文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题2 函数及函数图象的分析与判断
知识梳理
【考点一】变量与常量的含义
1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
2.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，
，速度60千米/时是常量，时间 和里程 为变量.
【考点二】 函数的概念
1.一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一
确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
2.对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量 的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 允许取的每一个值， 是否都有唯一确定的值
与
它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量 的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量 的取值范围有时容
易忽视，这点应注意.
【考点三】 函数的三种表示方法
1.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
2.其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；
解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反
之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
3.注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
4.函数的三种表示方法的优缺点
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式．
列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的
所有值与其对应的函数值都列在表中．
图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而
且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像．
【考点四】 自变量的取值范围的确定
1.函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
2.考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
【考点五】 函数值
1. 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.在函数用记号
表示时， 表示当 时的函数值.
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量
可以是多个.比如： 中，当函数值为4时，自变量 的值为±2.
【考点六】 确定函数表达式
1.用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
2.注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是
y的函数．
【考点七】 由函数表达式画函数图象的一般步骤
1.对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这
些点组成的图形，就是这个函数的图象.
2.由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原
则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
例题讲解
【题型一】函数的三种表达方式
◇典例1：
汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨1.2万元，售价为每吨1.5万元，
每天可处理20吨．若每吨降价0.05万元，每天可多处理5吨，设每吨降价x万元，每天获利y万元，则y
与x的关系式为（ ）
A．y=(1.5−x−1.2)(20+5x) B．y=(1.5−x)(20+5x)
C．y=(1.5−x)(20+100x) D．y=(0.3−x)(20+100x)
◆变式训练
1.某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，
该同学出发的时间为t(h)，与家的距离为s(km)，则s与t的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
2.研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量
与氮肥的施用量有如下表所示的关系：
氮肥施用量
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
/kg
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
根据表格，下列说法错误的是（ ）
A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
B．氮肥施用量越大，土豆产量越高
C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨
D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加【题型二】函数的概念
◇典例2：
下列两个变量间不存在函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
◆变式训练
1.下列函数图象中，能表示函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】求自变量的取值范围
◇典例3：
x
在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
1−2x
◆变式训练
3
1.使函数y= 有意义的自变量x的取值范围是 ．
3−x1+x
2.函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
3x+2
【题型四】求自变量或函数值
◇典例4：
9
摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足F= C+32，其中F表示华氏度
5
（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（ ）
A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉
◆变式训练
1.已知函数y=¿，若函数值y=−2，则自变量x的取值为（ ）
1 1
A．−1 B．− C．−1或− D．0
2 2
2.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为2时，输出y的值为1，则输入x的值为4时，输出
y的值为 ．
【题型五】从函数图像获取信息
◇典例5：
已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A−B−C−D−E− F的路
径匀速运动，相应的△HAF的面积S(cm2)关于时间t(s)的关系图象如图2，已知AF=8cm，则下列说法正
确的有（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和9.25s．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
◆变式训练
1.某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物
3
品再另装货物共用 h，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为60km/h，两车
4
之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.其中正确的结论有（ ）
现有以下4个结论：
①快递车到达乙地时两车相距120km；②甲、乙两地之间的距离为300km；
( 3 )
③快递车从甲地到乙地的速度为90km/h；④图中点B的坐标为 3 ，75 .
4
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
2.人的正常体温在36∘C∼37∘C之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温
变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ）
A．图中反映了一天中的时间(x)与安安体温(T)之间的关系
B．安安在4:00时的体温为36∘C
C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是0:00≤x≤20:00
D．安安的体温(T)可以看成一天中的时间(x)的函数
【题型六】绘制函数的图像
◇典例6：
小向根据学习函数的经验，对函数y=x|x−2|−3的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请
补充完整．下表是x与y的几组对应值：
x … −1 0 1 2 3 4 …
y … −6 m −2 −3 n 5 …
(1)m=________，n= ________；
(2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数y=x|x−2|−3的图象与直线y=b有3个交点，请直接写出b
的取值范围．
◆变式训练
1.小熙根据学习函数的经验，对函数y=2|x+1|−3的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请
你解决相关问题：
(1)列表如下：若A(b,7)，B(4,7)为该函数图象上不同的两点，则b=______．
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 …
y … 3 1 −1 −3 −1 1 3 …
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论．
结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______；
结论2：当x>−1时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）；
(4)关于x的方程2|x+1|−3=a无解，则a的取值范围是______．
2.在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行
应用的过程．小红对函数y=¿的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
(1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形
边长是1）画出该函数的图象：
x … −1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … −2 ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ …
(2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号）
①函数图像关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x<3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．1
