文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题4 等腰三角形的性质与判定
知识梳理
【考点一】 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
【考点二】等腰三角形的判定
1.判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
2.拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为
在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和
“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【考点三】 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
3.拓展：
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．【考点四】 等边三角形的判定
1.判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例题讲解
【题型一】等腰三角形的定义
◇典例1：
已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一
个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接
方式：沿直角边3或4拼接，形成底边为6或8的等腰三角形，两腰均为斜边5；或者沿斜边5拼接，但此时
无法形成三角形．根据分析求出周长即可．
【详解】解：①沿直角边3拼接：将两个直角边3重合，形成底边为4+4=8，两腰为斜边5的等腰三角形．
周长=5+5+8=18．
②沿直角边4拼接：将两个直角边4重合，形成底边为3+3=6，两腰为斜边5的等腰三角形．周长
=5+5+6=16．
③沿斜边5拼接，但此时无法形成三角形．
综上，等腰三角形的周长为16或18，
故选：C．
◆变式训练
1.若方程组¿的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求
解方程组．
先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长．
【详解】解：方程组¿，解得：¿，
∵方程组¿的解恰为等腰三角形的两边长，
∴当腰长为2时，三边长为2，2，4，2+2=4，不能构成三角形；
当腰长为4时，
三边长为4，4，2，4+2=6>4，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为4+4+2=10，
故答案为：10．
2.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足(a−b)−c(b−a)=0，则△ABC的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将
(a−b)−c(b−a)=0变形为(a−b)(1+c)=0，根据三角形的边长为正数，得出a−b=0，即可得出a=b，
可得答案．
【详解】解：∵ (a−b)−c(b−a)=0，
∴(a−b)+c(a−b)=0，
∴(a−b)(1+c)=0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴1+c>0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴ △ABC的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【题型二】等边对等角
◇典例2：
如图，点E, F在BC上，BE=CF,∠BED=∠AFC,∠B=∠C．
(1)求证：△ABF ≌ △DCE；
(2)若∠AFB=42°,∠D=58°, AB=AE，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)58°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识．（1）利用AAS证明三角形全等即可．
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠DEC=∠AFB=42°，∠B=∠C=80°，再根据等
边对等角得出∠AEB=∠B=80°，最后根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
∵∠BED=∠AFC，∠BED=∠C+∠D，∠AFC=∠B+∠BAF，∠B=∠C，
∴∠BAF=∠D，
∴△ABF≌△DCE(AAS)．
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∴∠DEC=∠AFB=42°，
又∠D=58°，
∴∠B=∠C=180°−∠D−∠DEC=80°
又∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B=80°，
∴∠AED=180°−∠AEB−∠DEC=58°．
◆变式训练
1.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转42°得到△ADE，点C恰好落在DE上，则∠BCD的度数为
．
【答案】42°/42度
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得
∠CAE=42°，AC=AE，∠ACB=∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠ACE=∠E，由三角形内角
和定理求解即可．
【详解】解：由旋转得∠CAE=42°，AC=AE，∠ACB=∠E，
1 1
∴ ∠ACE=∠E= (180°−∠CAE)= ×(180°−42°)=69°，
2 2
∴ ∠ACB=∠E=69°，∴ ∠BCD=180°−∠ACB−∠ACE=180°−69°−69°=42°，
故答案为：42°．
2.如图，钢架中，∠A=α，焊上等长的钢条P P ，P P ，P P ，P P …来加固钢架．若P A=P P
1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 2
，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是 ．
【答案】18°≤α<22.5°
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组，以及三角形的外角性质，掌握以上知识点是
解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P P P 与∠A之间的关
3 5 4
系，从而不难求解．
【详解】解：∵AP =P P ，P P =P P ，P P =P P ，P P =P P ，
1 1 2 1 2 2 3 3 4 2 3 3 4 4 5
∴∠A=∠P P A，∠P P P =∠P P P ，∠P P P =∠P P P ，∠P P P =∠P P P ，
1 2 2 1 3 2 3 1 3 2 4 3 4 2 4 3 5 4 5 3
∴∠P P P =4∠A=4α，
3 5 4
∵要使得这样的钢条恰好焊上4根，
∴∠P P B=5α，
5 4
由题意得：¿，
∴18°≤α<22.5°，
故答案为：18°≤α<22.5°．
【题型三】三线合一
◇典例3：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列结
论：（1）BD=DC；（2）∠BAD=∠CAD；（3）AD⊥BC；（4）DE=DF，其中正确的个数有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的
性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）．
【详解】解： AB=AC，AD平分∠BAC，
BD=DC，∠∵ BAD=∠CAD，AD⊥BC，
∴故（1）（2）（3）正确，
AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
∴故（4）正确，
综上，一共有4个正确，
故选：D
◆变式训练
1.如图，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为 ．
【答案】55°/55度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点．
先求出∠OCA=110°，再根据线段垂直平分线的性质可得OC=AC,CD⊥OA，然后根据等腰三角形的
三线合一即可得．
【详解】解：∵∠ACB=70°，
∴∠OCA=110°，
∵CD是OA的垂直平分线，
∴OC=AC,CD⊥OA，
1
∴∠ACD= ∠OCA=55°，
2
故答案为：55°．
2.补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使
得CE=AE．若∠B=55°，求∠ECD的度数．解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ ① =∠B=55°，（等腰三角形两底角相等）
∵点D为BC边的中点
∴AD⊥BC（②）
∴∠ADC=90°
∴∠CAD=90°−∠ACB= ③ °
∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAD=35°（④）
∴∠ECD=∠ACB−∠ACE= ⑤ °
【答案】①ACB；②三线合一定理；③35；④等腰三角形两底角相等；⑤20
【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，根据三线合一定理，等边对等角和已给推论过程求
解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=55°，（等腰三角形两底角相等）
∵点D为BC边的中点
∴AD⊥BC（三线合一定理）
∴∠ADC=90°
∴∠CAD=90°−∠ACB=35°
∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAD=35°（等腰三角形两底角相等）
∴∠ECD=∠ACB−∠ACE=20°．
【题型四】等角对等边
◇典例4：
如图，△ABC的周长为27，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交
AC于点E，若BC=8，BF=6，CF=4，那么△ADE的周长是（ ）A．18 B．19 C．21 D．23
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义
可得∠DBF=∠FBC，由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，则∠DBF=∠DFB，所以BD=DF，同
理CE=EF，然后由△ABC的周长，BC=8，可得AB+AC=27−8=19，最后由△ADE的周长
=AB+AC即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=DF，
同理：CE=EF，
∵△ABC的周长=AC+AB+BC=27，BC=8，
∴AB+AC=27−8=19，
∵△ADE的周长为=AD+DE+AE
=AD+DF+FE+AE
=AD+BD+EC+AE
=AB+AC
=19，
∴△ADE的周长是19，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，△ABC中，∠A=∠BCA，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置（使点B与点C重合，点
B、C、E在一条直线上），连接BD，求证：BC=CD．【答案】见解析
【分析】本题考查了平移的性质证明，等角对等边，根据平移性质得到AB=CD，根据等角对等边得到
AB=BC，进而得到结论．
【详解】解：∵△ABC将沿直线BC平移到△DCE，
∴AB=CD，
∵∠A=∠BCA，
∴AB=BC，
∴BC=CD．
2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点
记为点E，若AC=8，AB=5，则BD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折
叠的性质可得AE=AB=5,DE=BD,∠AED=∠B，从而可得CE=3，再根据等腰三角形的判定可得
DE=CE=3，由此即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：AE=AB=5,DE=BD,∠AED=∠B，
∵AC=8，
∴CE=AC−AE=3，
∵∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
又∵∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE=3，
∴BD=3，
故答案为：3．【题型五】 找出图中的等腰三角形
◇典例5：
如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两
个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键．
根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的
等腰三角形．
故选：B．
◆变式训练
1.如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角
和定理求解即可．
【详解】解：∵∠EBC=∠ECB=36°，
∴△EBC是等腰三角形，∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=108°，
∴ ∠AEB=∠DEC=180°−108°=72°，
∴∠AEB=∠A，∠CED=∠D，
∴△ABE、△CED是等腰三角形，∵∠ABC=180°−∠ACB−∠A=180°−72°−36°=72°，
∠BCD=180°−∠DBC−∠D=180°−72°−36°=72°，
∴∠A=∠ABC，∠D=∠BCD，
∴△ABC、△BCD是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
2.如图，四边形ABCD沿对角线AC对折后重合，连接BD交AC于点E，若AB∥CD，则图中等腰三角形
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三
角形；
【详解】解：由对折后重合得，AD=AB，CD=CB，
∠DAC=∠BAC，∠BCA=∠DCA，
∴△ADB和△BCD为等腰三角形，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，∠BCA=∠BAC，
∴AD=CD，BA=BC，
∴△ADC和△ABC为等腰三角形，
因此共有4个等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键．
【题型六】格点中画等腰三角形
◇典例6：
如图的正方形网格中，像点A、点B这样网格线的交点称为格点．以AB为边的等腰三角形ABC的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分AB为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义
是解题的关键．
【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：
①当AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有6个：C 、C 、C 、C 、C 、C ；
1 2 3 4 5 6
②当AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个：C 、C 、C 、C ；
7 8 9 10
∴点C的个数是6+4=10个，
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在3×3正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点A、B在格点上，若点P也在格点上，并
使得以点A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点P有 个．
【答案】6
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角三角形
ABP的底边；②AB为等腰直角三角形ABP的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点P的
个数，然后相加即可得到答案．
【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰直角三角形ABP的底边时，符合条件的P点有2个；
②AB为等腰直角三角形ABP的一条腰时，符合条件的P点有4个．
所以使得△ABP为等腰直角三角形的点P有6个．
2.如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4方格纸中，找出格点P使
△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图，
由图得满足条件的格点P有5个，
故选：C．
【题型七】直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形
◇典例7：
Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得 PAB是等腰三角形，则符合条件的点P
有△ 个． △
【答案】4
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操
作能力．
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD的边上找到一点P，使得△AEP为等腰三角形，请画出所有的点P．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点．
【详解】解：如图，
AE=PE，AP=AE，AP=EP，AE=EP，AP=EP，
1 2 3 3 4 5 5
则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
2.如图，点O在直线l上，点A在直线l外.若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P
位置有 个.
