文档文本内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题7 整式与因式分解
知识梳理
【考点一】单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单
项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定
它的次数为0．
【考点二】 多项式
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含
有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【考点三】 整式
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【考点四】 同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．
【考点五】 合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系
数的和，字母连同它的指数不变．
合并同类项的一般步骤：
【考点六】 去括号
1. 去括号方法
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所
得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的
乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac.
3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
【考点七】 整式的加减
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为
“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．
例如，−2(x−3x+5x−7x+6)=−2(−4x+6)=8x−12．
【考点八】 因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式.（2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止.
（3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变.
【考点九】公因式
1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式．
2、找出多项式的公因式的一般步骤：
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
【考点十】提公因式法分解因式
1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因
式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积．
【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号．
（2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式．
（3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公
因式后该项变为1，不要漏掉这一项．
【考点十一】用平方差公式分解因式
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3、运用平方差公式的条件
（1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数．
4、运用平方差公式分解因式的步骤:
一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与
正平方项交换放在后面．
二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项
式都必须用括号括起来，表示一个整体．
三套: 套用平方差公式进行分解．四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式．
拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是
常数，也可以是单项式或多项式．
【考点十二】用完全平方公式分解因式
1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ．
2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和
或差取决于乘积的2倍的符号．
3、完全平方式的特点：
①必须是三项式(或可以看成三项的)；
②有两个数或式的平方和；
③有上面两数之积的 ±2 倍．
4、运用完全平方公式分解因式的步骤:
一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式．
二定: 观察多项式特点,确定a，b．
三套: 套用完全平方公式进行分解．
四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简．
例题讲解
【题型1】 整式及整式有关的概念
◇典例1：
多项式(m−4)x|m−2|+x−5是关于x的二次三项式，则m取值为（ ）
A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次
数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
根据多项式的定义得|m−2|=2且m−4≠0，求解即可．
【详解】解：∵多项式(m−4)x|m−2|+x−5是关于x的二次三项式，
