文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题2 相交线与平行线
知识梳理
【考点一】对顶角与邻补角
1.相交线：有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点
☆(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系;(2)两条直线相交有且只有一个交点.
2.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系
的两个角，互为对顶角．
3.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
4.对顶角的性质：对顶角相等．
5.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
6.提示：邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与
两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
7.邻补角与补角的关系
(1)互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备相
邻的位置关系;
(2)一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个
【考点二】垂直、垂线段
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一
条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．表示符号：直线 A B、C D 互相垂直，记作＂ ＂，读作＂ 垂直于 ＂。
3．推理格式：
如图 ，因为 （已知），所以 （垂直的定义）。
反过来：因为 （已知），所以 （垂直的定义）．4.垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
基本事实中的唯一性隐含着两个关键条件不能少:一是“同一平面”;二是过一点，这一点可以在已知直线
上也可以在已知直线外
5.垂直平分线
我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
6.垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
7.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
(1)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一个几何图形,而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长
度(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别:
两点间的距离 点到直线的距离
定义 连结两点的线段的长度. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度
性质 两点之间，线段最短 垂线段最短
【考点三】同位角、内错角、同旁内角
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
在截线同侧，在两条被截直线同 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转的字母
同位角
一方 “F”）
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
在截线两侧，在两条被截直线 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转的字母
内错角
之间 “Z”）
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
位置特征角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同旁内角 在截线同旁，在两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转）
4.注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置
决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此
直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，
内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
【考点四】平行及平行公理
1.定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
☆平行线定义的三要素:
(1)在同一平面内;(2)不相交;(3)都是直线
2.表示方法
用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，
读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂．
（1）
3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
4.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【考点五】平行线的判定
1.判定定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
2.判定定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，
两直线平行．
3.判定定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角
互补，两直线平行．
4.判定方法4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
5.判定方法5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【考点六】平行线的性质1.性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
2.性质定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
3.性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
【考点七】平行线的性质与判定综合题解题方法
1.平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关
系．
2.应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3.平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
4.辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
例题讲解
【题型一】对顶角的定义
◇典例1：
下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形ABFE为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的
点D，折射后照到水槽底部的点C．测得α=40°，β=30°，若P、D、B三点在同一条直线上，则
∠BDC的度数为（ ）A．40° B．30° C．20° D．10°
2.如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOC=40°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．130° D．140°
【题型二】邻补角的定义
◇典例2：
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则图中邻补角共有 对．
◆变式训练
1.如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD=70°．
(1)求∠AOC和∠AOD的度数；
(2)求∠BOE的度数．
2.如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数；
【题型三】垂线的定义
◇典例3：
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠BOD=35°，则∠COE的度数为 ．◆变式训练
1.在下列各图中，分别过点P画AB的垂线．
2.下列说法中，错误的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【题型四】垂线段最短
◇典例1：
下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.如图，AC⊥BC，点C为垂足，CD⊥AB，点D为垂足，BC=8cm，CD=4.8cm，BD=6.4cm，
AC=6cm，那么点C到AB的距离是 ，点B到CD的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．2.如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在
处，其中的道理是 ．
【题型五】同位角、内错角、同旁内角
◇典例5：
如图，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.如图，则图中内错角共有 对．
2.如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角．
【题型六】平面内两直线的位置关系◇典例6：
将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置
关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
◆变式训练
1.如图，这是一个正方体．
(1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离．
(2)在正方形ABCD中可以找出几对互相垂直的边？
2.在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
【题型七】平行公理及推论的应用
◇典例7：
如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数条
◆变式训练
1.如图所示为一个风车的示意图，当CD旋转到与地面EF平行的位置时，AB （填“能”或
“不能”）同时与地面EF平行，理由是 ．2.下列说法中不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【题型八】平行线的判定
◇典例8：
已知a，b，c是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ）
A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c
◆变式训练
1.已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2互补．求证：a∥b．
2.张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线a、b被直线c所截，其中∠1=89°，请你再添加一个条
件，使a∥b，并注明判定依据．”三人所做答案如下：
甲：添加∠2=89°，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加∠3=89°，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加∠4=89°，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是 ．
【题型九】平行线的性质