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P 、P ，
1 2
此时OA=OP =OP ，△AP O和△AP O为等腰三角形，
1 2 1 2
②以A为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P ，
3
此时OA=OP ，△AP O为等腰三角形，
2 3
③作OA的垂直平分线，与与直线l交于点P ，
4
此时OP =AP ，△AP O为等腰三角形，
4 4 4
即满足条件的点P位置有4个，
故答案为：4．
【题型八】求与图形中任两点构成等腰三角形的点
◇典例8：
如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点
中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角
形的情况，得到满足条件的点P的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内
角和定理．
【详解】解：如图，
∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=180°−75°−30°=75°，1
当∠CAP=∠CPA= ×75°=37.5°时，△CAP为等腰三角形；
2
1
当∠BAP=∠BPA= ×(180°−75°)=52.5°时，△BAP为等腰三角形；
2
当∠PAB=∠PBA=75°时，△PAB为等腰三角形；
当P与C重合时，△ABP为等腰三角形；
当P与B重合时，△ACP为等腰三角形；
当∠PAC=∠PCA=75°时，△PAC为等腰三角形；
1
当∠CAP=∠CPA= ×(180°−75°)=52.5°时，△CAP为等腰三角形；
2
当∠BAP=∠BPA=37.5°时，△BAP为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有8个．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，∠B=25°,∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形
时，其顶角的度数是 ．
【答案】100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．故答案为：100°或55°或70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
2.如图，∠AOB=60°，C是OB延长线上一点，若OC=18cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度
移动，动点Q从点O沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=
s时，△POQ是等腰三角形？
【答案】6或18
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解
即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足
因此有18−2t=t
解得t=6(s)
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵∠AOB=60°
∴ΔPOQ也是等边三角形
因此有2t−18=t
解得t=18(s)
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形
故答案为：6或18．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【题型九】根据等边三角形的性质求长度
◇典例9：如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE=2，AE=8，则
CE的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关
键．
由等边三角形的性质证明△ACD≌△BCE(SAS)，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，
∠ACB−∠DCB=∠ECD−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
¿，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE=2，
∵AE=8，
∴DE=AE−AD=8−2=6，
∴CE=DE=6，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，等边△ABC的边长为2，点D、E分别在边AB、BC上（不与△ABC的顶点重合），将△BDE沿
DE翻折，点B落在点F处，则三个阴影三角形的周长和为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键．
由折叠的性质可得BD=FD,BE=FE，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边△ABC的三边之和，即
可解答．
【详解】解：∵由折叠的性质可得：BD=FD,BE=FE，
∴三个阴影三角形的周长和为：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD+CE，
∵AB=AD+BD，BC=BE+CE，
∴三个阴影三角形的周长和=AC+AB+BC=2+2+2=6，
故选：B．
2.如图，在△ACD中，B为CD边上一点，连接AB，△ABC恰为等边三角形，∠D=∠DAB,AB=7，则
CD的长度为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出BC=7，然后根
据等角对等边得出AB=DB=7，即可求解．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=7，
∴BC=AB=7，
∵∠D=∠DAB，
∴AB=DB=7，
∴CD=DB+BC=14，
故答案为∶14．【题型十】根据等边三角形的性质求角度
◇典例10：
如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（ ）
A．124° B．122° C．120° D．118°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是
解题关键．先根据等边三角形的性质可得AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=∠ABC=∠BAC=60°
，再证出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠DBC=∠EAC，然后设∠DBC=∠EAC=x
，从而可得∠ABE,∠BAE，最后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACB−∠BCE=∠ECD−∠BCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
¿，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠DBC=∠EAC，
设∠DBC=∠EAC=x，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=60°−x，
∵∠EBD=62°，
∴∠CBE=∠EBD−∠DBC=62°−x，
∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=60°−(62°−x)=x−2°，
∴∠ABE+∠BAE=x−2°+60°−x=58°，
∴∠AEB=180°−(∠ABE+∠BAE)=180°−58°=122°，
故选：B．
◆变式训练
1.已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，连接BE、CD，BE与CD交于点O，AD=CE，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形
是解题关键．根据等边三角形的性质证明△ACD≌△CBE(SAS)，得到∠ACD=∠CBE，再结合三角形
外角的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△ACD和△CBE中，
¿，
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴∠ACD=∠CBE，
∴∠BOD=∠CBE+∠BCO=∠ACD+∠BCO=∠ACB=60°，
故选：B．