∴|m−2|=2且m−4≠0，
∴m=0，故选：A．
◆变式训练
1 a a+b 1
1.下列式子：− ， ，−π，−5x2y3，2x y2， ， ，其中属于单项式的是 ，属于多项式
3 3 2 2−x
的是 ，属于整式的是 ．
1 a a+b
【答案】 − ， ，−π，−5x2y3，2x y2
3 3 2
1 a a+b
− ， ，−π，−5x2y3，2x y2，
3 3 2
【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进
行分类．
①依据单项式的定义找出单项式；
②依据多项式的定义找出多项式；
③根据整式包含单项式和多项式确定整式．
【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，
1 a 1
− 是单独的数， 是数 与字母a的积，−π是单独的数，−5x2y3是数5与字母x，y的积，2x y2是数2
3 3 3
1 a
与字母x，y的积，所以单项式是− ， ，−π，−5x2y3，2x y2 ；
3 3
a+b a b a b a+b
②几个单项式的和叫做多项式， = + 是单项式 与 的和，所以多项式是 ，故（2）处填
2 2 2 2 2 2
a+b
；
2
1 a a+b
③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是− ， ，−π，−5x2y3，2x y2， ，
3 3 2
1 a
故答案为：①− ， ，−π，−5x2y3，2x y2
3 3
a+b
②
2
1 a a+b
③− ， ，−π，−5x2y3，2x y2，
3 3 2
2.下列说法中正确的是（ ）
3x2−5 5 3
A．多项式− 的常数项是 ，二次项的系数是−
4 4 4B．单项式−5πx y2z3的系数和次数分别是−5，7
π
C． 不是单项式
2
D．把x3+x y2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+x y2+x3+2x2y
【答案】A
【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答．
3x2−5 5 3
【详解】解：A、多项式− 的常数项是 ，二次项的系数是− ，本选项正确，符合题意；
4 4 4
B、单项式−5πx y2z3的系数和次数分别是−5π，6，本选项错误，不符合题意；
π
C、 是单项式，本选项错误，不符合题意；
2
D、把x3+x y2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+x y2+2x2y+x3，本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【题型2】 合并同类项
◇典例2：
若关于b的单项式bm与nb2024相加等于0，则mn ．
【答案】−2024
【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；
根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：bm与nb2024是同类项且和是0，
∴m=2024，n+1=0即n=−1，
∴mn=2024×(−1)=−2024，
故答案为：−2024．
◆变式训练
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．ac与ab B．3a与5a2 C．3ab2与5a2b D．a2b与−ba2
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故A选项不符合题意；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故B选项不符合题意；
C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故C选项不符合题意；
D、符合同类项的定义，是同类项，故D选项符合题意；故选：D．
2.请写出一个与−ab2为同类项的整式： ．
【答案】8ab2（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类项的知识．熟练掌握同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，是
解题的关键．
根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，书写即可，注意同
类项与字母的顺序无关．
【详解】解：如8ab2，答案不唯一．
故答案为：8ab2（答案不唯一）．
【题型3】 去（添）括号
◇典例3：
下列去括号正确的是（ ）
A．a+(b+c)=ab+c B．a2−[−(−a+b)]=a2−a−b
C．a+2(b−c)=a+2b−c D．a−(b+c−d)=a−b−c+d
【答案】D
【分析】本题考查了去括号法则的应用，能熟记去括号法则是解此题的关键．根据去括号法则逐个进行判
断即可．
【详解】A、a+(b+c)=a+b+c，但选项写为ab+c，错误，不符合题意；
B、a2−[−(−a+b)]=a2−[a−b]=a2−a+b，但选项结果为a2−a−b，符号错误，不符合题意；
C、a+2(b−c)=a+2b−2c，但选项写为a+2b−c，系数缺失，错误，不符合题意；
D、a−(b+c−d)=a−b−c+d，与选项一致，正确，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1 1 5
1.已知x=1 ，y=− ，z= ，则x−(−y)+(−z)=
3 2 6
【答案】0
【分析】根据去括号法则化简，再代入数字计算即可得到答案．
【详解】解：原式=x+ y−z ，
1 1 5
当x=1 ，y=− ，z= 时，
3 2 64 1 5
原式=x+ y−z= +(− )− =0 ，
3 2 6
故答案为0．
