 ， 分别在 ， 轴的正
半轴上）的公共顶点 在反比例函数 的图象上，直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．若这两
个正方形的面积之和是 ，且 ．则 的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上
点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设
，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，
再利用 求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
【详解】解：设 ，由题意得： ．
∵正方形 与 （其中边 分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数
的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ．
故选：C
二、填空题
9．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的
压强 是气球体积 的反比例函数．当 时， ．则当 时，
Pa．
【答案】16000
【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为
，再代入数值求出 ，然后把 代入 ，进行求解计算，即可作答．
【详解】解：∵气球内气体的压强 是气球体积 的反比例函数．
∴设这个反比例函数的解析式为 ，
把 时， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
故答案为： ．
10．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的 ， ， 三个面的面积比是5：3：1．如果 面向下放
在地上，地面所受压强为 ，那么 面向下放在地上时，地面所受压强为 ．【答案】
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系．
根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可．
【详解】解：设这块砖的质量为 ，与地面的接触面积为 ，地面所受压强为 ，
则 （定值），
即 与 成反比例关系，
∵ ，
∴ ，
∵ 面向下放在地上，地面所受压强为 ，
∴ 面向下放在地上时，地面所受压强为 ，
故答案为： ．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率 （单位： ）为定值，行驶速度 （单位：
）与所受阻力 （单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率
．
【答案】20
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数
的解析式即可．
【详解】解：设功率为 ，由题可知 ，即 ，
将 ， 代入解得 ，
故答案为： ．
12．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 的图象交
于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的 和 ．当 ， 分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接 ， ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 ）
【答案】 /
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特
征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得 ，根据题意得到 ，则A点的
纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得 ，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限
中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．
【详解】解：当 ， 分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴ 轴， 轴，
∵半径为1，
∴ ，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 ，求得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴第一象限中阴影的面积 ，
同理，第三象限中阴影的面积 ，
∴ ．故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 的古代汲水工具（如图
①），有一横杆固定于桔槔上 点，并可绕 点转动．在横杆 处连接一竹竿，在横杆 处固定 的
物体，且 ．若图中人物竖直向下施加的拉力为 ，当改变点 与点 的距离 时，横杆始终处于
水平状态，小星发现 与 有一定的关系，记录了拉力的大小 与 的变化，如下表：
点 与点 的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中 的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画 与 之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，
描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当 的长增大时，拉力 是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)100
(2)见解析(3)当 的长增大时，拉力 减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的
关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出 是 的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点 与点 的距离 与拉力F的乘积不变，
∴ ；
（2）解： 与 之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可
知，F随l的增大而减小，所以当 的长增大时，拉力 减小．
14．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形 ，点 在 轴上，反比例函数 的图象经
过菱形的顶点 ，连接 ， 与反比例函数图象交于点 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线 的解析式和点 的坐标．【答案】(1) ；
(2) ， ．
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）由 得 ，又四边形 是菱形，则 ，得到 ，从而求出直
线 的解析式为 ，然后联立 ，即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，
∴
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是反比例函数与正比例函数的交点，∴联立解析式 ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ．
15．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 中，其中含 角的
三角板 的直角边 落在 轴上，含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函数
的图象经过点 ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板 绕点 顺时针旋转 边上的点 恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把 的坐标为 代入反比例函数 即可得到答案；
（2）求解 ，证明 ，求解 ，如图，连接 ， 旋转
到 的位置；可得 ，结合 的对应点 在 的图象上，可得 ，进一步求解即可.【详解】（1）解：∵含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函数 的图象
经过点 ．
∴ ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵含 角的三角板 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
如图，连接 ， 旋转到 的位置；
∴ ，
∵ 的对应点 在 的图象上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解
题意是解本题的关键.
