文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题1 平面直角坐标系
知识梳理
【考点一】平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；
两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象
限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
【考点二】点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位
置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
a≠b
时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
【考点三】各象限内点的坐标的特征
⇔x>0, y>0
点P(x,y)在第一象限
⇔x<0, y>0
点P(x,y)在第二象限
⇔x<0, y<0
点P(x,y)在第三象限
⇔x>0, y<0
点P(x,y)在第四象限
【考点四】坐标轴上的点的特征
⇔ y=0
点P(x,y)在x轴上 ，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上⇔x=0
，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
x +x y + y
中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x ，y )，B(x ，y )，则线段AB的中点坐标为( 1 2， 1 2)
1 1 2 2
2 2
【考点五】两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等，x=y
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数，x= -y
【考点六】和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
【考点七】关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐
标是(x，－y)
点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，点P(x，y)关于y轴对称的对称点的
坐标是 (－x，y)
点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，点P(x，y)关于原点对称的对称点的坐标是
(－x，－y)．
【考点八】点到坐标轴及原点的距离
|y|
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
|x|
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
√x2 +y2
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
【考点九】点的平移
点P(x,y)沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是（x±m,y）；点P(x,y)沿y轴向上（或向
下）平移n个单位后对应点的坐标是（x,y±n）.
例题讲解
【题型一】坐标系基本概念辨析
◇典例1：
在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1.如果点 在第二象限，则 关于 轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.在平面直角坐标系中，点 在第 象限．
【题型二】点的坐标特征
◇典例2：
在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A． 轴正半轴上 B． 轴负半轴上 C． 轴正半轴上 D． 轴负半轴上
◆变式训练
1.如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ， 轴．若 ， ，
， 则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.对于边长为 的等边三角形 ，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐
标系，则点 的坐标为 ．
【题型三】对称点坐标特征
◇典例3：
在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 的立方根为（ ）
A． B． C．1 D．2
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则代数式 的值为 ．
【题型四】点到坐标轴及原点的距离
◇典例4：
平面直角坐标系中，第三象限内的点 到 轴的距离是4，则 的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标
为（）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，且 轴，则点M的坐标为
．
【题型五】平行与坐标轴的直线上的坐标特点
◇典例5：
已知直线 轴，且 ，则 的长为( )
A．4 B．5 C．9 D．15
◆变式训练
1.已知M、N两点分居y轴两侧， 且 轴， ，则点N坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.已知点 ，若点Q的坐标为 ，且直线 轴，则点P的坐标为 ．
【题型六】图形平移与坐标变化
◇典例6：
在平面直角坐标系中，将点 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标
是（ ）
A． B． C． D．◆变式训练
1.点 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上， ， ，将线段 平移至 ，若点 ，
的坐标分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ．现将矩形 平移到矩形
位置，使 点平移到点 位置，则 点的坐标为 ．
【题型七】用坐标描述地理位置
◇典例7：
王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对 表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置
用数对 表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作 ，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）．
A． B． C． D．
2.如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为， ，按照此方法在表示目标E的位置为 ．
【题型八】由坐标确定图形形状与面积
◇典例8：
如图，已知点 ，动点 在 轴上，且 的面积为 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
◆变式训练
1.如图，矩形 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形 的
边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运
动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（ ）A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 为 轴上一动点，以 为边在直线
的右侧作等边三角形 ．若点 为 的中点，连接 ，则 长的最小值为 ．
【题型九】简单旋转后的点的坐标
◇典例9：
如图，边长为2的等边 的边 在x轴上，将 绕原点O逆时针旋转 得到等边 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点 的坐标为 ，点 、 均在 轴上．将
绕顶点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
2.如图，等边 的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上， ，将等边 绕原点顺时针旋转
至 的位置，则点 的坐标为 ．
【题型十】坐标规律探究
◇典例10：
如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次接着运
动到点 ，第3次接着运动到点 …按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，…，是等腰直角三角形，它们的斜边
都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若 的顶点坐标分别为 ， ，
，则按图中规律排列，点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
2.如图，四边形 是正方形，曲线 …叫做“正方形的渐开线”，其中弧 、弧 、弧 、
弧 、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为 ，按此规律进行下去，则点 的坐标
为 ．
【题型十一】动点坐标表示及分类讨论
◇典例11：
如图①，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，过C作 轴于点B．
(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图②，若过点B作 交y轴于点D．且 ， 分别平分 ， ．求 的度数：
(3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从
点B出发在射线 上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形 和三角形
的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
◆变式训练