2.已知直线AB∥CD，等边△EFG的顶点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H．已知∠1=140°，则
∠2=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．100°
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作FK∥CD，先由平行线的性质得
到∠3=180°−∠1=40°，再判定AB∥FK，由平行线的性质得到∠5=∠4=20°，最后根据平角的性
质即可求解．【详解】解：∵等边△EFG，
∴∠EFG=∠FEG=60°，
作FK∥CD，
∴∠3=180°−∠1=40°，
∴∠4=60°−∠3=20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥FK，
∴∠5=∠4=20°，
∴∠2=180°−∠5−60°=100°，
故选：D．
【题型十一】根据等边三角形的性质证明
◇典例11：
如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得
到AE，直线CE与AB交于点F，过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G．
(1)求证：∠D=∠BAE；
(2)求证：BD=2AF．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得∠ABC=60°，再由∠D+∠BAD=120°，
∠EAD=∠BAD+∠BAE=120°，可得∠D=∠BAE．
（2）先根据AAS证明△AEG≌△DAB，即可得到EG=AB，然后证明△FEG≌△FCA即可得到结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°，
∵∠ABD+∠D+∠BAD=180°，
∴∠D+∠BAD=120°
由旋转的性质得∠EAD=120°
∴∠EAD=∠BAD+∠BAE=120°
∴∠D=∠BAE．
（2）由旋转的性质得AE=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
∵EG∥AC
∴∠G=∠BAC=60°
∴∠G=∠ABD
∵∠EAG=∠D，AE=AD
∴△AEG≌△DAB
∴BD=AG，AB=EG
∵AC=AB
∴AC=EG
∵∠EFG=∠CFA
∴△FEG≌△FCA
∴AF=FG
∴AG=AF+FG=2AF
∴BD=AG=2AF
◆变式训练
1.如图，CD是△ABC的中线，将△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，连接BE．若∠ADC=60°，
AB=8，求BE的长．
【答案】4【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出△BDE
是等边三角形．根据折叠的性质可得AD=DE，∠ADC=∠EDC=60°，根据点D是AB的中点，得出
△BDE是等边三角形，据此即可解得BE的长．
【详解】解：∵CD是△ABC的中线，AB=8，
1 1
∴AD=BD= AB= ×8=4，
2 2
∵△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，
∴AD=DE，∠ADC=∠EDC=60°，
∴DE=DB，
∵∠BDE=180°−∠ADC−∠EDC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD=4．
2.已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分
∠DBC．
(1)求证：△DBE≌△CBE；
(2)求∠BDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质结合题意可得BD=BC，由角平分线的定义可得∠DBE=∠EBC，利用SAS得
出△DBE≌△CBE；
（2）证明△CAE≌△CBE(SSS)，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得
∠ACE=∠BCE=30°，最后再由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，∵BD=AC，
∴BD=BC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∵BE=BE，
∴△DBE≌△CBE(SAS)；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CE=CE，EA=EB，
∴△CAE≌△CBE(SSS)，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCE=30°，
∵△DBE≌△CBE，
∴∠BDE=∠BCE=30°．
【题型十二】证明是等边三角形
◇典例12：
在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE
交DE于点F，连接FC．
(1)如图1，求证：EF=CF；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关
键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，根据题意可推出AE=AC，证明△ACF≌△AEF，即可证明；
（2）由△ACF≌△AEF，结合题意可推出CF=BM，∠ACF=∠ABM，证明△ABM≌△ACF，得到
AM=AF，∠BAM=∠CAF，证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，推出
∠MAF=∠BAC=60°，结合AM=AF，即可证明．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF
∵AB=AC,AB=AE，
∴AE=AC
在△ACF和△AEF中，¿，
∴△ACF≌△AEF(SAS)
∴EF=CF；
（2）如图，在BE上截取BM=EF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF
，
∴EF=CF=BM,∠E=∠ACF=∠ABM
在△ABM和△ACF中，
¿，
∴△ABM≌△ACF(SAS)，
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF
∵AB=AC,∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF
∴△AMF为等边三角形．
◆变式训练
1.如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，AC=BD,CE=DF，若
∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形．【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等
三角形，则∠CEA=∠DFB，故FM=ME，再结合有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作
答．
【详解】解：∵AE=BF，AC=BD,CE=DF，
∴△ACE≌△BDF，
∴∠CEA=∠DFB，
∴FM=ME，
∵∠FME=60°，
∴△MFE是等边三角形．
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于
点F，E，求证：△AEF是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在△ABC中，
∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，又由BE平分∠ABC，
∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可证得∠AFE=∠AEF，继而证得：△AEF为
等边三角形．
【详解】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∵∠CAD=60°，
∴△AEF为等边三角形．
【题型十三】与等边三角形有关的折叠问题
◇典例13：
如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若
AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
【答案】5
【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C
共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5．
【详解】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运
