文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题7 整式与因式分解
知识梳理
【考点一】单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单
项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定
它的次数为0．
【考点二】 多项式
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含
有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【考点三】 整式
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【考点四】 同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．
【考点五】 合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系
数的和，字母连同它的指数不变．
合并同类项的一般步骤：
【考点六】 去括号
1. 去括号方法
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所
得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的
乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac.
3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
【考点七】 整式的加减
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为
“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．
例如，−2(x−3x+5x−7x+6)=−2(−4x+6)=8x−12．
【考点八】 因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式.（2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止.
（3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变.
【考点九】公因式
1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式．
2、找出多项式的公因式的一般步骤：
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
【考点十】提公因式法分解因式
1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因
式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积．
【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号．
（2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式．
（3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公
因式后该项变为1，不要漏掉这一项．
【考点十一】用平方差公式分解因式
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3、运用平方差公式的条件
（1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数．
4、运用平方差公式分解因式的步骤:
一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与
正平方项交换放在后面．
二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项
式都必须用括号括起来，表示一个整体．
三套: 套用平方差公式进行分解．四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式．
拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是
常数，也可以是单项式或多项式．
【考点十二】用完全平方公式分解因式
1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ．
2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和
或差取决于乘积的2倍的符号．
3、完全平方式的特点：
①必须是三项式(或可以看成三项的)；
②有两个数或式的平方和；
③有上面两数之积的 ±2 倍．
4、运用完全平方公式分解因式的步骤:
一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式．
二定: 观察多项式特点,确定a，b．
三套: 套用完全平方公式进行分解．
四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简．
例题讲解
【题型1】 整式及整式有关的概念
◇典例1：
多项式(m−4)x|m−2|+x−5是关于x的二次三项式，则m取值为（ ）
A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次
数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
根据多项式的定义得|m−2|=2且m−4≠0，求解即可．
【详解】解：∵多项式(m−4)x|m−2|+x−5是关于x的二次三项式，
∴|m−2|=2且m−4≠0，
∴m=0，故选：A．
◆变式训练
1 a a+b 1
1.下列式子：− ， ，−π，−5x2y3，2x y2， ， ，其中属于单项式的是 ，属于多项式
3 3 2 2−x
的是 ，属于整式的是 ．
1 a a+b
【答案】 − ， ，−π，−5x2y3，2x y2
3 3 2
1 a a+b
− ， ，−π，−5x2y3，2x y2，
3 3 2
【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进
行分类．
①依据单项式的定义找出单项式；
②依据多项式的定义找出多项式；
③根据整式包含单项式和多项式确定整式．
【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，
1 a 1
− 是单独的数， 是数 与字母a的积，−π是单独的数，−5x2y3是数5与字母x，y的积，2x y2是数2
3 3 3
1 a
与字母x，y的积，所以单项式是− ， ，−π，−5x2y3，2x y2 ；
3 3
a+b a b a b a+b
②几个单项式的和叫做多项式， = + 是单项式 与 的和，所以多项式是 ，故（2）处填
2 2 2 2 2 2
a+b
；
2
1 a a+b
