文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题1 平面直角坐标系
知识梳理
【考点一】平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；
两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象
限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
【考点二】点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位
a≠b
置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
【考点三】各象限内点的坐标的特征
⇔x>0, y>0
点P(x,y)在第一象限
⇔x<0, y>0
点P(x,y)在第二象限
⇔x<0, y<0
点P(x,y)在第三象限
⇔x>0, y<0
点P(x,y)在第四象限
【考点四】坐标轴上的点的特征
⇔ y=0
点P(x,y)在x轴上 ，x为任意实数
⇔x=0
点P(x,y)在y轴上 ，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
x +x y + y
中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x ，y )，B(x ，y )，则线段AB的中点坐标为( 1 2， 1 2 )
1 1 2 2 2 2
【考点五】两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等，x=y
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数，x= -y
【考点六】和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
【考点七】关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐
标是(x，－y)
点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，点P(x，y)关于y轴对称的对称点的
坐标是 (－x，y)
点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，点P(x，y)关于原点对称的对称点的坐标是
(－x，－y)．
【考点八】点到坐标轴及原点的距离
|y|
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
|x|
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
√x2 +y2
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
【考点九】点的平移
点P(x,y)沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是（x±m,y）；点P(x,y)沿y轴向上（或向
下）平移n个单位后对应点的坐标是（x,y±n）.
例题讲解
【题型一】坐标系基本概念辨析
◇典例1：
在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一
象限： ，第二象限： ，第三象限： ，第四象限： ，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
根据点的横纵坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：∵点 的横坐标 ，纵坐标 ，
∴点 在第二象限．
故选：B．
◆变式训练
1.如果点 在第二象限，则 关于 轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一
象限： ，第二象限： ，第三象限： ，第四象限： ，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的
点横坐标为0．
根据点的横纵坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：∵点 的横坐标 ，纵坐标 ，
∴点 在第二象限．
故选：B．
2.在平面直角坐标系中，点 在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点 的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限．
故答案为：四．
【题型二】点的坐标特征
◇典例2：在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A． 轴正半轴上 B． 轴负半轴上 C． 轴正半轴上 D． 轴负半轴上
【答案】C
【分析】此题考查了点的坐标，根据在坐标轴上点的坐标特征进行解答即可；
根据点的坐标特征，纵坐标为0的点在 轴上；横坐标为正时，点在 轴正半轴上．
【详解】解：∵点 的纵坐标 ，
∴该点在 轴上。
又∵横坐标 ，
∴该点在 轴正半轴，
故选：C．
◆变式训练
1.如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ， 轴．若 ， ，
， 则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，由 轴， ， ， 则 ，
过 作 轴于点 ，交 于点 ，根据等腰三角形性质可得 ，又 ，
，则 ，所以 ，求出 即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ 轴， ， ，∴ ，
如图，过 作 轴于点 ，交 于点 ，
∵ 轴， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
2.对于边长为 的等边三角形 ，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐
标系，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点 作 于 ，由等边三角形的性质和勾股定理可得 ， ，进而即可求解，掌握等边三角形的性质
是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ，
∵ 是等边三角形，边长为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【题型三】对称点坐标特征
◇典例3：
在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 的立方根为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，立方根，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相
等，纵坐标互为相反数，列方程求解a和b，再计算 的值，最后求立方根．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，即 的立方根为1．故选：C．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于 轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
由平面直角坐标系中关于 轴对称的点的坐标特征求解即可得到答案．
【详解】解：∵点 关于y轴对称的点为 ，
∴ ，
故选：B．
2.在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标特征，解题的关键是利用“关于 轴对称的点，纵坐标相等、
横坐标互为相反数”求出 、 的值．
根据关于 轴对称的点的坐标规律，列等式求 、 ，再计算 的值．
【详解】解： 点 与点 关于 轴对称，
∴ ， ，
解得 ， ，
则 ，
故答案为： ．
【题型四】点到坐标轴及原点的距离