用折叠的性质是本题的关键．
◆变式训练
1.如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D
位置，若此时∠BFD=80°，则∠≝= °．
【答案】70°/70度
【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知
∠A=60°，利用∠BFD=80°，求出∠AFE，从而利用三角形的内角和求出∠AEF，也就是∠≝¿的角
度，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解： ∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
由折叠的性质可知：∠AFE=∠DFE，∠AEF=∠≝¿，
又∵ ∠BFD=80°，
180°−∠BFD
∴∠AFE=∠DFE= =50°，
2
∴∠≝=∠AEF=180°−∠A−∠AFE=70°，
故答案为：70°
2.如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′
处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为 度．【答案】40
【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到∠A=∠B′=∠C=60°，结合∠ADF=80°，根据
三角形内角和定理，对顶角的性质得∠AFD=∠GFB′=40°，根据∠EGC=∠FGB′得
∠GEC=∠GFB′=40°，计算即可．
【详解】∵等边△ABC，△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，
∴∠A=∠B′=∠C=60°，
∵∠ADF=80°，
根据三角形内角和定理，对顶角的性质得
∴∠AFD=∠GFB′=40°，
∵∠EGC=∠FGB′，
∴∠GEC=∠GFB′=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质
是解题的关键．
【题型十四】等边三角形中的动点问题
◇典例14：
如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿
A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为 秒．
【答案】1或3/3或1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，可求得AQ的长，然后∠A=60°，可得△APQ为等边
三角形，分析△APQ为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，
1
∴AQ= AC=2cm，∠A=60°，
2
∴当△APQ是等腰三角形时，可得三角形APQ为等边三角形，
∴AP=AQ=PQ，
∵AQ=2，
∴AP=2，
∵动点P的速度为2cm/秒，
∴当P从A→B时，t=2÷2=1，当P从B→A时，t=(4+2)÷2=3．
故答案为：1或3．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=30°,AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运
动，点E从点C开始以2厘米秒的速度向点B运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，△DEC是
等边三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则AD=tcm，CE=2tcm，则
CD=(6−t)cm，根据等边三角形的性质得到CE=CD，则6−t=2t，解方程即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得，AD=tcm，CE=2tcm，则CD=AC−AD=(6−t)cm
∵△DEC是等边三角形，
∴CE=CD，
∴6−t=2t，
解得t=2，
∴当运动时间为2秒时，△DEC是等边三角形．故答案为：2．
2.如图，等边三角形ABC的边长为2cm，电子蚂蚁P从点A以1cm/秒的速度沿等边三角形的边顺时针运
动，同时电子蚂蚁Q从点A以5cm/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁P和Q第2023次相
遇在 ．
【答案】AC的中点处
【分析】根据题意可得当电子蚂蚁P和Q第1次相遇时，相遇点在AC的中点处，当电子蚂蚁P和Q第2次
相遇时，相遇点在点C处，当电子蚂蚁P和Q第3次相遇时，相遇点在BC的中点处，当电子蚂蚁P和Q第
4次相遇时，相遇点在点B处，当电子蚂蚁P和Q第5次相遇时，相遇点在AB的中点处，当电子蚂蚁P和
Q第6次相遇时，相遇点在点A处，当电子蚂蚁P和Q第7次相遇时，相遇点在AC的中点处，……，由此
可得每六个一循环，即可求解．
【详解】解：根据题意得：每间隔1秒，电子蚂蚁P和Q相遇，
当电子蚂蚁P和Q第1次相遇时，相遇点在AC的中点处，
当电子蚂蚁P和Q第2次相遇时，相遇点在点C处，
当电子蚂蚁P和Q第3次相遇时，相遇点在BC的中点处，
当电子蚂蚁P和Q第4次相遇时，相遇点在点B处，
当电子蚂蚁P和Q第5次相遇时，相遇点在AB的中点处，
当电子蚂蚁P和Q第6次相遇时，相遇点在点A处，
当电子蚂蚁P和Q第7次相遇时，相遇点在AC的中点处，
……，
∴每六个一循环，
∵2023÷6=337⋯1，
∴电子蚂蚁P和Q第2023次相遇在AC的中点处．
故答案为：AC的中点处
【题型十五】等边三角形中的多结论问题
◇典例15：
如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则以下结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④
EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
根据等边三角形的性质可以得出△BDE≌△CFG，得BE=CG,DE=FG，可用AAS得△EDP≌△GFP
，得出PE=PG，根据边之间的关系即可得EP=1，综上，即可得．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，
¿，
∴△DEB≌△FGC(AAS)，
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
¿，
∴△DEP≌△FGP(AAS)，故②正确；
∴EP=PG，
∠EDP不一定等于60°，当PD⊥AB时，∠EDP=60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1．故④正确．
正确的有①②④，
故选：D．◆变式训练
1.已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①
∠APE=∠C，②BQ=AQ，③BP=2PQ，④BA=AE+BD，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证
明△ABE≅△CAD，再根据全等三角形的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠ACB=60°，
∵AE=CD，
∴△ABE≅△CAD，
∴∠ABE=∠DAC，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C，①正确；
∴∠APE=∠BPQ=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ，③正确；
∵AB=BC，AE=CD，
∴BA=AE+BD，④正确；
只有当∠BAQ=45°时，BQ=AQ，②不一定正确；
故选：C．
2.如图，对于△ABC，若存在点D, E, F分别在AB, BC, AC上，使得∠1=∠2,∠3=∠4, ∠5=∠6
，则称△≝¿为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若△ABC的“反射三角
形”存在，则△ABC必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的
“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是
．【答案】①②④
【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三
角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据
反射三角形的定义及三角形内角和定理求出∠1=∠2=∠C，∠3=∠4=∠B，∠5=∠6=∠A，再逐
个判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6，