(3)若直线y= x+b与函数y=¿的图象只有一个交点，求b的值．
2
真题在线
一、单选题
1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始
到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
2．（2025·云南·中考真题）函数 的自变量 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电
解水的过程中，生成物氢气的质量 与分解的水的质量 满足我们学过的某种函数关系．下表是一
组实验数据，根据表中数据， 与 之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
4．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则y与x
的函数关系式为（ ）A． B． C． D．
5．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量 随时间
的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
6．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量
与骑行里程 之间的关系如图．当电池剩余能量小于 时，摩托车将自动报警．根据
图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充
B．摩托车每行驶 消耗能量
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶
D．摩托车充满电后，行驶 将自动报警
7．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间 随平均速度
的变化而变化，则 与 的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，
分别以 米/分钟、 米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出
发，小丽仍然以 米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以 米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，
再以 米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间
的函数图像可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数 的自变量 的取值范围是 ．
10．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为
．
11．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物体质量 的一次函数．一
根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，
弹簧的长度为 cm，
12．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距 ，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．
假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离 与骑车时间 的关系如图所示，则他们
相遇时距离A地 ．三、解答题
13．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前往 处参加活动．
甲比乙早出发 ，两人途中均未休息，先到达 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 处．两人
之间的路程 与甲行走的时间 的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________ 之间的路程为___________ ；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ．
14．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，
到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度 与时间
之间的关系如图②所示．
(1)求 所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
15．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏 中， m， m．一条公益广告画
面的动态效果设计如下：动点 从点 出发沿边 ， 以 的速度向点 运动，随着 的移动，画
面逐渐展开．(1)写出展开的画面面积 （单位： ）关于点 的运动时间 （单位：s）的函数表达式；
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续 ，求播放结束时展开的画面
面积．
专项练习
一、单选题
1．在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ）
A．圆的面积公式 中， 是 的函数
B．同一物质，物体的体积是质量的函数
C．光线照到平面镜上，入射角为 ，反射角为 ，则 是 的函数
D．表达式 中 是 的函数
5．如图，关于下列甲、乙两条曲线，说法正确的是（ ）A．甲能表示 是 的函数
B．乙能表示 是 的函数
C．甲、乙均能表示 是 的函数
D．甲、乙均不能表示 是 的函数
6．小明和爸爸出门散步，用 匀速走了 后，爸爸遇到一位朋友，停下与朋友交谈 后，用
匀速步行回到家里，在下列四个图象中，表示爸爸行走路程 与时间 之间的函数关系的
（ ）
A． B．
C． D．
7．下表表示的是一年内某城市月份 与平均气温 的函数关系．由表可知，当 时， 的函数值
为（ ）
月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
m
平均
气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3
A． B． C． D．
8．小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前进．他们的路程差 与小明出发时间 之间的函数关系如图所示．有下列说法：
①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的 倍；③ ；④ 其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、
储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电
阻 上，使 的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图像，下列说法不正
确的是（ ）
A．当没有粮食放置时， 的阻值为
B． 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻 与粮食水分含量之间是反比例关系
10．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两
人所爬的高度 （米）与小张出发后的时间 （分）的函数关系如图所示，下列结论：
①山的高度是 米；
② 表示的是小王爬山的情况， 表示的是小张爬山的情况；
③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍；
④小王比小张先出发 分钟．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
12．若 在二次函数 图象上，则 ．（填“ ”“ ”“ ”）
13．张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表：
每小时加工个数 个
加工时间 时
如果每小时加工的个数用 表示，加工的时间用 表示，则 与 的关系式为： ．
14．汽车以 的速度由 地驶往相距 的 地，设汽车行驶的时间为 ，离B地的距离为
，则s关于t的函数表达式为 ．
15．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数 的性质，小俊用描点法画它的
图象，列出了如下表格：
x … 0 1 2 …
… 1 1 …
下列四个结论：①该函数的图象关于直线 对称；②该函数图象在x轴上方：③该函数图象没有最低
点；④若 和 是该函数图象上两点，则 ．其中正确的结论是 （填写正确
答案的序号）．16．在功 一定的条件下，功率 是做功时间 的反比例函数， 与 之间的函数关系如
图所示．当 时， 的值为 ．
三、解答题
17．已知 与 成反比例，且当 时， ．
(1)求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)求当 时 的值．
18．为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围
内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭
人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）：
用户年用电量x（单
计费档 单价（单位：元/度）
位：度）
第一档
第二档
第三档
(1)当 时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式；
(2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量．
19．某收割机的油箱加满油开始工作后，油箱中的剩余油量Q（ ）与工作时间t（ ）之间为一次函数关
系，已知工作 ， 时，油箱剩余油量分别为 ， ．
(1)求Q关于t的函数表达式；
(2)求该收割机的油箱容量；
(3)一箱油可供该收割机工作多长时间？
20．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托
车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线 和线段 分别表示甲、乙所行驶的
路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)直接写出：甲出发________小时后，乙才开始出发；乙的速度为________千米/时．
(2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？（借助一次函数解决）
(3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路
返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长．
21．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的出行市场，现有A，B两种品牌的共
享电动车，下面图象反映了收费 元 与骑行时间 之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应 ，B品
牌的收费方式对应 ，小明同学求出 与x的函数解析式是 ，请根据相关信息，解答
下列问题：
(1)求 关于x的函数解析式；
(2)请说明图中函数 与 图象的交点P表示的实际意义；
(3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度
均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱； 填“A”或
“B”
(4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程．