◇典例4：
平面直角坐标系中，第三象限内的点 到 轴的距离是4，则 的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：∵点 在第三象限，
∴ 且 ，
∵点P到y轴的距离是4，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标
为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的
绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解．
【详解】解：设点 坐标为 ，
∵点 到 轴的距离为3，
∴ ；
∵点 到 轴的距离为1，
∴ ；
又∵点P在第二象限，
∴ ．
∴ ．
∴点 的坐标为 ．
故选：C．
2.在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，且 轴，则点M的坐标为．
【答案】
【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据 轴，可知点M与点N的横坐
标相等，从而建立方程求解．
【详解】解：因为 轴，点N的横坐标为 ，
所以点M的横坐标 ，
解得 ，
代入点M的纵坐标 ，
故点M的坐标为(−1,3)，
故答案为： ．
【题型五】平行与坐标轴的直线上的坐标特点
◇典例5：
已知直线 轴，且 ，则 的长为( )
A．4 B．5 C．9 D．15
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由 轴可知点 与点 的横坐标相等，据此
求出 的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为 的长度．
【详解】解： 轴，
点 与点 的横坐标相等，
即 ，
，
．
此时点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
的长度为 ．
故选：B．
◆变式训练1.已知M、N两点分居y轴两侧， 且 轴， ，则点N坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段的坐标特征，熟练掌握“平行于x轴的线
段上的点纵坐标相等”及“两点间距离的坐标计算方法”是解题的关键．
先根据“ 轴”确定N的纵坐标，再结合“M、N分居y轴两侧”确定N的横坐标符号，最后通过“
”计算N的横坐标．
【详解】解：设N点坐标为 ．
∵ 轴，
∴ ．
∵ 在y轴左侧，且M、N分居y轴两侧，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 或 ．
若 ，则 （不符合 ，舍去）；
若 ，则 ．
∴ N点坐标为 ．
故选：A．
2.已知点 ，若点Q的坐标为 ，且直线 轴，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．
根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，列方程求解即可．
【详解】解：∵直线 轴，∴点 和点 的横坐标相等，
即 ，
解得 ，
代入点 的纵坐标，得 ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【题型六】图形平移与坐标变化
◇典例6：
在平面直角坐标系中，将点 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵
坐标，上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是
，即 ．
故选：B．
◆变式训练
1.点 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上， ， ，将线段 平移至 ，若点 ，
的坐标分别为 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的平移，由已知可得 ， ，进而得到线段 先向右平移 个单位
长度，再向下平移 个单位长度得到线段 ，即得到 ， ，再代入代数式计算即可
求解，由对应点坐标的变化得出平移的方式是解题的关键．
【详解】解：∵点 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上， ， ，
∴ ， ，
∵将线段 平移至 ，点 ， 的坐标分别为 ， ，
∴线段 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ．现将矩形 平移到矩形
位置，使 点平移到点 位置，则 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐
标为 ，再根据平移后点O的对应点 的坐标为 ，得点A的对应点 的横坐标为 ，纵
坐标为 ，据此即可得出点 的坐标．
【详解】解：∵矩形 的顶点 ，∴点A的坐标为 ，
∵平移后点O的对应点 的坐标为 ，
∴点A的对应点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【题型七】用坐标描述地理位置
◇典例7：
王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对 表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置
用数对 表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中
数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第 列、第 排，即
可确定答案．
【详解】解：李林坐在教室的第 列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第 列；
王伟坐在教室的第 排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第 排；
张乐的位置用数对表示是第 列、第 排，
即张乐的位置用数对表示是 ，
故选：B．
◆变式训练
1.妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作 ，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数对与位置的关系，熟练掌握数对中列与行的表示规则是解题的关键．根据妙妙座位的记法，明确数对中列数在前、行数在后的规则，据此确定东东座位的数对表示．
【详解】解：∵ 妙妙座位第3列第6行，记作 ，即数对中第一个数表示列，第二个数表示行，
东东座位是第7列第4行，
∴ 记作 ，
故选： ．
2.如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为
， ，按照此方法在表示目标E的位置为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，结合目标A，B的位置表示为 ， ，故观察图
中，得目标E的位置为 ，即可作答．
【详解】解：∵目标A，B的位置表示为 ， ，
∴观察图中，得目标E的位置为 ，
故答案为： ．
【题型八】由坐标确定图形形状与面积
◇典例8：
如图，已知点 ，动点 在 轴上，且 的面积为 ，则 的坐标为（ ）A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得 ，再将动点 分成在 左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解．
【详解】解：∵ ， 的面积为 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
当点 在 左侧时， ，
当点 在 右侧时， ，
∵动点 在 轴上，
∴ ，
综上可得点 坐标为 或 ，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，矩形 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形 的
