文档文本内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题7 整式与因式分解
知识梳理
【考点一】单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单
项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定
它的次数为0．
【考点二】 多项式
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含
有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【考点三】 整式
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【考点四】 同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．
【考点五】 合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系
数的和，字母连同它的指数不变．
合并同类项的一般步骤：
【考点六】 去括号
1. 去括号方法
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所
得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的
乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac.
3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
【考点七】 整式的加减
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为
“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．
例如，−2(x−3x+5x−7x+6)=−2(−4x+6)=8x−12．
【考点八】 因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式.（2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止.
（3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变.
【考点九】公因式
1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式．
2、找出多项式的公因式的一般步骤：
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
【考点十】提公因式法分解因式
1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因
式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积．
【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号．
（2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式．
（3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公
因式后该项变为1，不要漏掉这一项．
【考点十一】用平方差公式分解因式
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3、运用平方差公式的条件
（1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数．
4、运用平方差公式分解因式的步骤:
一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与
正平方项交换放在后面．
二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项
式都必须用括号括起来，表示一个整体．
三套: 套用平方差公式进行分解．四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式．
拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是
常数，也可以是单项式或多项式．
【考点十二】用完全平方公式分解因式
1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ．
2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和
或差取决于乘积的2倍的符号．
3、完全平方式的特点：
①必须是三项式(或可以看成三项的)；
②有两个数或式的平方和；
③有上面两数之积的 ±2 倍．
4、运用完全平方公式分解因式的步骤:
一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式．
二定: 观察多项式特点,确定a，b．
三套: 套用完全平方公式进行分解．
四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简．
例题讲解
【题型1】 整式及整式有关的概念
◇典例1：
多项式 是关于 的二次三项式，则 取值为（ ）
(m−4)x|m−2|+x−5 x m
A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1
◆变式训练
1 a a+b 1
1.下列式子：− ， ，−π，−5x2y3，2x y2， ， ，其中属于单项式的是 ，属于多项式
3 3 2 2−x
的是 ，属于整式的是 ．
2.下列说法中正确的是（ ）
3x2−5 5 3
A．多项式− 的常数项是 ，二次项的系数是−
4 4 4B．单项式−5πx y2z3的系数和次数分别是−5，7
π
C． 不是单项式
2
D．把x3+x y2−y3+2x2y按y的降幂排列为−y3+x y2+x3+2x2y
【题型2】 合并同类项
◇典例2：
若关于b的单项式bm与nb2024相加等于0，则mn ．
◆变式训练
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．ac与ab B．3a与5a2 C．3ab2与5a2b D．a2b与−ba2
2.请写出一个与−ab2为同类项的整式： ．
【题型3】 去（添）括号
◇典例3：
下列去括号正确的是（ ）
A． B．
a+(b+c)=ab+c a2−[−(−a+b)]=a2−a−b
C．a+2(b−c)=a+2b−c D．a−(b+c−d)=a−b−c+d
◆变式训练
1 1 5
1.已知x=1 ，y=− ，z= ，则x−(−y)+(−z)=
3 2 6
2.已知x−( )=x−y−z，则括号里的式子是（ ）
A．y−z B．z−y C．y+z D．−y−z
【题型4】 整式加减运算与化简求值
◇典例4：
我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即5+6=11，若a,b
满足 ，则图2中y的值为 ．
|a−3|+(b+1) 2=0◆变式训练
1.计算．
(1) ；
2(x2−2xy)−3(y2−3xy)
(2) ．
(−x2+2xy−y2)−2(xy−3x2)+3(2y2−xy)
=5x2−3xy+5 y2
2.设M=x2+4mx−3，N=2x2+4mx−2，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M<N D．无法确定
【题型5】因式分解的意义
◇典例5：
下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
x2+5x−1=x(x+5)−1 16x2y=2x2 ⋅8 y
C． D．
(x+2)(x−2)=x2−4 am+an=a(m+n)
◆变式训练
1.下列由左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
a2+5a+6=(a+2)(a+3) (a+3)(a−3)=a2−9
C． D．
a2−b2−1=(a+b)(a−b)−1 6ab=3a⋅2b
2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
(x−2)(x+2)=x2−4 x(x+1)=x2+x
C． D．
