文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块二 方程（组）与不等式（组）
专题1 一次方程（组）解法及应用
知识梳理
【考点一】一元一次方程的概念
1.方程：含有未知数的等式叫作方程．
2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次
方程。
细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。
【考点二】等式的基本性质
等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。
如果a=b，那么a±c=b±c
字母表达式为： ．
等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。
a b
如果a=b，那么ac=bc，或 = (c≠0)
c c
字母表达式为： ．
如果a=b、b=c，那么a=c。
等式的传递性
【考点三】一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相
等，则不是方程的解．
【考点四】一元一次方程应用题解题一般步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
【考点五】用一元一次方程解决实际问题的常见类型
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝ ×100%）；
（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作
量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S ＋S =S ；追及问题：S -S
甲 乙 总 快 慢
=S ；
相距
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
【考点六】二元一次方程（组）的定义
1.二元一次方程定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
x y2,
x y0
做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【考点七】解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【考点八】二元一次方程组的应用
一．解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程
步 组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100
【考点九】三元一次方程组的定义及应用
1.含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方
程组含有三个方程.
2.解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二
元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法.
示例：解方程组： { x+y=3 ① { y+z=5 ② { z+x=4 ③ 步骤演示： • 先消z：②-③得y-x=1 ④ • 结合①：
①+④得2y=4→y=2 • 回代求x=1，z=3
易错点：消元顺序不当导致计算复杂化（如先消y会出现分数）
例题讲解
【题型一】方程的解
◇典例1：关于m的方程 解为3，那么x的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两
边相等的未知数的值，据此把 代入方程 中求出x的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于m的方程 解为3，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
◆变式训练
1.已知 是方程组 的解，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义．
将 代入方程组即可求 的值．【详解】解：将 代入 中的②式得：
解得
故选：A．
【题型二】等式的基本性质
◇典例2：
设x，y，c是实数，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 若 ，则 ，故该选项错误，不合题意；
B. 若 ，则 ，故该选项正确，符合题意；
C. 若 ，则 ，故该选项错误，不合题意；
D. 若 ，则 ，即 ，故该选项错误，不合题意．
故选：B
◆变式训练
1.已知 ， ， 为有理数，若 ，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质 ：等式两
边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质 ：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得
等式．
【详解】解： 、∵ ，
∴ ，原选项变形正确，不符合题意；
、∵ ，
∴ ，原选项变形正确，不符合题意；
、∵ ，∴ ，原选项变形正确，不符合题意；
、∵ ，
∴当 与 不为零时， ，原选项变形不正确，符合题意；
故选： ．
【题型三】一元一次方程的有关概念
◇典例3：
下列各项中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义进行分析判断即可.
【详解】A选项中的方程 中有两个未知数，所以不是一元一次方程；
B选项中的方程 中有两个未知数，所以不是一元一次方程；
C选项中的方程 是一元一次方程，所以可以选C；
D选项中的式子 不是方程，所以不能选D.
故选C.
【点睛】熟知“一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做一
元一次方程”是解答本题的关键.