边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运
动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一
次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路
程比为 ，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 ，物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为
，在 边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 ，物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为
，在 边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 ，物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为
，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵ ，
故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点，
物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为 ，如图，此时相遇点的坐标为： ，
故选：B．
2.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 为 轴上一动点，以 为边在直线
的右侧作等边三角形 ．若点 为 的中点，连接 ，则 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查最短距离，全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，以 为边作等边三角
形 ，过点E作 于F，连接 ，得 ，可证 ，将 转化到 上，
轴时为最小值，即可求得答案．
【详解】解：如图，以 为边作等边三角形 ，过点E作 于F，连接 ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵点P为 的中点，∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴当 有最小值时， 有最小值，
即 轴时， 有最小值，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【题型九】简单旋转后的点的坐标
◇典例9：
如图，边长为2的等边 的边 在x轴上，将 绕原点O逆时针旋转 得到等边 ，则点
的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的
性质是解题的关键．设 与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出 、 ，然后写出点 的坐标
即可．
【详解】解：如图，设 与x轴相交于C，
∵ 是等边三角形，旋转角为 ，
∴ ，
∴ 轴，
∵等边 的边长为2，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ 在第四象限，
∴点 的坐标为
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点 的坐标为 ，点 、 均在 轴上．将绕顶点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含 角直角三角形的性质，熟练掌
握旋转的性质是解题的关键．作 ，勾股定理求出 ， ，勾股定理求出
，即可求解．
【详解】解：作 ，交y轴于点F，
的坐标为
∴ ，
是等边三角形， ，
∴ 是 的角平分线，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，，
∵ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ ．
故选：A．
2.如图，等边 的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上， ，将等边 绕原点顺时针旋转
至 的位置，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点
作 轴于C点，由等边三角形的性质可得： ，由旋转的性质可得：
，再根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 轴于C点，是等边三角形，
，
由旋转可知： ，
，
，
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【题型十】坐标规律探究
◇典例10：
如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次接着运
动到点 ，第3次接着运动到点 …按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，第4次接着运动到点 ，第
5次接着运动到点 ，第6次接着运动到点 …..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的
正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解．
【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到
点 ，第4次接着运动到点 ，第5次接着运动到点 ，第6次接着运动到点 …..；由此可
知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，
∵ ，
∴第2025次运动后，动点P的坐标为 ；
故选D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，…，是等腰直角三角形，它们的斜边
都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若 的顶点坐标分别为 ， ，
，则按图中规律排列，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以
看出 ； ； 每 个为一组，由于 ， 在 负半轴，纵坐标为 ，再根据横坐标
变化找到规律即可解答．
【详解】解：观察图形可以看出 ； 每 个为一组，
，
在 负半轴，纵坐标为 ，
的横坐标分别为 ，
则 的横坐标为 ,
的横坐标为 ，
的坐标为 ．
故选：C．
2.如图，四边形 是正方形，曲线 …叫做“正方形的渐开线”，其中弧 、弧 、弧 、
弧 、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为 ，按此规律进行下去，则点 的坐标
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点 ， ， ，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
…，
由此可见，点 的坐标可表示为 ，点 的坐标可表示为
当 时，
点 的坐标为 ，
所以点 的坐标为
故答案为： ．
【题型十一】动点坐标表示及分类讨论
◇典例11：
如图①，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，过C作 轴于点B．(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图②，若过点B作 交y轴于点D．且 ， 分别平分 ， ．求 的度数：
(3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从
点B出发在射线 上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形 和三角形