∴∠3=∠4=180°−∠A−∠1
∴∠5=∠6=180°−∠B−∠1
∵∠4+∠5+∠C=180°
∴180°−∠B−∠1+180°−∠A−∠1+∠C=180°
∴∠C=∠1=∠2
∴∠3=∠4=180°−∠A−∠C=∠B
∴∠5=∠6=180°−∠B−∠C=∠A
∵∠5+∠6+∠≝=180°
∴∠≝=180°−2∠A
当∠A≥90°时，∠≝=180°−2∠A≤0°，
∴钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形，
∴只有锐角三角形存在反射三角形，
故①正确，符合题意；
当△ABC是等边三角形时，∠C=∠1=∠2=60°,∠B=∠3=∠4=60°，
∴∠≝=∠EDF=∠DFE=60°
∴△≝¿是等边三角形，
故②正确，符合题意；
当∠A=90°时，∠≝=180°−2∠A=0°，
∴直角三角形不存在反射三角形
故③错误，不符合题意；当△ABC是等腰三角形时，假设AB=AC,∠B=∠C，
∵∠5=∠6
∴∠2=∠4
∴∠1=∠3
∴AD=AF
∴BD=CF
∴△EDB≌△EFC(AAS)
∴DE=EF
∴等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，
故④正确，符合题意；
故选：①②④．
真题在线
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）如图， 为等腰三角形， ，点D是 延长线上的一点，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义
可得 ，再利用三角形外角的性质可得 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由三角形的外角性质，得： ，
∴ ．
故选：C．2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中， ，点 在 上，下列条件不能说明
的是（ ）
A． B． C． D． 平分
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．
【详解】解：当 时，
∵点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，不能得到 ；故选项B符合题意；
∵ ，
∴当 或 平分 时， ；故选项C，D均不符合题意；
故选B
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边 中， 是 边上的中线，延长 至点E，使
，若 ，则 （ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】先证明 ，得到 ，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵在等边三角形 中， 是 边上的中线，
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得：
,
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性
质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在 中， ， 是边 上的点，将 沿直线
折叠，点 的对应点 恰好落在边 上．若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出
，由折叠得到 ，根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵将 沿直线 折叠，点 的对应点 恰好落在边 上．
∴ ，
∴
故选：C
5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从 地到 地．
甲： ，路程为 ．
乙： ，路程为 ．
丙： ，路程为 ．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设 的长度为a，结合
图形性质分别计算三人的路程并比较．
设 ，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为 ，分析四边形 ，得出丙的路程小于 ，
比较得出 ．
【详解】设 的长度为a，因为 有两个角是 ，故是等边三角形，
∴ ；
由于 和 是等边三角形，设 的边长为m，
可得 ，
∴ ；丙路程中，延长 与 ，交于点I（如图），
∵ ，两边同加 得，
∴ ，又
∴ ，又 ，
因此， ，只有D选项正确．
故选：D．
6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形 中， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求
出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：由题意， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
7．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中，点 在边 上， ．若 ，则
的周长为（ ）A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这
些是解题的关键．
根据 可得： ，从而得到 ，则三角形的周长可转化为
，代入计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
．
故选：C．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图， 中， 为BC的中点， 于点
与 相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得 ， ，导角得到，根据 得到 ，即可得出结果．
【详解】解：∵ 为BC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，在 中， ，
∴ ；
故选B．
二、填空题
9．（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶角的度数为 ．
【答案】100
【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为 ，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为 ，
∴等腰三角形的顶角的度数为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求
解即可．
【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3， ，不能构成三角形，不符合题意；
当7为腰长时，第三边长为7， ，能构成三角形，符合题意；
故第三边长为7；故答案为：7．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在 中， ，点 在射线 上， ，连接 ，
，则 度．
【答案】40 或60
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
根据题意分两种情况，当点D在射线 上时，当点D在线段 上时，作出图形，然后根据等腰三角形的
性质得出 ，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：当点D在射线 上时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵点D在射线 上，且在点B之外，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
当点D在线段 上时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵点D在线段 上，且在点B之内，
∴ ，
∴ ；故答案为：40 或60．
12．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在 中， ，点 在边 上，
．若点 在边 上，满足 ，则 的长是 ．
【答案】7或9/9或7
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作
，垂足为H，过点C作 ，垂足为G，则 ，利用勾股定理得出
得长度，根据三角形面积公式得出 长，设 ，则 ，表示出
，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作 ，垂足为H，过点C作 ，垂足为G，则
，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