1.如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 ， ，点C在y轴上，且
轴，a、b满足 ，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着
的路线运动(回到O为止)．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______；
(3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？
【题型十二】坐标与几何图形综合
◇典例12：
长方形 位于平面直角坐标系中平行移动．
(1)如图1，若 轴且点A的坐标 ，点C的坐标为 ，在边 上有动点P，过点P作直线
交 边于点Q，并使得 ．①当 时，求P点的坐标．
②当在直线 上存在一点M，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．
(2)如图2，若 轴且A、B关于x轴对称，连接 、 、 ，且 平分 ，求证：
◆变式训练
1.如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ， 满足 ．
(1)如图1，填空：点 的坐标为______，点 的坐标为_____；若以 为斜边构造等腰直角 ，则点
的坐标______；
(2)如图2，已知等腰直角 中， ， ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
①若 是 的角平分线，求证： ；
②探究：如图3，连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合）， 的大小是否发生变化？
若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由．
真题在线
一、单选题
1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标
分别为 、 ，则“强”的坐标为（ ）
A． B． C． D．2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪
一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别是 ，
， ， ，则四边形 的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．97．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一
行第一列瓷砖的位置记为 ，其右边瓷砖的位置记为 ，其上面瓷砖的位置记为 ，按照这样的
规律，下列说法正确的是（ ）
A． 位置是B种瓷砖 B． 位置是B种瓷砖
C． 位置是A种瓷砖 D． 位置是B种瓷砖
8．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它
关于点 中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在函
数图象上，这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题
9．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，且a，b满足
，则点A在第 象限．10．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点 在第三象限，则 的取值范围是
．
11．（2011·湖北十堰·中考真题）如图，平行四边形 的顶点 的坐标分别是 、 、
，则点 的坐标为 ．
12．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向
下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点 那么点 的坐标
为 ．
三、解答题
13．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形 的顶点在方格纸的格点上，其中 ， ， 的坐
标分别为 ， ， ．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）．(1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心 的坐标和点 的对应点 的坐标；
(2)将菱形 平移，使点 的对应点为点 ，画出平移后的菱形．
14．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系 ，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为 ， ， ， ．
(1)以点D为旋转中心，将 旋转 得到 ，画出 ；
(2)直接写出以B， ， ，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线 平分 ，写出点E的坐标．
15．（2023·山东淄博·中考真题）若实数 ， 分别满足下列条件：
（1） ；
（2） ．
试判断点 所在的象限．
专项练习
一、单选题
1．小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为 ，那么小华坐在第5列第2行应表示为
（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的顶点坐标在第几象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法正确的是（ ）
A．点 在x轴上
B．点 在第二象限
C．若 ，则点 在第一或第三象限
D．点 到x轴的距离是2
4．已知点 在x轴上，则A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知A点的坐标为 ， 轴，且 ，则B点的坐标为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
6．若点 在第二象限，则点 到 轴， 轴的距离分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
7． 为等边三角形，如图，以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，
建立平面直角坐标系，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
9．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定
义点 的“笛卡尔变换”为： ．已知点 的坐标为 ，则经过2025次笛卡尔
变换后得到的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次接
着运动到点 ，第3次接着运动到点 …按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知点 在x轴上，则 ．
12．点P在第三象限，且到x轴距离为4，到y轴距离为3，则P的坐标是 ．
13．在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点的坐标是 ，点P关于y轴对称的点在第
象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是 ）对称的点的坐标是 ．
14．如图，已知等腰 ， ，斜边 交 轴正半轴于点 ，若 ，则点 的坐标为
．15．如图，在平面直角坐标系 中，直线 轴于点 ．点B从点A出发以每秒2个单位长度
的速度沿 方向运动，同时点C从点A出发在射线 上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到
点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若 与 全等，则 的长度为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为2的正方形 分别在y轴正半轴与x轴正半轴
上，P点坐标为 ，将P点关于A对称得到 ，将 关于O点对称得到 ，将 关于C点对称得到 ，
将 关于B点对称得到 ，将 关于A点对称得到 ，按照顺序以此类推，则 的坐标为
．
三、解答题
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个
顶点 、 、 均在格点上．(1)将 向下平移 个单位得到 ，并写出点 的坐标；
(2)画出 绕点 逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．
18．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 与点 关于 轴对称．
(1)写出点 的坐标，并在图中画出点 ；
(2)画出 关y轴对称的 ；
(3)求出 的面积；
19．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点 ，规定P的“特征值” 为横坐标的绝对值
的2倍与纵坐标的绝对值之和，即 ．
(1)求点 的“特征值” ．(2)若点B在第二象限且满足“特征值” ，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积．
20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大
值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．
(1)点 到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，点A的“短距”为 ．
(2)若点 是“完美点”，求a的值．
(3)若点 的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为 ，试说明：点D是“完
美点”．
21．如图，已知点 ，点 ，点 ，且 ， 满足 ．
(1)求点 ， ， 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，点 是第三象限内一点， ， ；
①求点 的坐标；
②连接 交 轴于 ，求点 的坐标．