◆变式训练
1.若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，求解即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元一次方程，
∴ 且 ，
解得： ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数 元 ，且未知数的次数是 ，这样的方程叫
一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【题型四】一元一次方程的解法
◇典例4：
方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程3m=2m−1，移项得3m+2m=1
B．方程3=2−5(x−1)，去括号得3=2−5x−1
x−1 x
C．方程 − =1，可化为5(x−1)−2x=10
2 5
x−1 x+1 x−1 x+1
D．方程 − =1，可化为 − =10
0.2 0.5 2 5
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质和去括号法则进行运算即可判断求解，掌握等
式的性质和去括号法则是解题的关键．
【详解】解：A、方程3m=2m−1，移项得3m−2m=−1，该选项错误，不合题意；
B、方程3=2−5(x−1)，去括号得3=2−5x+5，该选项错误，不合题意；
x−1 x
C、方程 − =1，可化为5(x−1)−2x=10，该选项正确，符合题意；
2 5
x−1 x+1 10x−10 10x+10
D、方程 − =1，可化为 − =1，该选项错误，不合题意；
0.2 0.5 2 5
故选：C．
◆变式训练
1.）若代数式 的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 的值为5，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【题型五】二元一次方程（组）的有关概念
◇典例5：
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元
一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，
即可作答．
【详解】A．第一个方程含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．第一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.若关于x，y的二元一次方程 有两个解 和 ，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，根据题意可得方程组
，据此利用加减消元法即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程 有两个解 和 ，
∴
∴ 得 ，
故答案为： ．
【题型六】二元一次方程组的解法
◇典例6：
解方程组： ．【答案】 ．
【分析】本题考查了解二元一次方程组．用加减消元法求出其中一个未知数 的值，将求出的未知数的值
代入其中的一个方程求解，即可求解．
【详解】解： ，
① ②得： ，
解得： ，
将 代入①得
，
解得： ，
原方程组的解为 ．
◆变式训练
1.已知，方程3x﹣4y＝1，用含x的代数式表示y，就是y＝ ．
【答案】
【分析】要用含x的代数式表示y，就要将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，先移项，
再将系数化为1即可．
【详解】解：移项，得﹣4y＝﹣3x+1，
系数化为1，得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的
性质解题，可以把一个未知数当做已知数来处理．
【题型七】一次方程（组）的应用
1.行程问题
◇典例7：
如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是 ，从爱晚亭到祥云涧的路程是 ，从
祥云涧到观光长廊的路程是 ．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是 ，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是 ．
(1)用含 的代数式表示：
①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ；
②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ．
(2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了 ，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了
，所用时间比来时快了 ，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解：
（1）根据题意列代数式；
（2）根据题意列方程请求解．
【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程：
从观光长廊返回岳麓书院的平均速度：
从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程：
从岳麓书院到观光长廊的时间为：
从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总时间：
从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度：答案为：① ；② ．
（2）根据题意，得 ，解得 ．
答： 的值为 ．
◆变式训练
1.在古希腊，著名哲学家、数学家毕达哥拉斯和他的学生在阿提卡平原上步行相遇．毕达哥拉斯从雅典出
发，向东而行，到达马拉松需要9小时，而他的学生从马拉松出发，向西而行，到达雅典需要7小时．请
问他们同时出发到相遇，需要多少个小时？根据题意，假设x小时后相遇，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设路程为 ，根据题意毕达哥拉斯的速度为 ，他的学生
的速度为 ，设x小时后相遇，根据路程和为 ，列出方程，即可求解．
【详解】解：设x小时后相遇，根据题意可得 ，即
故选：C．
2.工程问题
◇典例8：
为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程
队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由
乙单独做正好完成．
(1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？
(2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为
缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？
若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作
(2)施工费用不够，见解析，需要追加 万元
【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
（1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要 天完成工期，根据题意列出分式方程求
解即可；
（2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要 天完成工期，
由题意可得： ，
解得：
经检验， 时， ，
则 是原分式方程的解，
答：甲单独做需要60天完成全部工作．
（2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，
由题意可得： ，
解得： ，
需要施工费用： ，需追加： （万元）
答：施工费用不够，需要追加 万元．
◆变式训练
中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某
市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每
天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工
作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？
【答案】 公司的工作时间为4天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设 公司的工作时间为 天，则 公司的工作时间为 天，利用工作总量 工作效率 工作时间，可
列出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设 公司的工作时间为 天，则 公司的工作时间为 天，
根据题意得： ，
解得： ．
答： 公司的工作时间为4天．
3.方案问题
◇典例9：
某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲 乙
成
12元/瓶 4元/瓶
本
售
18元/瓶 6元/瓶
价
(1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该
怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