解得 ，即 ，
解得 或9，
即 或9，
故答案为：7或9．
三、解答题
13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点， 相交于点G，
， ， ．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，则 与l的位置关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明 ，得到 ，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得 ，根据三角形的内角和定理，得到 ，即可得出
结论．
【详解】（1）证明：在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
14．（2025·福建·中考真题）如图， 是等边三角形，D是 的中点， ，垂足为C， 是
由 沿 方向平移得到的．已知 过点A， 交 于点G．
(1)求 的大小；
(2)求证： 是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的
性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想
等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出 ，垂直，得到 ，角的和差关系求出 的大小即
可；
（2）平移得到 ，进而得到 ，角的和差关系推出 ，进而得到
，根据 ，推出 垂直平分 ，进而得到 ，推出
，进而得到 是等边三角形即可．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
．
D是 的中点，
．
，
，
．（2）由平移可知： ，
，
又 ，
，
∴ ，
又 ，
垂直平分 ，
，
由（1）知， ，
，
，
是等边三角形．
15．（2025·河北·中考真题）如图．四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 在 上， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明 ，结合 ， ，即可得到结论；
（2）先证明 ，结合 即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ；（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
专项练习
一、单选题
1．下列能判定 为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ，周长为13
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形
是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系．
【详解】解：选项A：∵ ,
∴ , 三个角均不相等,
∴不能判定为等腰三角形；
选项B：∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 为等腰三角形；
选项C：∵ ,
∴ , 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定；
选项D：∵ , 周长为13,
∴ ,
∴ ，但 , 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定．
故选：B．
2．等腰三角形一个角为 ，则顶角的度数可能为（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可．
【详解】∵等腰三角形有两个角相等，
∴若 为顶角，则顶角为 ；
若 为底角，则另一底角也为 ，顶角为： ；
∴顶角为 或 ，
故选：D．
3．已知等腰三角形 的周长为 ， ， 与 全等，则 的边 （ ）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根
据等腰三角形的性质，分 为腰和 为底两种情况，求出三角形 的边长，再根据全等三角形的性
质， 可能等于三角形 的任意一边．
【详解】解：∵等腰三角形 的周长为 ， ，
当 为腰时，另一腰长为8，底边长为 ；
当 为底时，两腰长均为 ；
∴三角形 的边长可能为8，8，2或5，5，8；
∵ ，
∴ 可能等于三角形 的任意一边，即 或5或8．
故选：C．
4．如图所示， 是等边三角形，D为AB的中点， ，垂足为E．若 ，则 的边长
为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中 角所对的直角边是斜边的一半．
根据 为等边三角形和 ，可得 ，利用直角三角形中 角所对的直角边是斜边的
一半，即可求解．
【详解】解： 为等边三角形，
，
，
，
，
，
D为AB的中点，
，
等边三角形 的边长为 ．
故选： ．
5．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于两点M、N；②作直线 交 于点D，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形
等边对等角的性质得出 ，再根据作图步骤得出直线 是线段 的垂直平分线，再利
用垂直平分线的性质得到 ，进而求出 的度数，最后根据三角形内角和定理求出 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
根据作图痕迹，可知 是线段 的垂直平分线，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
6．如图，已知 是等边三角形，点D在 上，点E在 的延长线上， ， 交 于点
F， ，若 ，且 ，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含 角直角三角形的性质，过点D作
交 于点 ．先证明 ，可得 ，求出 ，设
，则 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到
，然后代入求解即可．
【详解】解：如图，过点D作 交 于点Ｈ．
∵ 是等边三角形，
∴
∵
∴ ，∴ 是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵ 是等边三角形，
∴
∴
∴
设
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
故选：A．
7．如果等腰三角形的一边长为2，一边长为5，那么它的周长是（ ）
A．14 B．9 C．9或12 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，掌握相关的知识点是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，两边可能相等，需结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断有效性，
再计算其周长．
【详解】解：∵等腰三角形有两边相等，
∴作分类讨论：①腰为2，底为5；②腰为5，底为2，
对于①：三边为2、2、5，∵ ，
不满足三角形三边关系，
∴该情况不存在，
对于②：三边为5、5、2，
∵ ， ，
∴满足三角形三边关系，
∴周长为 ，
故选D．
8．如图，在等腰 中， ，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，当点A
的对应点D落在 上时，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
，然后根据旋转的性质得出 ， ， ，
再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ，最后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：在等腰 中， ，
∴ ，
∵ 绕点C逆时针旋转 得到 ，点A的对应点D落在 上，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．如图，在 中， 是角平分线 的交点，若 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，和正切的定义，利用角平分线的性质定理构造相
等线段求出 是解题关键．
过点O作 的垂线，先利用三线合一和勾股定理，求出 和 ，再利用角平分线定理，通过线段关系
求出 ，即可求出正切值．
【详解】解：∵ ， 是角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
如图，过点O作 ，交 于点F，
∵ 是角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