专项练习
一、单选题1．已知近视眼镜的度数 （度）是镜片焦距 （米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是 度时，镜
片的焦距为 米，那么近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设 ，根据已知 度的近视眼镜镜片的焦距是
米，求出 的值即可．
【详解】解：设 ，
∵ 度的近视眼镜镜片的焦距是 米，
∴ ，
解得： ，
∴y与x之间的函数表达式是： ，
故选A．
2．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷
将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果
的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力 （在
地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定
除尘能力 超过 即为及格．则下列说法正确的是（ ）
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．除尘能力与滚刷的滚速成正比
C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力 的数值越大，表示除尘能力越强
【答案】D【分析】本题考查了反比例函数图象的识别，熟练掌握反比例函数图象上越来越靠近坐标轴是关键．根据
题意和图象，分别分析判断各选项正误即可．
【详解】解：A：反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意；
B：随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，但成正比例是一条直线，而图中是一条曲线，故说
法错误，不符合题意；
C：当滚速为1300转／分时，除尘能力为35.5%，不及格，故说法错误，不符合题意；
D：除尘能力 为减少的灰占所撒的灰总质量的比，故数值越大，表示除尘能力越强，说法正确，符合题
意，
故选：D．
3．密度计浸在液体中的深度 是液体的密度 的反比例函数，图象如图所示．下列结
论：
结论一：当 时， ；
结论二：当 时， ．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确
【答案】B
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可设 ，把 ， 代入解析式，进而结合函数
图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ，
把 ， 代入解析式，得 ．
关于 的函数解析式为 ．
结论一． 当液体密度 时，浸在液体中的高度 ，故该结论不正确，结论二．当 ， ，故当浸在液体中的高度 时，液体的密度
，故结论二正确，
故选：B．
4．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流 与电阻 之间的函数关系
如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 的函数解析式是
B．当 时，
C． 随 的增大而增大
D．当 时， 的取值范围是
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设 与 的函数关系式为： ，
该图像经过点 ，
，
，
与 的函数关系式是 ，故选项A不符合题意；
当 时， ，解得 ，故选项B不符合题意；
， 随 的增大而减小，故选项C不符合题意；当 时， ，当 时， ，
当 时， 的取值范围是 ，故选项D符合题意；
故选：D．
5．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为 千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱
内部温度 与时间 （分钟 ）如图所示：通过观察发现：当内部温度为 时，冰箱运行，当温
度下降到 时，停止运行．温度上升到 时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是
（ ）
A．当 时， 是 的一次函数
B．当 时， 是 的反比例函数
C．
D．该冰箱每天耗电至少超过1度
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系
式．
利用待定系数法求出 和 时的解析式，可判断A，B；再把 代入 时的解析
式，可判定C；根据“冰箱每天耗电量（度） 耗电功率（千瓦） 每天运行时间（小时）”可判断D．
【详解】解：设当 时， 关于 的函数表达式为 ，
把点 ， 代入得： ，
解得： ，
∴当 时， 是 的一次函数 ，故A选项正确，不符合题意；设 关于 的函数表达式为 ，
将 代入 得， ，
∴ 时， 是 的反比例函数 ，故B选项正确，不符合题意．
当 时， ，
解得 ，
，故C选项正确，不符合题意；
每天的耗电量 度 度，
该冰箱每天耗电低于1度，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
6．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为 万元，前期付款4000元，后期每个月
分期付相等数额，则每个月的付款额 （元）与付款月数 （ 取正整数）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键．
由题意，后期分期付款总额为售价减前期付款，即 元，每月付款额y与月数x满足反比
例关系 ，即可解答．
【详解】解：∵电脑售价为12000元，前期付款4000元，
∴后期分期付款总额为 元．
∵后期每月付款额相等，分x个月付清，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
7．实验数据显示，一般成人喝 毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量 （毫克/百毫升）与时间
（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线 组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中
的酒精含量大于 （毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 在家喝完 毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是
解题的关键．
首先求得线段 所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把 代
入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】解：设直线 的解析式为 ，
直线 过 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
设双曲线的解析式为 ，
将点 代入得： ，
；
当 时， ，
从晚上 经过9小时到第二天早上 ，即可以上班．
故选B．8．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课
时间x（ ）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第 时注意力指数为40，前 内
注意力指数y是时间x的一次函数． 以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学
题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的
变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过
的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即
可得到答案．
【详解】解：当 时，设
将 ， 两点代入得 ，
解得 ，
于是 ，
当 时， ，
当 时，设 ，将 代入得： ，
于是 ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．故选：C．