【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是去括号时注意符号的选取．
2.已知x−( )=x−y−z，则括号里的式子是（ ）
A．y−z B．z−y C．y+z D．−y−z
【答案】C
【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括
号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变．
根据添括号法则解答即可，注意符号变化．
【详解】解：根据题意将x−y−z添括号，x−y−z=x−(y+z)，
故选：C．
【题型4】 整式加减运算与化简求值
◇典例4：
我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即5+6=11，若a,b
满足|a−3|+(b+1) 2=0，则图2中y的值为 ．
【答案】27
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有a，b的代数式表示m和n，再表示出y即可．根据
绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值即可解决问题．
【详解】由题知，
m=ab2+a2b+ab2=a2b+2ab2；
n=a2b+ab2−3(a2b−a)=a2b+ab2−3a2b+3a=−2a2b+ab2+3a；
所以y=m+n=a2b+2ab2−2a2b+ab2+3a=−a2b+3ab2+3a．因为|a−3|+(b+1) 2=0，
所以a−3=0，b+1=0，
则a=3，b=−1，
所以y=−32×(−1)+3×3×(−1) 2+3×3=27．
故答案为：27．
◆变式训练
1.计算．
(1)2(x2−2xy)−3(y2−3xy)；
(2)(−x2+2xy−y2)−2(xy−3x2)+3(2y2−xy)．
【答案】(1)2x2−3 y2+5xy
(2)5x2−3xy+5 y2
【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）直接去括号进而合并同类项得出答案．
【详解】（1）解：2(x2−2xy)−3(y2−3xy)
=2x2−4xy−3 y2+9xy
=2x2−3 y2+5xy；
（2）解：(−x2+2xy−y2)−2(xy−3x2)+3(2y2−xy)
=−x2+2xy−y2−2xy+6x2+6 y2−3xy
=5x2−3xy+5 y2
2.设M=x2+4mx−3，N=2x2+4mx−2，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M<N D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了整式的加减，不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．通过计算
M−N，化简后根据结果的符号判断大小关系．
【详解】解：M−N=(x2+4mx−3)−(2x2+4mx−2)
=x2+4mx−3−2x2−4mx+2=−x2−1
∵x2≥0，
∴−x2−1≤−1<0，
∴M−N<0，
即M<N，
选择C．
【题型5】因式分解的意义
◇典例5：
下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+5x−1=x(x+5)−1 B．16x2y=2x2 ⋅8 y
C．(x+2)(x−2)=x2−4 D．am+an=a(m+n)
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形．
因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变
形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义．
【详解】解：选项A：右边为x(x+5)−1，不是积的形式；
选项B：左边16x2y是单项式，右边2x2 ⋅8 y是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）；
选项C：左边(x+2)(x−2)是积，右边x2−4是多项式，属于整式乘法；
选项D：左边am+an是多项式，右边a(m+n)是积的形式，属于因式分解．
故选：D．
◆变式训练
1.下列由左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．a2+5a+6=(a+2)(a+3) B．(a+3)(a−3)=a2−9
C．a2−b2−1=(a+b)(a−b)−1 D．6ab=3a⋅2b
【答案】A
【分析】该题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A左边为多
项式，右边为乘积形式，符合定义；选项B是整式乘法；选项C右边不是纯乘积；选项D左边是单项式，
不是多项式．【详解】解： A、a2+5a+6=(a+2)(a+3)，左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义．
B、(a+3)(a−3)=a2−9，是整式乘法，不是因式分解．
C、a2−b2−1=(a+b)(a−b)−1，右边有“−1”，不是纯乘积，因此不是因式分解．
D、6ab=3a⋅2b，左边是单项式，不是多项式，因此不是因式分解．
∴只有选项A正确．
故选：A．
2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．(x−2)(x+2)=x2−4 B．x(x+1)=x2+x
C．x2+2x−3=x(x+2)−3 D．y2−3 y= y(y−3)
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键．
根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【题型6】 确定公因式