10．如图，在 中， , , ，直线 垂直平分线段 ，若点 为边BC的中点，
点 为直线 上一动点，则 周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关
键．
连接 ， ，推出 周长的最小值为 ，证明 ，再利用三角形的面积公式列方程
求出 即可解决问题．
【详解】解：连接 ， ，
∵直线 垂直平分线段 ．
，
∵点 为边 的中点， ，
周长 ，
周长的最小值为 ，
，点 为边 的中点，∵ , ，
，
解得 ，
周长的最小值为 ，
故选：C．
二、填空题
11．已知等腰三角形的两边长 ，满足 ，这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据绝对值和平方的非负性，可
得 ， ，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断，即可求解．
【详解】解：
∴
因为 且 ，所以 且 ，解得 ， ．
当腰为 时，三边为 ， ， ，但 ，不满足三角形三边关系，故舍去；
当腰为 时，三边为 ， ， ，满足三角形三边关系，
周长为 ．
故答案为： ．
12．如图，在 中， ， ，作 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若
，则 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌
握相关知识是解题的关键．连接 ，由线段垂直平分线的性质可知， ，结合已知的 ，
根据等边对等角可得 ，可证 ，利用直角三角形中 角所对的直角边是斜边的一半进行计算即可求解．
【详解】解：连接 ，
， ，
，
，
垂直平分 ，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
13．在等腰 中， ， ，点 在射线 上，连接 ， ，则
度．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，分情况讨论是解题的关键．
根据点 在射线 上的不同位置，分两种情况讨论．当射线 在 内部时， ，结合
，可得 ；当射线 在 外部时， ，结合 ，可得
．
【详解】解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ，
∵点 在射线 上，
∴ ，
当射线 在 内部时，如图，，
∴ ；
当射线 在 外部时，如图，
，
∴ ；
故答案为： 或 ．
14．等腰 中， ，边 的垂直平分线交边 于点D，连接 ，若 为等腰三角形，
则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得 ，然后分三种
情况：当 时，当 时，当 时，分别求解即可．
【详解】解：∵点D在 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
若 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，矛盾，故不可能；
若 ，则 ，
在 中，
，即 ，
∴ ，
又 ，，
∴ ，
解得 ；
若 ，则 ，
又 ，
∴ ，，
解得 ，
综上， 为 或 ，
故答案为： 或 ．
15．如图，等边三角形 的边长是 ，动点 分别从 两点同时出发，沿 边匀速运动，
的运动速度分别是 ，当点N到达点B时， 两点均停止运动．当 是直角三
角形时，点M的运动时间 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，
设t秒后， 是直角三角形，表示 ， ，可得 ．分两种情况：若
时，根据 ，列出方程，求出解；同理可得若 时，根据 ，可得方程，求
出解即可．
【详解】解：设t秒后， 是直角三角形，则 ， ，
∴ ．
若 时，如图，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
即N到达B点时；
同理可得若 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
综上可得：当 或 时， 是直角三角形．
故答案为： 或 ．
16．如图， 是等腰三角形， 是底边 上任意一点，过 作 于 ，作 于 ，若
， 的面积为 ，则【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式，根据等腰三角形的性质和三角形的面积
公式可得 ，即可求出 的长度．
【详解】解：如下图所示，连接 ，
，
是等腰三角形， 是底边，
，
又 ， 的面积为 ，
，
．
故答案为： ．
三、解答题
17．如图，在等边 的 ， 上各取一点 、 ，使 ． ， 相交于点 ，过点 作
直线 的垂线 ，垂足为 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质，灵活运
用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得 ， ，从而可证得 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ， ，再根据角的和差关系等量代换可得
，从而得到 ，最后根据含 角直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
， ，
，
又 ，
，
，
．
18．如图，等边 的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上， ， ．
(1)求证： ；(2)直接写出 的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
（1）根据等边三角形的性质可得 ，从而得到 ，即可求证；
（2）根据 ，列出比例式，进而可得 ．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵等边 的边长为4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
19．如图， 为等边三角形，点 为 边上一点，连接 ，在 右侧作 ，且
，分别连接 ．猜想 的形状，并说明理由．
【答案】等边三角形，理由见解析
【分析】本题等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质，证明
，得到 ， ，即可得出结论．解题的关键是证明
．
【详解】解： 是等边三角形．
理由如下：
∵ 为等边三角形，∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
20．如图1，在 中，点 ， 在 上， ，连接 ， ， ．
(1)求证： 是等腰三角形：
(2)如图2，在（1）的条件下， 于点 ， ， ， ， 交于点 ，若 是
的中线，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中面积等于 的面积的2倍的所有三角
形．
【答案】(1)见解析
(2)面积等于 的面积的2倍的三角形为 ， ， ， ．
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握相关知识是
解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得出 ，再根据“ ”证 ，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质、中线的性质以及平行四边形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又
∴ ，∴ ，即 是等腰三角形；
（2）解：∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
综上，面积等于 的面积的2倍的三角形为 ， ， ， ．
21．如图， 中， ，点D在 边上，以 为边在右侧作等边 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2) ，理由见详解
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行线的判定，解题的关键
是熟悉全等三角形的性质．
（1）根据题意可得 为等边三角形，结合已知可得 和 ，即有 ，可
利用 证明 ；（2）由（1）知， ，则 ，设 和 交于点F，则 ，
由等边三角形得 ，则
，即可判定 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 为边在右侧作等边 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解：由（1）知， ，则 ，
如图，设 和 交于点F，
则 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
则
，则 ．