的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A坐标为 ，点B坐标为 ，点C坐标为
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质．
（1）根据非负数的性质易得 ， ，从而得出点A，C的坐标，然后根据 轴交x轴于点B得
出点B的坐标；
（2）过点E作 ，根据平行线性质得 ，且 ， ，所
以 ，然后把 代入计算即可；
（3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设 ， ；②当点P在
y轴负半轴上时，设点P的坐标为 ， ，利用 可得到关于t的方程，再解方程求出
t，从而求得点P的坐标．
【详解】（1）解：由题意知， ，
∴ ， ，解得 ， ，
又∵ ， ，
∴点A坐标为 ，点C坐标为 ，
∵ 轴交x轴于点B，
∴点B的坐标为 ，
即点A坐标为 ，点B坐标为 ，点C坐标为 ．
（2）解：如图，过点E作 ，
∵ 轴，
∴ 轴， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t，当点P在y轴正半轴上，如图：
设点P的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ；
②当点P在y轴负半轴上时，如图：
设点P的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，∴点P的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 或 ．
◆变式训练
1.如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 ， ，点C在y轴上，且
轴，a、b满足 ，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着
的路线运动(回到O为止)．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______；
(3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)点 的移动时间为3秒或 秒
【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标确定、点的运动路径与距离计算，解题的关键是利用非负数的
性质求出 、 的值，结合点的运动路径分析各阶段位置．
（1）由非负数的性质得 、 ，再据 轴确定 的坐标；
（2）计算3秒运动的距离，结合各段路径长度确定点 的位置；
（3）分 段和 段两种情况，据到 轴距离求出路径长，进而算时间．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，得 ， ，∴ ， ，
∵ 轴， 在 轴上，
∴
（2）解：点 3秒运动的距离： ， ， ， ，
∴ 在 段，从 出发走了 ，
故答案为：
（3）解：①当 在 段时，到 轴距离为3，
路径长： ，时间： （秒）；
②当 在 段时，到 轴距离为3，
路径长： ，时间： （秒）；
答：点 的移动时间为3秒或 秒．
【题型十二】坐标与几何图形综合
◇典例12：
长方形 位于平面直角坐标系中平行移动．
(1)如图1，若 轴且点A的坐标 ，点C的坐标为 ，在边 上有动点P，过点P作直线
交 边于点Q，并使得 ．
①当 时，求P点的坐标．
②当在直线 上存在一点M，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．
(2)如图2，若 轴且A、B关于x轴对称，连接 、 、 ，且 平分 ，求证：【答案】(1)（1）①点 ；②点M坐标为 或
(2)证明见解析
【分析】（1）①根据矩形的性质颗求出 和 的长度，再根据 及 ，求出
、 的长，从而得到P点的坐标；
②分类讨论，当 时，过点 作 于点 ，证得四边形 是矩形，根据矩形的性
质得到 、 ，进而证得 ，根据全等三角形的性质得到
、
结合 ，求出 的长，从而得到 点的坐标；
当 时，证得 ，进而证得 ，根据全等三角形的性质得到
、 ，结合 ，求出 的长，从而得到 点的坐标；
（2）令 与 轴的交点为 ，连接 ，根据矩形的性质证得 和 ，进而证得
，根据角平分线的性质和平行的性质，证得 ，进而证得 ，根
据等边对等角的性质，证得 ，从而证得 ．
【详解】（1）①解：根据题意得，长方形 中， 轴且点A的坐标 ，点C的坐标为
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
、
、即
解得 、
点 的纵坐标为
点 的坐标为 ；
②当 时，过点 作 于点 ，
四边形 是矩形，
、
、
、
、
、
点坐标为点的坐标为 ；
当 时，
、
、
、
、
，且
点坐标为
点的坐标为 ，
综上所述，点M坐标为 或 ；
（2）证明：令 与 轴的交点为 ，连接 ，、
轴、
轴
平分
．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质和利用
分类讨论思想是解题的关键．
◆变式训练
1.如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ， 满足 ．
(1)如图1，填空：点 的坐标为______，点 的坐标为_____；若以 为斜边构造等腰直角 ，则点
的坐标______；
(2)如图2，已知等腰直角 中， ， ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重合），连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
①若 是 的角平分线，求证： ；
②探究：如图3，连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合）， 的大小是否发生变化？
若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由．
【答案】(1) ， ； 或
(2)①见解析；② 的大小不变，为定值
【分析】（1）先根据非负性求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，①点 在第一象限时，过点
作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，则 ，
，由 得到 ，求出 ，即可求解点 的坐标；
②点 在第四象限时，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，同理可求即可；
（2）①延长 、 ，相交于点 ，证 ，得 ，再证 ，得
，则 ，即可得出结论；②过点 作 于点 ， 于点 ，证
，得 ，则 是 的角平分线，即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
， ，
解得 ， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
分两种情况：①如图1，点 在第一象限时，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
轴，
， ，
，
，
，
，
，又 ， ，
，
， ，
，
，
，
点 ；
②如图，点 在第四象限时，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
同①得 ，
， ，
，
，
，
点 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ；故答案为： ， ； 或 ；
（2）①证明：如图2，延长 、 ，相交于点 ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
，
是 的角平分线，
，
， ，
，
，
，
；
② 的大小不变，为定值 ，理由如下：
如图3，过点 作 于点 ， 于点 ，
则 ，
，，
由①可知 ， ，
，
，
是 的角平分线，
，
即 的大小不变，为定值 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性