③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是− ， ，−π，−5x2y3，2x y2， ，
3 3 2
1 a
故答案为：①− ， ，−π，−5x2y3，2x y2
3 3
a+b
②
2
1 a a+b
③− ， ，−π，−5x2y3，2x y2，
3 3 2
2.下列说法中正确的是（ ）
3x2−5 5 3
A．多项式− 的常数项是 ，二次项的系数是−
4 4 4B．单项式−5πx y2z3的系数和次数分别是−5，7
π
C． 不是单项式
2
D．把x3+x y2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+x y2+x3+2x2y
【答案】A
【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答．
3x2−5 5 3
【详解】解：A、多项式− 的常数项是 ，二次项的系数是− ，本选项正确，符合题意；
4 4 4
B、单项式−5πx y2z3的系数和次数分别是−5π，6，本选项错误，不符合题意；
π
C、 是单项式，本选项错误，不符合题意；
2
D、把x3+x y2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+x y2+2x2y+x3，本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【题型2】 合并同类项
◇典例2：
若关于b的单项式bm与nb2024相加等于0，则mn ．
【答案】−2024
【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；
根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：bm与nb2024是同类项且和是0，
∴m=2024，n+1=0即n=−1，
∴mn=2024×(−1)=−2024，
故答案为：−2024．
◆变式训练
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．ac与ab B．3a与5a2 C．3ab2与5a2b D．a2b与−ba2
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故A选项不符合题意；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故B选项不符合题意；
C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故C选项不符合题意；
D、符合同类项的定义，是同类项，故D选项符合题意；故选：D．
2.请写出一个与−ab2为同类项的整式： ．
【答案】8ab2（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类项的知识．熟练掌握同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，是
解题的关键．
根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，书写即可，注意同
类项与字母的顺序无关．
【详解】解：如8ab2，答案不唯一．
故答案为：8ab2（答案不唯一）．
【题型3】 去（添）括号
◇典例3：
下列去括号正确的是（ ）
A．a+(b+c)=ab+c B．a2−[−(−a+b)]=a2−a−b
C．a+2(b−c)=a+2b−c D．a−(b+c−d)=a−b−c+d
【答案】D
【分析】本题考查了去括号法则的应用，能熟记去括号法则是解此题的关键．根据去括号法则逐个进行判
断即可．
【详解】A、a+(b+c)=a+b+c，但选项写为ab+c，错误，不符合题意；
B、a2−[−(−a+b)]=a2−[a−b]=a2−a+b，但选项结果为a2−a−b，符号错误，不符合题意；
C、a+2(b−c)=a+2b−2c，但选项写为a+2b−c，系数缺失，错误，不符合题意；
D、a−(b+c−d)=a−b−c+d，与选项一致，正确，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1 1 5
1.已知x=1 ，y=− ，z= ，则x−(−y)+(−z)=
3 2 6
【答案】0
【分析】根据去括号法则化简，再代入数字计算即可得到答案．
【详解】解：原式=x+ y−z ，
1 1 5
当x=1 ，y=− ，z= 时，
3 2 64 1 5
原式=x+ y−z= +(− )− =0 ，
3 2 6
故答案为0．
【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是去括号时注意符号的选取．
2.已知x−( )=x−y−z，则括号里的式子是（ ）
A．y−z B．z−y C．y+z D．−y−z
【答案】C
【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括
号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变．
根据添括号法则解答即可，注意符号变化．
【详解】解：根据题意将x−y−z添括号，x−y−z=x−(y+z)，
故选：C．
【题型4】 整式加减运算与化简求值
◇典例4：
我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即5+6=11，若a,b
满足|a−3|+(b+1) 2=0，则图2中y的值为 ．
【答案】27
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有a，b的代数式表示m和n，再表示出y即可．根据
绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值即可解决问题．
【详解】由题知，
m=ab2+a2b+ab2=a2b+2ab2；
n=a2b+ab2−3(a2b−a)=a2b+ab2−3a2b+3a=−2a2b+ab2+3a；
所以y=m+n=a2b+2ab2−2a2b+ab2+3a=−a2b+3ab2+3a．因为|a−3|+(b+1) 2=0，
所以a−3=0，b+1=0，
则a=3，b=−1，
所以y=−32×(−1)+3×3×(−1) 2+3×3=27．
故答案为：27．
◆变式训练
1.计算．
(1)2(x2−2xy)−3(y2−3xy)；
(2)(−x2+2xy−y2)−2(xy−3x2)+3(2y2−xy)．
【答案】(1)2x2−3 y2+5xy
(2)5x2−3xy+5 y2
【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）直接去括号进而合并同类项得出答案．
【详解】（1）解：2(x2−2xy)−3(y2−3xy)
=2x2−4xy−3 y2+9xy
=2x2−3 y2+5xy；
（2）解：(−x2+2xy−y2)−2(xy−3x2)+3(2y2−xy)
=−x2+2xy−y2−2xy+6x2+6 y2−3xy
=5x2−3xy+5 y2
2.设M=x2+4mx−3，N=2x2+4mx−2，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M