x2+2x−3=x(x+2)−3 y2−3 y= y(y−3)
【题型6】 确定公因式
◇典例6：
在多项式6x2y−xb2+xc中，各项的公因式是（ ）
A．y B．6x C．x2 D．x
◆变式训练
1.将多项式4x y2z−8x2y2z−6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．xyz2 B．8xy C．2xyz D．24x2y2z2
2.多项式m2−2m与多项式m2−4m+4的公因式是（ ）A． B． C． D．
m+2 m−2 (m−2)(m+2) (m−2) 2
【题型7】 用提公因式法分解因式
◇典例7：
分解因式 的正确结果是（ ）
x2(y−3)+x(3−y)
A． B．
(y−3)(x2+x) x(y−3)(x+1)
C． D．
(y−3)(x2−x) x(y−3)(x−1)
◆变式训练
1.用提公因式法将下列各式分解因式．
(1)−4a3b2+12a2b−4ab；
(2) ．
(a2−ab)+c(a−b)
2.用提公因式法将下列各式分解因式．
(1)m(a−2)+n(2−a)；
(2) ；
(a2−ab)+c(a−b)
(3)x(x−y)(a−b)−y(y−x)(b−a)．
【题型8】 判断能否用公式法分解因式
◇典例8：
下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
a2
①a2−2a−1；②−x2−y2；③−x2+ y2；④ −a+1；⑤a2−4ab+4b2．
4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1.下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
1
A．a2+a− B．−a2−b2+2ab C．−a2+25b2 D．4−9b2
4
1 1
2.在因式①−x2−y2；②− a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2x−y2；⑤ −mn+m2n2中，能用公式
4 4
法分解因式的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型9】 用平方差法分解因式
◇典例9：
下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
a2+(−b) 2 5m2−20mn −x2−y2 −x2+9
◆变式训练
1.多项式 x2−25因式分解的结果是 （ ）
A． B．
(x−5) 2 (x+5) 2
C．(x+5)(x−5) D．x(x−25)
2.分解因式：
(1) ；
a2(x−y)+b2(y−x)
(2) (a2+b2) 2 −4a2b2 ．
【题型10】用完全平方公式分解因式
◇典例10：
下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2−1 B．4x2+4x+4
C．x2+2x+1 D．x2−2x−1
◆变式训练
1.将多项式x2−8x+16分解因式为（ ）
A． B． C． D．
(x+4) 2 (x−4) 2 (x+2) 2 (x−2) 2
2.把下列各式因式分解：
(1)a2+8a+16；
(2)−4mn−4m2−n2；
(3) ；
(a+2b) 2+6(a+2b)+9
(4)(x−1)(x−3)+1．真题在线
一、单选题
1．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则 的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
4．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ，…，第 个代数式是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（
）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
8．（2024·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， 为正
整数，且 ．下列说法：①满足条件的整式 中有5个单项式；
②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；
③满足条件的整式 共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．（2025·四川自贡·中考真题）若 ，则 的值为 ．
10．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足 ，则 ．
11．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ．
12．（2024·江西·中考真题）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为
．
13．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子
的个数为 ．（用含n的代数式表示）
14．（2025·四川宜宾·中考真题）已知 、 、 、 、 是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个
数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ．
三、解答题
15．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
16．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
17．（2023·广东广州·中考真题）已知 ，代数式： ， ， ．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．专项练习
一、单选题
1．下列代数式中，属于多项式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．0不是单项式 B． 是多项式
C．单项式 的次数是8 D． 是二次二项式
3．将 用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将多项式 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若二次三项式 可分解为 ，则n的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
7．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，则 的值为 （ ）
A． B．3 C． D．13
9．已知多项式 与 的乘积中不含 项，则常数b的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．210．观察下列代数式的排列规律： ， ， ， ，…，第n个代数式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．下列式子：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，属于多项式的有 ．
（填序号）
12．因式分解： ．
13．已知 ，则 ：
14．多项式 是关于 的五次三项式，则 的值是 ．
15．单项式 的次数是7，则 ．
16．若多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，那么 ．
三、解答题
17．把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．
单项式集合：{ }；
多项式集合：{ }．
18．把下列多项式分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ．
19．先化简，再求值．(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
20．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式 （ 为常数）是一个五次
三项式，单项式 的次数为6，求 的值．
21．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解： ______；
(2)因式分解： ；
(3)因式分解：