(2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下：
方案一：购买乙种型号果汁一律打9折；
方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折．
某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案．
【答案】(1)当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最
大利润为108万元；
(2)当 时，选择方案一购买更合算；当 时，选择两优惠方案所需费用相同；当 时，
选择方案二购买更合算．
【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x
的取值范围，利用总利润 每瓶甲种号的果汁的销售利润 生产甲种型号的果汁量 每瓶乙种型号的果汁
的销售利润 生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题；
（2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为 元；选择方案而需费用为
元，分 及 三种情况，可求出y的直范围或y
的值，进而可得出结论．
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．【详解】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，
乙种型号的果汁生产了 万瓶，
据题意得：
解得： ，
∵公司所获利润为W元，
∴
∴
∵
∴W随x的增大而增大，
∴当 时，W取得最大值，最大值为 ，此时 ，
∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为
108万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为： 元，选择
方案二所需费用为： 元，
若 ，则 ，
当 时，选择方案一购买更合算；
若 ，则 ，
当 时，选择两优惠方案所需费用相同；
若 ，则 ，
当 时，选择方案二购买更合算．
∴当 时，选择方案一购买更合算；当 时，选择两优惠方案所需费用相同；当 时，
选择方案二购买更合算．
◆变式训练
某文具店购买笔记本和钢笔预算 元．笔记本5元/本，钢笔 元/支，至少买4支钢笔， 个笔记本，
则购买方式有 种．【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题关键是列出二元一次方程．
先设可再买笔记本 本，钢笔 支，再列出二元一次方程，然后求出它的非负整数解即可．
【详解】解：∵至少买4支钢笔， 个笔记本，
∴设可再买笔记本 本，钢笔 支，
则 ，
解得： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴购买方式有3种，
故答案为：3．
4.销售利润问题
◇典例10：
湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进 ， 两
款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表：
类别
款湘绣 款湘绣
价格
进价（元/件） 800 1400
售价（元/件） 980 1680
(1)该商场第一次用24400元购进了 ， 两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
(2)该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进 款湘绣的数量不少于 款湘绣的 ，则应如何设计进货方
案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1) 款湘绣购进 件， 款湘绣购进 件
(2)购进 款湘绣 件， 款湘绣 件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）等量关系式：购进 款湘绣的费用 购进 款湘绣的费用 元，列方程，即可求解；
（2）由不等关系求出 ，补货售完后获得利润 补货售完后 款湘绣所获得的利润 补货售完后 款
湘绣所获得的利润，由一次函数的性质，即可求解；找出等量关系式，能利用一次函数的性质进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设 款湘绣购进 件，则 款湘绣购进 件，由题意得
，
解得： ，
(件)，
答∶ 款湘绣购进 件， 款湘绣购进 件；
（2）解：设 款湘绣购进 件，则 款湘绣购进 件，补货售完后获得利润为 元，
，
解得： ，
，
，
随 的增大而增大，
当 时， 取最大值，
最大值为 (元)，
(件)，
答∶购进 款湘绣 件， 款湘绣 件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是 元．
◆变式训练
近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃
娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价
多3元．
(1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元?
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买
A种娃娃多少个?
【答案】(1)每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元
(2)最多购买A种娃娃66个
【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键．（1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是 元，根据题意列出一元一
次方程即可得到答案；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃 个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是 元．
由题意可得 ，
解得 ，
则 ．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃 个．
，
解得 ，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
5.分配问题
◇典例11：
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价
几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，
问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（ ）
A．53 B．56 C．59 D．62
【答案】A
【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．
【详解】解：设人数为x，
由题意得：
解得： ，
∴该物品价值的钱数为 ，
故答案选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示．
◆变式训练
《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意如下：有几个小伙伴一起去买一件物品，如果每个人出6元
钱，则会少2元；若每个人出7元，则会多6元．若设人数为x人，物品的价格为y元，则根据题意可列方
程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”
的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．在本题中根据“ 人数
物品价格、物品价格 人数 ”可得方程组．
【详解】解：设人数为x人，物品价格为y元，
根据题意，每个人出6元钱会少2元，则总共需要支付 元，每个人出7元钱会多6元，则总共需要
支付 元，由于物品价格不变，所以可以列出方程组： ．
故选：A．
6.和差倍分问题
◇典例12：
某班在一次美化校园的劳动中，先安排35人打扫卫生，15人拔草，后又增派10人去支援，结果打扫卫生
的人数是拔草人数的2倍，若设支援打扫卫生的同学有x人，则下列方程正确的是( ) ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设支援打扫卫生的人数有x人,则支援拔草的人数有
人，依据题意列方程即可作答．
【详解】设支援打扫卫生的人数有x人,则支援拔草的人数有 人，
依题意有： ，故选：B．
◆变式训练
足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4
场共得19分，那么该队胜了（ ）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了 场，根据
题意列出方程进行求解即可．
【详解】解：设该队胜了 场，故平了 场，
，
解得 ．
故一共胜了 场．
故选：D．
7.几何问题
◇典例13：
如图，某小区进行项目改造：在一块长 、宽 的长方形场地 上，分别设计与 ， 平行
的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草
坪的两边 ；
(1)求通道的宽是多少m?