9．如图， ， 两点在反比例函数 的图象上，分别过 ， 两点向坐标轴作垂线段．若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【分析】设阴影部分的面积为 ，根据 ，得 ，继而得到
，结合 解答即可．
本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键．
【详解】解：设阴影部分的面积为 ，根据 ，得 ，故 ，
又 ，
故 ；
解得 ，
故选：A．
10．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 ，加热到 ，停止加热，水温开始下降．
此时水温 （ ）与通电时间 （ ）成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热，若水温
在 时接通电源，水温 与通电时间 之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A．水温从 加热到 ，需要
B．水温下降过程中， 与 的函数关系式是
C．上午 点接通电源，可以保证当天 能喝到不超过 的水
D．水温不低于 的时间为
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算
是解题的关键．
先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项．
【详解】解：∵水温从 加热到 ，升温幅度为 ，加热速度是每分钟
∴所需时间为 ，故 项错误．
∵加热到 时，用时 ，即此时 ，降温阶段 与 成反比例，
∴设 ，代入得 ，解得 ，即 ，故 项错误．
上午 点接通电源， 距离接通电源的时间为 ．
当 时，代入 ，得 ，即 后水温降至 ，然后饮水机再次加热 后，水温再
次升到 ， ，
当 时， ，故上午 点接通电源，可以保证当天 不能喝到不超过 的水，
故 项错误．
加热阶段：水温从 到 ，当 时， ，解得 ，加热阶段满足 的时间是
．
降温阶段：代入 到 ，得 ，降温阶段满足 的时间是 ．
∴总时间为 ，故 项正确．故选： ．
二、填空题
11．某班列车从甲地驶往乙地，行驶完全程所需时间 （单位： ）是行驶的平均速度 （单位： ）
的反比例函数，其图象如图所示，则t关于v的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式．
设t关于v的函数关系式为 ，直接将 代入计算即可．
【详解】解：设t关于v的函数关系式为 ，
由图可知 在反比例函数图象上，
即 ，
解得： ，
即 ．
故答案为： ．
12．在对物体做功一定的情况下，力 与物体在力的方向上移动的距离 成反比例函数关系．点
在此函数图象上，当力达到 时，物体在力的方向上移动的距离是
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，由反比例函数关系，设 ，将点 代入求 ，再令
求解 即可．【详解】设力 与距离 的反比例函数关系为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
故函数表达式为 ，
当 时， ，解得 ，
故答案为：1.5．
13．一种摄影感光材料的曝光量（y）（单位：勒克斯·秒）与光圈值（x）（单位：f）成反比例，其函数
图象如图所示．拍摄时光圈从 调整到 ，则曝光量减少了 勒克斯・秒．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数解析式的运算是解题的关键．
求出反比例函数后，代入 和 运算后，利用减法求解即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为： ，
把 ， 代入 可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴把 代入 可得： ，
把 代入 可得： ，
∴曝光量减少了 勒克斯・秒．，
故答案为： ．
14．已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函
数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式 ，求得 时， ，再利用
反比例函数的增减性质，可求得答案．
【详解】解：设 ，代入 ，
，
，
，
I随 的增大而减小，
当 时， ，
其限制电流不能超过 ，那么用电器可变电阻 应控制的范围是 ，
故答案为： ．
15．在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系．当 时，
．则电流I与电阻R之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数关系，设 ，代入 时，
，求k．
【详解】解：由题意，电流I与电阻R之间的函数表达式为 ，当 时， ，代入得 ，
解得 ，
因此 ，
故答案为： ．
16．如图， 和 均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 上，若图中 ，
则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数 的几何意义，求得 是解题
的关键．先根据 和 均为正三角形可知 ，故可得出 ，所以
，故 ，过点 作 于点 ，由反比例函数系数 的几何意义即可得
出结论．
【详解】解：如图：
和 均为正三角形，
，
，
，，
过点 作 于点 ，
则 ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
17．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电
流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值 ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻 、
之间关系为 ，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
(1) ___________， ___________；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数 的图象
与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象．
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是___________．
(3)【拓展】根据（2）中函数图象，可考虑利用“数形结合”进行分析，当 时， 的解
集为___________．【答案】(1)2；
(2)①见解析；②逐渐减小
(3) 或
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）作函数 的图象，根据图象，即可求解，
本题考查反比例函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的
图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
【详解】（1）解：由题意， ，
当 时，由 得 ，
当 时， ，
故答案为：2， ；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数 的图象如图：
②由图象可知，随着自变量 的不断增大，函数值 逐渐减小，
故答案为：逐渐减小；
（3）解：作函数 的图象，由函数图象可知，当 或 时， ，
∴即 ，解集为： 或 ，
故答案为： 或 ．
18．学校电扇开关为可调节旋钮，其原理是当电压恒定时，通过滑动变阻器控制电流变化，从而改变电扇
的转速．电扇的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，图像如图所示．
(1)当电流为 时，滑动变阻器的电阻是多少？
(2)若该电扇工作的最小电流为 ，最大电流为 ，求滑动变阻器的电阻R的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）设I关于R的函数解析式为 ，利用待定系数法可求得函数解析式，求出 ,时，电阻R的
值即可；
（2）先求出最大电流和最小电流对应的电阻的值，即可滑动变阻器的电阻R的取值范围．
【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为 ，
将 代入函数解析式可得 ，解得： ，∴I关于R的函数解析式为 ；
当 时， ，解得： .