◇典例6：
在多项式6x2y−xb2+xc中，各项的公因式是（ ）
A．y B．6x C．x2 D．x
【答案】D
【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即
可得答案．
【详解】解：∵6x2y−xb2+xc每一项都含有字母x，且x的最低次数为1，
∴各项的公因式是x．
故选：D．
◆变式训练1.将多项式4x y2z−8x2y2z−6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．xyz2 B．8xy C．2xyz D．24x2y2z2
【答案】C
【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共
有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：4x y2z−8x2y2z−6xyz2=2xyz(2y−4xy−3z)
∴将多项式4x y2z−8x2y2z−6xyz2分解因式时，应提取的公因式是2xyz
故选：C
2.多项式m2−2m与多项式m2−4m+4的公因式是（ ）
A．m+2 B．m−2 C．(m−2)(m+2) D．(m−2) 2
【答案】B
【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项．
【详解】解：∵m2−2m=m(m−2)，m2−4m+4=(m−2) 2，
∴多项式m2−2m与多项式m2−4m+4的公因式是m−2，
故选：B．
【题型7】 用提公因式法分解因式
◇典例7：
分解因式x2(y−3)+x(3−y)的正确结果是（ ）
A．(y−3)(x2+x) B．x(y−3)(x+1)
C．(y−3)(x2−x) D．x(y−3)(x−1)
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的3−y转化为−(y−3)，
然后提取公因式(y−3)，再对(x2−x)提取公因式即可．
【详解】解：x2(y−3)+x(3−y)
=x2(y−3)−x(y−3)=(y−3)(x2−x)
=(y−3)⋅x⋅(x−1)
=x(y−3)(x−1)，
故选：D．
◆变式训练
1.用提公因式法将下列各式分解因式．
(1)−4a3b2+12a2b−4ab；
(2)(a2−ab)+c(a−b)．
【答案】(1)−4ab(a2b−3a+1)
(2)(a−b)(a+c)
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）−4a3b2+12a2b−4ab
=−4ab⋅a2b+(−4ab)⋅(−3a)+(−4ab)⋅1
=−4ab(a2b−3a+1)；
（2）(a2−ab)+c(a−b)
=a(a−b)+c(a−b)
=(a−b)(a+c)．
2.(1)m(a−2)+n(2−a)；
(2)(a2−ab)+c(a−b)；
(3)x(x−y)(a−b)−y(y−x)(b−a)．
【答案】(1)(a−2)(m−n)
(2)(a−b)(a+c)
(3)(x−y)2 (a−b)
【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法是解决本题的关键．
（1）根据提公因式法求解即可；（2）根据提公因式法求解即可；
（3）根据提公因式法求解即可．
【详解】（1）解：m(a−2)+n(2−a)
=m(a−2)−n(a−2)
=(a−2)(m−n)；
（2）解：(a2−ab)+c(a−b)
=a(a−b)+c(a−b)
=(a−b)(a+c)；
（3）解：x(x−y)(a−b)−y(y−x)(b−a)
=x(x−y)(a−b)−y(x−y)(a−b)
=(x−y)⋅(a−b)(x−y)
=(x−y) 2 (a−b)．
【题型8】 判断能否用公式法分解因式
◇典例8：
下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
a2
①a2−2a−1；②−x2−y2；③−x2+ y2；④ −a+1；⑤a2−4ab+4b2．
4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分
别分解因式进而判断即可．
【详解】
①a2−2a−1不能用公式法分解因式；
②−x2−y2不能用公式法分解因式；
③−x2+ y2=(y2−x2)=(y+x)(y−x)可以用公式法分解因式；
④ a2 −a+1= (a) 2 −2× a ×1+12= (a −1 ) 2 可以用公式法分解因式；
4 2 2 2
⑤a2−4ab+4b2=a2−2×a×2b+(2b) 2=(a−2b) 2可以用公式法分解因式；
综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个，故选C．
◆变式训练
1.下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
1
A．a2+a− B．−a2−b2+2ab C．−a2+25b2 D．4−9b2
4
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
1
【详解】解：A、a2+a−
不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
4
B、−a2−b2+2ab=−(a2−2ab+b2)=−(a−b) 2，故此选项不符合题意；
C、−a2+25b2=(5b) 2−a2=(5b+a)(5b−a)，故此选项不符合题意；
D、4−9b2=22−(3b) 2=(2+3b)(2−3b)，故此选项不符合题意．
故选：A．
1 1
2.在因式①−x2−y2；②− a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2x−y2；⑤ −mn+m2n2 中，能用公式
4 4