(2)如果通道造价为40元/ ，草坪造价为100元/ ，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用
的前提下，完成该项目需要多少钱?
【答案】(1)通道的宽是
(2)完成该项目需要20880元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设通道的宽为 ，由题意根据 可列方程进行求解；（2）由（1）可得 ，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设通道的宽为 ，由题意得：
，
解得： ；
答：通道的宽是 ．
（2）解：由（1）得： ，
∴草坪的面积为 ，通道面积为 ，
∴ （元）；
答：完成该项目需要20880元．
◆变式训练
某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配
成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（ ）
A．140 B．150 C．160 D．180
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数解问题，根据题意列出二元一次方程是解题的关键；先设能
裁剪成小长方形的纸板为x张，那么裁剪成正六边形的纸板为 张，根据小长方形和正六边形正好
配套列出二元一次方程即可得到答案；
【详解】解：由题可得： ，
整理得： ，
∵ 都为正整数；
∴ 只要取14的倍数即可；
故选：A．真题在线
一、单选题
1．（2025·贵州·中考真题）已知 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的解，
∴
∴
故选C．
2．（2023·四川乐山·中考真题）方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换
元法计算即可．
【详解】解：设 ，则 ， ，
，
解得： ，
∴ ， ，
∴方程组的解为： ．
故选：D．
3．（2023·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑
酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷
子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有 斗，根据
题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设清酒x斗，则醑酒 斗，根据题意正确列方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒 斗，
由题意可得： ，
故选：D．
4．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，
直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；
2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、
5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴ ；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴ ．
∴根据题意可列出方程组 ．
故选：D．
5．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；
若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为 元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为 元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95
元可得风扇的进价为 元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
∴这款风扇每台的标价为350元，
故选：A．
6．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金
出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适
重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的 ，第2关收税金为此
时所持金的 ，第3关收税金为此时所持金的 ，第4关收税金为此时所持金的 ，第5关收税金为此时
所持金的 五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（ ）
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为
斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得 即可．
【详解】解：由题意，第1关收税： ，剩余 ，
第2关收税： ，剩余 ，
第3关收税： ，剩余 ，
第4关收税： ，剩余 ，
第5关收税： ，则五关税金之和为 ，
根据题意，总税金为1斤，得 ，
解得
故原本持金为 斤，
故选：A．
7．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李
白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意
为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
A．1斗 B． 斗 C． 斗 D． 斗
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒 斗，根据题意列方程解应用题即可．
【详解】解：设李白的壶中原来有酒 斗，
，
解得： ，
故答案为：B．
8．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程 的正整数解有1组，
的正整数解有2组， 的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程 的正整数解
有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把 看作整体 ，得到 的正整数解有 组；再分
析 分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三
元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【详解】解：令 ，
则 的正整数解中 的值可以为： ， ， ，9，11，13
∴ 的正整数解有 组，
又∵ 的正整数解有 组；
的正整数解有 组；
的正整数解有 组；
的正整数解有 组；
的正整数解有 组；
的正整数解有 组；
∴方程 的正整数解组数为： ．
故选：B．
二、填空题
9．（2025·广东深圳·中考真题）若关于 的方程 的解为 ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是
解题关键．把 代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4．
10．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组 的解为 则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
【详解】解：得， ，
解得 ，
将 代入 得， ，
解得 ，
该方程组的解为 ，
∴ ， ，
，
故答案为：1．
11．（2025·陕西·中考真题）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦
采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 ．已知小康平均每小时采摘 ，小悦平