（2）解：当 时， ，此时 ;
当 时， ，此时 ，
∴该电扇的电阻R的取值范围为 ．
19．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示．
3 4 5 6 7 8 9 10
12 9 4.5 4 3.6
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)把表补充完整：
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)用电器可变电阻应控制在不小于 的范围内
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知
识解决实际问题．
（1）根据反比例函数定义列解析式 ，选取一组数据代入求出 值即可；
（2）根据自变量 的值，求 的值即可；
（3）根据电流不超过10A，列不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设反比例函数为 ，
将 代入得： ，
；
故答案为：
（2）解： ，
补充表如下：
3 4 5 6 7 8 9 10
12 9 7.2 6 4.5 4 3.6
（3） ，
，
解得： ，
故用电器可变电阻应控制在不小于 的范围内．
20．某日上午 晨光中学的饮水机开机水温为 ，加热时水温每分钟上升 ，加热到 停止加
热；随后水温开始下降，水温 是时间 的反比例函数，当水温降至 时饮水机自动开启加热
模式，重复上述程序，水温 与时间 之间的函数关系如图所示．
(1)当 时，求水温 关于时间 的函数表达式；
(2)试判断小明 到学校能喝到 以上的水吗？请说明理由．【答案】(1)
(2)能，理由见详解
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，
解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题．
（1）依题得开始加热时每分钟上升 ，则水温从 加热到 所需时间用热量差 每分钟加热的温
度可得加热时间为8分钟，进而得到，点 在反比例函数 的图象上，代入即可求得k值，从而
得到反比例函数解析式；
（2）先求出水温从 加热到 ，所需时间为 ，故当水温再次降到 时，此时时间是
，结合小明 到学校，以及加热时每分钟上升 ，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解： 某日上午 晨光中学的饮水机开机水温为 ，加热时水温每分钟上升 ，加
热到 停止加热；
∴
水温从 加热到 ，所需时间为 ，
设在 时，y与x的函数关系式为 ，
则点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
设在 时，y与x的反比例函数关系式为 ，
由题意得，点 在反比例函数 的图象上，
，解得： ，
；
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
y与x的函数关系式是
故
（2）解：能，理由如下：
由（1）得水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ；
则 ，
∴水温从 加热到 ，所需时间为 ，
∴ ，
则 ，
当水温再次降到 时，此时时间是 ，
∴
即小明 到学校能喝到 以上的水．
21．综合与实践
随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流
（单位： ）与电阻 （单位： ）成反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求反比例函数的解析式；
(2)若使用该蓄电池时测得电阻 为 ，则电流 为_____ ；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)2
(3)用电器可变电阻应控制在 以上的范围内
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解
决实际问题．
（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设 ，将点 ，利用待定系数法即可求出这个反比例函
数的解析式．
（2）根据反比例函数关系式即可求解；
（3）根据题意可得出 ，解不等式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）解：∵电流 与电阻 成反比例函数关系，
设反比例函数的解析式为 ，
∵图象经过 ，
∴ ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
（2）当 时， ，
∴电流 为 ．故答案为：2．
（3）当 时， ，
解得 ，
答：该用电器的可变电阻应控制在 以上的范围内．