法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键．
根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求
解．
【详解】解：①−x2−y2=−(x2+ y2)，不能用公式法分解因式，不符合题意；
②− 1 a2b2+1=− (1 a2b2−1 ) =− (1 ab+1 )(1 ab−1 ) ，能用公式法分解因式，符合题意；
4 4 2 2
③a2+ab+b2，不能用公式法分解因式，不符合题意；
④−x2+2x−y2，不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤ 1 −mn+m2n2= (1 −mn ) 2 ，能用公式法分解因式，符合题意；
4 2综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个，
故选：A ．
【题型9】 用平方差法分解因式
◇典例9：
下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+(−b) 2 B．5m2−20mn C．−x2−y2 D．−x2+9
【答案】D
【分析】依次各选项分解因式，即可求解，
本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式．
【详解】解：A、a2+(−b) 2=a2+b2，无法分解因式，不符合题意，
B、5m2−20mn=5m(m−4n)，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
C 、−x2−y2=−(x2+ y2)，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
D、−x2+9=32−x2=(3+x)(3−x)，应用平方差公式分解因式，符合题意，
故选：D．
◆变式训练
1.多项式 x2−25因式分解的结果是 （ ）
A．(x−5) 2 B．(x+5) 2
C．(x+5)(x−5) D．x(x−25)
【答案】C
【分析】本题考查了公式法因式分解，利用平方差公式因式分解是关键．
x2−25是平方差形式，直接因式分解即可．
【详解】解：x2−25=x2−52=(x+5)(x−5)．
故选：C．
2.分解因式：
(1)a2(x−y)+b2(y−x)；
(2)(a2+b2) 2 −4a2b2．【答案】(1)(x−y)(a+b)(a−b)
(2)(a+b) 2 (a−b) 2
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键．
（1）先提取公因式(x−y)，再利用平方差公式分解因式即可得答案；
（2）先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得答案．
【详解】（1）解：a2(x−y)+b2(y−x)
=(x−y)(a2−b2
)
=(x−y)(a+b)(a−b)．
（2）解：(a2+b2) 2 −4a2b2
=(a2
)
2+2a2b2+(b2
)
2−4a2b2
=(a2
)
2−2a2b2+(b2
)
2
=(a2−b2
)
2
=(a+b) 2 (a−b) 2．
【题型10】用完全平方公式分解因式
◇典例10：
下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2−1 B．4x2+4x+4
C．x2+2x+1 D．x2−2x−1
【答案】C
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A．x2−1=(x−1)(x+1) ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B．4x2+4x+4=4(x2+x+1)，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C．x2+2x+1=(x+1) 2，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D．x2−2x−1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；故选：C．
◆变式训练
1.将多项式x2−8x+16分解因式为（ ）
A．(x+4) 2 B．(x−4) 2 C．(x+2) 2 D．(x−2) 2
【答案】B
【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：x2−8x+16=(x−4) 2．
故选：B．
2.把下列各式因式分解：
(1)a2+8a+16；
(2)−4mn−4m2−n2；
(3)(a+2b) 2+6(a+2b)+9；
(4)(x−1)(x−3)+1．
【答案】(1)(a+4) 2
(2)−(n+2m) 2
(3)(a+2b+3) 2
(4)(x−2) 2
【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可；
（3）利用完全平方公式因式分解即可；
（4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：a2+8a+16=(a+4) 2；
（2）解：−4mn−4m2−n2=−(n+2m) 2；（3）解：(a+2b) 2+6(a+2b)+9=(a+2b+3) 2
（4）解：(x−1)(x−3)+1=x2−4x+4=(x−2) 2．
真题在线
一、单选题
1．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．
根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
【详解】解：A. 不是同类项，不能运算，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解： .