均每小时采摘 ，小康采摘的时长是 小时．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草
莓比小悦多 得出等式求出答案．
【详解】解：设两小组采摘了 小时，
依题意： ，
解得： ，
因此，两小组采摘了 小时．
故答案为： ．
12．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意
是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比
竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
【答案】15
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就
比竿短 尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺，根据题意得： ．
解得：
故答案为15．
三、解答题
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲
型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多
少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型6元，乙型8元
(2)20盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙
型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，
解方程组即可；
（2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯 盏，根据购买资金不超过360元，列
出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为 元、 元，
由题意，得
，
解得 ，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．（2）解：设购买 盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯 盏，
由题意，得
解得， ，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
14．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前
往距离学校 的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．
(1)一部分师生乘大巴车先行，出发 后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知
中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计
2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
【答案】(1)80
(2)190
【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．
（1）设大巴车的速度为 千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程
求解；
（2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．
【详解】（1）设大巴车的速度为 千米/小时，则中巴车速度为 千米/小时．
根据题意，可列方程： ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：大巴车的速度是80千米/小时．
（2）设参加本次活动的学生人数是 人，则成人人数为 人，
根据题意，可列方程： ，
解得 ．
答：参加本次活动的学生人数是190人．
15．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种
文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且
不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，
每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为
a元（ 且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本 元，每个B纪念品的成本 元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本 元，每个B纪念品的成本 元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和
是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出 关于 的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本 元，每个B纪念品的成本 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：每个A纪念品成本 元，每个B纪念品的成本 元；
（2）解：由题意得， ，
∵ ，对称轴为直线 ， 且a为整数，
∴当 时， 取最大值，
答：当 时，每天的利润W最大．
专项练习
一、单选题
1．通过移项将下列方程变形，正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得【答案】C
【分析】本题考查方程移项变形的规则，移项时把含未知数的项放在方程左边，把常数项放在方程右边，
据此根据等式的性质求解判断即可．
【详解】解：A、由 ，移项得 ，原方程变形错误，不符合题意；
B、由 ，移项得 ，原方程变形错误，不符合题意；
C、由 ，移项得 ，原方程变形正确，符合题意；
D、由 ，移项得 ，原方程变形错误，不符合题意；
故选：C．
2．已知方程组 的解满足 ，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得
，进而得到方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：
得 ，
∴ ，
∵方程组 的解满足 ，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
3．下列各组数值中，方程 的解是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的解的定义把每个选项中的 、 的值代入验证即可．
【详解】解： 、把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，所以 不是
方程 的解，故此选项不符合题意；
、把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，所以 不是方程
的解，故此选项不符合题意；
、把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，所以 是方程
的解，故此选项符合题意；
、把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，所以 不是方程
的解，故此选项不符合题意；
故选： ．
4．下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键点在于严格依据等式的基本性质进行判断， 等式两边同
时乘（或除以）同一个不为 的整式，等式仍然成立；等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍
然成立；根据性质逐项判断即可．
【详解】选项A、若 ，则 （等式性质：两边同减同一数，等式仍成立），选项A结论正确，
不符合题意；
选项B、若 ，则 ，（等式性质：两边同乘同一个非零数，等式仍成立），选项B结论正确，不
符合题意；选项C、若 ， ，则 （等式性质：两边同除同一非零数，等式仍成立），选项