◇典例9：如图，已知点C在AE上，AB∥CD，AE∥DF，∠1=63°，则∠2的度数是（ ）
A．53° B．58° C．63° D．69°
◆变式训练
1.如图，直线BE，CF被直线AC所截，BE∥CF，CD⊥AC，BG是∠ABE的平分线，∠DCF=28°，
求∠ABG的度数．
2.如图，已知AD∥CF，AB⊥AD于点A，∠1+∠3=180°，则下列结论：①∠2=∠3；②∠1=∠4；
③CD∥EF；④∠B=∠BFE；⑤∠BFC=90°．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【题型十】根据平行线的性质探究角的关系
◇典例10：
如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β−∠γ=90° B．∠α−∠β+∠γ=180°B．C．∠γ+∠β−∠α=90° D．∠α+∠β+∠γ=180°
◆变式训练
1.已知直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上．
(1)如图1，点E在直线AB、CD之间，求证：∠MEN=∠AME+∠CNE；
(2)如图2，若E在直线CD下方，∠BME与∠DNE的角平分线交于点F，判断∠E与∠F的数量关系并证
明；
(3)如图3，若点E是直线AB上方一点，点G是直线AB、CD之间一点，连接EM、EN、GM、GN，
GM的延长线MF将∠AME分为两部分，∠AMF=3∠EMF，∠CNE=3∠ENG，且
4∠E+3∠G=470°，求∠AME的度数．
2.综合与实践
如图1，AB∥CD，M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E．
(1)若∠EMB=35°,∠END=65°，则∠MEN的度数是______．
(2)写出∠MEN,∠END,∠EMB之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END．∠MEN=α，直接用含α的代数式表示∠MQN的度数．
【题型十一】根据平行线判定与性质求角度与证明
◇典例11：
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在
水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光
线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1=44°，∠2=117°，则∠3+∠4的大小是（ ）A．107° B．117° C．151° D．161°
◆变式训练
1.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的角平分线，试完成下列填空：
说明BE∥DF．
解：因为AB∥CD（已知）
所以∠ABC+∠C=180°（____________）
因为AD∥BC（已知）
所以______（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠ABC=∠ADC（____________）
因为BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的角平分线（已知）
1 1
所以∠EBC= ∠ABC，∠ADF= ∠ADC（____________）
2 2
所以______（等式性质）
因为AD∥BC（已知）
所以∠EBC=∠AEB（____________）
所以∠AEB=∠ADF（____________）
所以BE∥DF（____________）
2.如图，EF∥CD，∠1+∠2=180°．
(1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由．(2)若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A=40°，求∠ACB的度数．
【题型十二】根利用平行线间距离解决问题
◇典例12：
如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点．若AB=4，AC=10，则平
行线b，c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．14
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，点A在直线l 上，点B、C在直线l 上，l ∥l ，动点P从点A出发沿直线l 以
1 2 1 2 1
1cm/s的速度向右运动，设运动时间为ts．在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而 .（填
“增大”、“保持不变”或“减小”）
2.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有3块面积分别是12，32，52的三角形、三角形、四边形，
那么图中阴影部分的面积是 ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则 与 平行．这一判断
过程体现的数学依据是（ ）A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分
日兰州正午太阳光线与水平面的夹角 为 ．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角 度数是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川巴中·中考真题）如图， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线 截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图， ， ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
6．（2013·四川攀枝花·中考真题）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转到
的位置，使得 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发
生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪
比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖 和滑雪板 平行，滑雪杖 与大腿 的夹
角为 ，小腿 与滑雪板 的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道 中，已知拐角 ，管道 ，
则 ．10．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，
要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的
光线， ，则 的度数为 ．
11．（2025·江苏常州·中考真题）如图， ， ， ，则 ．
12．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线 ， 分别经过正六边形 的顶点B，C，且
．当 时， ．
三、解答题
13．（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 和 上，且
．求证： ．
14．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知 ， ， ， ．(1)求证： ；
(2)求 的度数．
15．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重
合的部分构成一个四边形 ．转动其中一张纸条，发现四边形 总是平行四边形其中判定的依据
是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条 和 （ ， ），其中
， ，将它们按图②放置， 落在边 上， 与边 分别交于点M，N．
求证： 是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条 不动，将平行四边形纸条 沿 或 平移，且
始终在边 上．当 时，延长 交于点P，得到图③．若四边形 的周长为40，
（ 为锐角），则四边形 的面积为_________．
专项练习
一、单选题
1．下列图形中，由 能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，因为 ， ，所以 与 重合的理由是（ ）A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．下列推理正确的是（ ）
A．因为 ，所以 和 是对顶角
B．因为 ，所以
C．因为 ，所以
D．因为 ，所以
4．一把直尺和一块三角板（ ， 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D
两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ， 交 于点E， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ， 垂直于 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
7．如图，在 中， 、 分别是边 、 上的点，过点 作 交 的延长线于点 ．若
， ， ，则 的长是（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
8．如图，点E，F在 上， ， ， ，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等边三角形 与互相平行的直线a，b相交，若 ，则 的大小为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图， 中， ，直线 垂直平分 ，点 是 上一点，点 是 上一点，连接 ，
，若 的面积为10， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．若 ， 的两边分别与 的两边平行，则 的度数为 ．12．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于
，若 ， ，则线段 的长为 ．
13．如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且 ，则
．
14．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪
耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，
为平行线外一点，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
15．如图，把一个长方形纸片 沿 折叠后，点 分别落在 的位置，若 ，则
等于 ．
16．如图， ， ， 分别是直线 ， 之间的点，连接 ， ， ， ，已知
， ，当 时， 的度数为 ．三、解答题
17．如图，直线 与 被直线 所截， 与 ， 分别交于点P，O，且 ， ．
(1)试说明： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
18．如图：已知， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， 于 ， ，求 的度数．
19．如图，已知直线 相交于点O， ，点O为垂足， 平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
20．如图，在三角形 中， 、 分别是 、 边上的点，点 ， 在 边上，连接 ， ，
，已知 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．
21．如图1所示， ， 的两边与 ， 分别交于 ， 两点．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)如图2所示，直线 ， 相交于点 ，且满足 ， ：
①当 时，若 ，求 的度数；
②试探究 与 的数量关系．