故选：C3．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则 的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
能被3整除，
∴ 的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为 通过因式分解，可以把多项式
分解成若干个整式乘积的形式．
4．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项正确，符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、
十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．5．（2025·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方、
同类项的合并、单项式乘法的运算法则是解题的关键．
分别运用幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法计算，即可判断．
【详解】解：A、 ，错误，该选项不符合题意；
B、 ，错误，该选项不符合题意；
C、 ，错误，该选项不符合题意；
D、 ，正确，该选项符合题意；
故选：D．
6．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ，…，第 个代数式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，
其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个代数式为 ，
第2个代数式为 ，
第3个代数式为 ，
第4个代数式为 ，
第5个代数式为 ，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是 ，
故选：A．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（
）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并
应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵ ，
，
，
∴第5个数为 ，
第6个数为 ，
第7个数为 ，
故选：D．
8．（2024·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， 为正
整数，且 ．下列说法：
①满足条件的整式 中有5个单项式；
②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；
③满足条件的整式 共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得 ，再分类讨论得到答
案即可．
【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ， ，
满足条件的整式有 ，
当 时，则 ，∴ ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ，
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ， ， ；
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ；
当 时， ，
满足条件的整式有： ；
∴满足条件的单项式有： ， ， ， ， ，故①符合题意；
不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式 共有 个．故③符合题意；
故选D
二、填空题
9．（2025·四川自贡·中考真题）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得 ，整体代入计算即可得解，
熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足 ，则 ．
【答案】【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为： ．
11．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式 ，再利用完全平方公
式进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：
12．（2024·江西·中考真题）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为
．
【答案】
【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．
【详解】解：∵a， ， ， ，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是 ．
∴第100个式子是 ．
故答案为： ．
13．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子
的个数为 ．（用含n的代数式表示）【答案】 /
【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案
比前一个图案多3个黑色棋子即可解决．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有 个黑色棋子，
第二个图形有 个黑色棋子，
第三个图形有 个黑色棋子，
…，
第n个图形有 个黑色棋子，
故答案为： ．
14．（2025·四川宜宾·中考真题）已知 、 、 、 、 是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个
数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ．
【答案】58
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关
键．
设 ，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设 ，那
么这四个不同的值可以表示为 （假设 与前面某一个数相等）且为这四个值
分别是45、46、47、48；再说明 ，然后分四种情况解答即可．
【详解】解：设 ，那么去掉 后和为 ；去掉 后和为 ；去掉 后和为；去掉 后和为 ；去掉 后和为 ；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设 ，
那么这四个不同的值可以表示为 （假设 与前面某一个数相等）．
∵这四个值分别是45、46、47、48，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，即 ；
当 时，即 ；
∴ ，解得： ，不是整数，不符合题意；
当 时，即 ；
∴ ，解得： ，符合题意；
当 时，即 ；
∴ ，解得： ，不是整数，不符合题意；
当 时，即 ；
∴ ，解得： ，不是整数，不符合题意；
综上， ，即 ．
故答案为：58．
三、解答题
15．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算
法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
16．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．
【详解】原式
．
当 时，
原式
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是
解题的关键．
17．（2023·广东广州·中考真题）已知 ，代数式： ， ， ．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：①当选择A、B时：，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化
简的方法．
专项练习
一、单选题
1．下列代数式中，属于多项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式的定义相混淆．
根据多项式的定义判定即可．
【详解】解：∵几个单项式的和叫做多项式，
故选项C中 是单项式a和 的和，符合定义，
故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）A．0不是单项式 B． 是多项式
C．单项式 的次数是8 D． 是二次二项式
【答案】D
【分析】本题考查单项式和多项式的定义.单项式是数字与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多项
式是几个单项式的和，单项式的次数是所有字母的指数和，根据定义求解即可.
【详解】解：∵ 0是数字，
∴ 0是单项式，A错误.
∵ π和2都是常数，
∴ 是单项式，不是多项式，B错误.
∵ 单项式 中，a的指数为1，b的指数为6，
∴ 次数为 ，C错误.
∵ 由两项组成，最高次项 的次数为2，
∴ 是二次二项式，D正确.