C结论正确，不符合题意；
选项D、若 ， 时，则 不一定成立，选项D结论错误，符合题意．
5．解方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程，掌握“去分母”、“最小公倍数”、“整体思想”是解题的关键，去
分母时，方程两边同时乘 和 的最小公倍数 ，常数项不能漏乘，并且，分子是多项式时要加括号．
【详解】解： ，
方程两边同时乘 ，得： ，
，
故选：B．
6．平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫
砂茶具，每套茶具中 把茶壶配 只茶杯，用 kg黏土可制作 把茶壶或 只茶杯，现在要用 kg黏土制作
茶具．若设用 黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是能够根据题意列出方程求解；
根据茶壶与茶杯数量之比是 时正好配套来列方程即可．【详解】解：设用 黏土制作茶杯，
由题意得：茶壶的数量为： 把，
茶杯的数量为： 只，
又∵每套茶具中 把茶壶配 只茶杯，
∴可列方程： ，
故答案选：D．
7．某工厂去年的总利润为 万元，今年的总收入比去年增加了 ，总支出比去年减少了 ，今年的
总利润为 万元，小明列出二元一次方程组 ，刻画这一情境中的等量关系，
则方程组中的 表示的未知量分别为（ ）
A．今年的总收入为 万元，总支出为 万元
B．今年的总支出为 万元，总收入为 万元
C．去年的总支出为 万元，总收入为 万元
D．去年的总收入为 万元，总支出为 万元
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等
量关系，列出相应的方程组．通过方程组中的第一个方程 直接对应去年的利润 万元，可知
和 分别表示去年的总收入与总支出；第二个方程 表示今年调整后的收入与
支出差等于今年利润 万元，进一步验证 和 为去年量．
【详解】解：∵去年利润 总收入 总支出 万元，
∴第一方程 中， 表示去年总收入， 表示去年总支出，
∵今年收入比去年增加 即为 ，支出比去年减少 即为 ，且今年利润为 万元，
∴第二方程 成立，
∴ 分别表示去年的总收入与总支出，
即：去年的总收入为 万元，总支出为 万元
故选：D．8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：60匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马
能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 匹，小马有 匹，那么可
列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据总马数为60
匹，可得 ；根据总瓦数为100片，大马拉 片，小马拉 片，可得 ．
【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，
∵总马数为60匹，
∴ ，
∵1匹大马拉3片瓦，3匹小马拉1片瓦（即1匹小马拉 片瓦），总瓦数为100片，
∴ ，
故可列方程组为 ．
故选：B．
9．某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了 ，出售B商品商
店盈利了 ，则这个商店在本次交易中（ ）
A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设 商品的成本价
为 元， 商品的成本价为 元，根据题意建立方程，分别求出 的值，再比较总售价与总成本价的大
小，由此即可得．【详解】解：设 商品的成本价为 元， 商品的成本价为 元，
由题意得： ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ 两种商品的总售价为 ，即总售价小于总成本价，
∴这个商店在本次交易中亏损，
故选：A．
10．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为
，将4个碗叠放时总高度为 ．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度
至少有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设一个碗的高度为 ，增加一个碗高度增加 ，根据用2只碗叠放时总高度为 ，用4只碗叠放
时总高度为 ，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】解：设一个碗的高度为 ，增加一个碗高度增加 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴10个碗叠成一列高度为 ，
即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有 ．
故选：C．二、填空题
11．若 是二元一次方程 的一个解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方
程的解代入方程，求出 ，再整体代入求值即可.
【详解】解：把 代入 得： ．
则 ．
故答案为： ．
12．已知 是关于 的一元一次方程 的解，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将 代入方程求解m．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程 的解，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
13．如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．一根露出水面的长度是它本身长度的 ，另一根露出水面
的长度是它本身长度的 ，两根铁棒的长度之和为 设此时水桶中水的深度是 ，则可列方程为
．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．根据一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ，两根铁棒长度之和为 列方程即
可得到结论．
【详解】解：根据题意得， ，
故答案为： ．
14．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、
燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，
聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和
6只燕总重1斤，则1只雀重为 斤；1只燕重为 斤．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．根据题意，互换一
只雀和一只燕后两边平衡，可得方程 ；由总重可得方程 ，解方程组即可．
【详解】解：设一只雀重 斤，一只燕重 斤，根据题意得：
，
解方程组得： ，
即：雀重 斤，燕重 斤．
故答案为： ； ．
15．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表：
（1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需 元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需 元，那
么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元；
（2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共 杯，共消费了 元，若杨枝甘露
元/杯，清补凉椰椰 元/杯，芝士杨梅 元/杯，则芝士杨梅买了 杯．【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一
次方程以及二元一次方程组是解此题的关键．
（1）设每杯百香双重奏的价格为 元，每杯芝士葡萄的价格为 元．根据2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄
共需 元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需 元列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设老师购买芝士杨梅 杯，杨枝甘露 杯，则购买清补凉椰椰 杯，
利用总价单价数量列出二元一次方程，根据 、 、 均为正整数，解方程即可得出答案．
【详解】解：（1）设每杯百香双重奏的价格为 元，每杯芝士葡萄的价格为 元．
由题意，得 ，
，得 ,
故购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元．
故答案为： ．
（2）设老师购买芝士杨梅 杯，杨枝甘露 杯，则购买清补凉椰椰 杯，
由题意，得 ，
化简，得 ，
∴ ，
又∵ 、 、 均为正整数，
∴ ， ，
∴芝士杨梅买了 杯，
故答案为： ．
16．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2
元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个
月实际用水为 立方米．
【答案】14
【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．根据水费分段收费规则建立方程求解即可．
【详解】解：设该职工这个月实际用水x立方米，根据题意，得
，
化简得 ，
即 ，
解得 ．
故答案为：14．
三、解答题
17．解方程组：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
(1)利用代入消元法进行计算，即可解答；
(2)利用加减消元法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
把①代入②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
原方程组的解为： ；（2）
①+②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
原方程组的解为：
18．解一元一次方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键．
（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（3）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（4）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可．
【详解】（1）解：去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得 ；
（2）解：去括号，得移项、合并同类项，得
化系数为1，得 ；
（3）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得 ；
（4）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得 ．
19．学校计划购买10副羽毛球拍和x筒羽毛球 ，已知甲、乙两家体育用品商店的标价均相同，一
副羽毛球拍的标价为60元，一筒羽毛球的标价为20元．现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲
店：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；乙店：所有商品均打八折．
(1)学校在甲店购买羽毛球拍和羽毛球的总费用为 元，在乙店购买羽毛球拍和羽毛球的总费用为 元 结果
用含x的式子表示
(2)若学校去甲店购买与去乙店购买所花费的总费用相同，则学校计划购买多少筒羽毛球？
(3)若 ，则学校选择哪家商店购买羽毛球拍和羽毛球更省钱？
【答案】(1) ；
(2)学校计划购买20筒羽毛球
(3)学校选择去乙店购买羽毛球拍和羽毛球更省钱
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
（1）根据甲店：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；乙店：所有商品均打八折，分别列代数式即可；
（2）根据去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，列出一元一次方程，解方程即可；
（3）将 分别代入代数式求得甲、乙两店购买球拍和球的总费用，再比较即可．
【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为： （元 ，在乙店购买球拍和球的总费用为： （元 ，
故答案为： ， ；
（2）解：学校购买羽毛球 筒 ，
由题意得： ，
解得： ，
答：学校计划购买20筒羽毛球；
（3）解：当 时，在甲店购买羽毛球拍和羽毛球的总费用为 元 ，
在乙店购买羽毛球拍和羽毛球的总费用为 元
因为 ，
所以学校选择去乙店购买羽毛球拍和羽毛球更省钱.
20．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻
辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进
行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表：
魔 数独
方 棋
进价
5 30
（元/个）
标价
12 50
（元/个）
(1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？
(2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共
获利多少元？
【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个
(2)852元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得 ，然后进行求解即可；
（2）根据（1）及题意可直接列式进行求解．
【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得：根据题意得 ，
解得 ；
答：该商店购进魔方120个，数独棋40个．
（2）解：由题意得：
（元）
答：该商店共获利852元．
21．每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健
康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的
采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元．
(1)羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？
(2)该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420
元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价．
【答案】(1)羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副
(2)每个排球的采购价为75元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组、分
式方程．
（1）设购进 副羽毛球拍， 副网球拍，根据羽毛球拍和网球拍共100副，一共花了7250元，列出方程
组，求解即可；
（2）设每个排球的采购价为 元，则每个篮球的采购价为 元，根据数量＝总价÷单价，篮球数
量比排球多14个，列出分式方程，求解即可．
【详解】（1）解：设购进 副羽毛球拍， 副网球拍，
依题意得： 解得
答：羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副．
（2）解：设每个排球的采购价为 元，则每个篮球的采购价为 元，依题意得： ，解得 ．
经检验： 是原方程的解，且符合题意．
答：每个排球的采购价为75元．