故选：D
3．将 用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
通过观察表达式，发现 与 相等，因此两项均含有公因式 ．
【详解】解： ，
∴ 原式 ．
∵ 两项都含有因式 ，
∴ 公因式是 ．
故选：C．4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方等内容，据此相关运算法则进行逐
项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项是错误的；
B、 ，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是正确的；
D、 ，故该选项是错误的；
故选：C．
5．将多项式 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，通过提取公因式 进行因式分解．
【详解】解： ，
故选：C．
6．若二次三项式 可分解为 ，则n的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数．将因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，即可
求出n的值．
【详解】解：∵ ，
又∵ 原式为 ，
∴ 比较 x 项系数得 ．故选：C．
7．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解是将多项式转化为几个整式的乘积形式，一一判断即可．
【详解】解：选项A是整式乘法，不是因式分解；
选项B中， 是乘积形式，属于因式分解；
选项C和D的右边均含有加法运算，不是纯乘积形式，不是因式分解；
∴属于因式分解的是B．
故选：B．
8．已知 ，则 的值为 （ ）
A． B．3 C． D．13
【答案】A
【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较
等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算 ．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴对应系数相等，
即 ， ，
由 得： ，
代入 ，得 ，
∴ ．
故选：A．
9．已知多项式 与 的乘积中不含 项，则常数b的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2【答案】A
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．
计算乘积 ，合并同类项后，令 项的系数为零，解出b即可．
【详解】解：
∵
，
又 不含 项，
∵
，
∴ ，
∴故选：A
10．观察下列代数式的排列规律： ， ， ， ，…，第n个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了单项式的规律，要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，
系数变化规律是 ，字母变化规律是 ，据此即可求解．
【详解】解：因为第一个单项式是 ；
第二个单项式是 ；
第三个单项式是 ，
第四个单项式是
…，
所以第n个单项式是 ．
故选：A．
二、填空题
11．下列式子：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，属于多项式的有 ．
（填序号）【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了多项式的定义．
根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和．
【详解】① ，是单项式 和 的和，因此是多项式；
② 分母中含有字母，是分式，不是多项式；
③ 是单项式 、 和 的和，因此是多项式；
④ 是单项式；
⑤ 是常数，是单项式；
⑥ 分母中含有字母，不是多项式；
故属于多项式的有①③．
故答案为：①③．
12．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键；原多项式根据完全平方公式因
式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
13．已知 ，则 ：
【答案】
196
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键；
根据指数运算法则，将 分解为 ，再代入已知条件计算即可．
【详解】解：由已知 ， ，则 ，
所以 ．
故答案为196．14．多项式 是关于 的五次三项式，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的相关概念，由多项式为五次三项式可得 ，且 ，求解即可，熟
练掌握多项式的相关定义是解此题的关键．
【详解】解：∵多项式 是关于 的五次三项式，
∴ ，且 ，
解 可得 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．单项式 的次数是7，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了单项式的次数，根据字母的次数之和为单项式的次数，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：单项式 的次数是 和 的指数之和，且单项式 的次数是7，
∴ ，
简化得 ，
解得 ，
因此 ，
故答案为：4
16．若多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，利用完全平方公式将多项式因式分解，比较系数求解．
【详解】解：∵多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
17．把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．
单项式集合：{ }；
多项式集合：{ }．
【答案】见解析
【分析】本题考查了对单项式、多项式定义的理解，掌握相关的定义是解决本题的关键．
根据单项式、多项式的定义逐个选出即可．
【详解】解：由题意可得，
单项式集合：{①⑥⑧}；
多项式集合：{②④⑤．
18．把下列多项式分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公
式）的分解方法．
（1）提取各项的公因式进行分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解；（3）将 看作整体，利用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．先化简，再求值．
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项
式，掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据平方差公式，完全平方公式进行化简，再合并同类项，最后代值计算即可；
（2）先根据幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式进行化简，再合并同类项，最后代值计算即可；
【详解】（1）解：
，
当 时，原式 ；（2）
，
，
当 时，
原式
．
20．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式 （ 为常数）是一个五次
三项式，单项式 的次数为6，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，多项式的相关概念，单项式的相关概念，代数式求值．
根据相反数的定义，倒数的定义，多项式的相关概念，单项式的相关概念求出相关数据，代入
计算即可．
【详解】解：因为多项式 是五次三项式，
所以 ，
即 ．
因为单项式 的次数为6，
所以 ，即 ．
因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，
所以 ．
所以
21．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解： ______；
(2)因式分解： ；
(3)因式分解：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了公式法因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用材料的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用材料的解题思路进行计算，即可解答；
（3）利用材料的解题思路进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：；
（3）解：
．