质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟
练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
真题在线
一、单选题
1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标
分别为 、 ，则“强”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可．
【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为 、 ，
∴建立直角坐标系如下：，
∴“强”的坐标为 ，
故选：B
2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于 轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌
握“关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限．
先根据关于 轴对称的点的坐标规律，求出点 的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征
（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象
限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限．
【详解】解：根据“关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，
已知点 ，则其关于 轴对称的点的坐标为
故选：B．
3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．
根据点 所在的象限，结合点 到 轴、 轴的距离即可求解．【详解】解：由坐标系可得点 在第一象限，且横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点 的坐标是 ，
故选：C．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪
一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法， 轴下方， 轴右侧的区域为第四象限，进
行判断即可．
【详解】解：由图可知，点 在第四象限；
故选D．
5．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点
的符号特点，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴点 在第二象限；
故选B．
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别是 ，
， ， ，则四边形 的面积为（ ）A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，过A作 于M，过B作 于N，根据A、B、C的坐标可
求出 ， ， ， ， ，然后根据 求解即可．
【详解】解∶过A作 于M，过B作 于N，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积为
，
故选：D．
7．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一
行第一列瓷砖的位置记为 ，其右边瓷砖的位置记为 ，其上面瓷砖的位置记为 ，按照这样的
规律，下列说法正确的是（ ）A． 位置是B种瓷砖 B． 位置是B种瓷砖
C． 位置是A种瓷砖 D． 位置是B种瓷砖
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；
根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单
数)，(双数，双数），再逐项判断即可.
【详解】解：A种瓷砖的位置： ，
，
B种瓷砖的位置： ，
，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，
(双数，双数）；
∴ 位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；
故选：B.8．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它
关于点 中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在函
数图象上，这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 ，
进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可求解．
【详解】解：∵这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点 中心对称的点为 ，
即当 时， ，
∴ ，
故选：D．二、填空题
9．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，且a，b满足
，则点A在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出 的值，根据 的符号，判断出点A所
在的象限即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，在第四象限；
故答案为：四．
10．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点 在第三象限，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三
象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可．
【详解】解： 点 在第三象限，
，
解得 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为： ．
11．（2011·湖北十堰·中考真题）如图，平行四边形 的顶点 的坐标分别是 、 、，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题
的关键．根据平行四边形的性质可得 ，点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，从而即可得到点
的坐标．
【详解】解： ， ，
，
为平行四边形，
， ，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
12．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向
下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点 那么点 的坐标
为 ．【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律
解题．动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根
据规律找坐标即可．
【详解】解：根据题意可知， ， ， ， ， ， ， ，
，……，每4个点一循环，
∵ ，
点 与 ， ， 等点的纵坐标相等且为0，横坐标为序号的一半，即 ，
∴点 的坐标 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形 的顶点在方格纸的格点上，其中 ， ， 的坐
标分别为 ， ， ．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）．
(1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心 的坐标和点 的对应点 的坐标；
(2)将菱形 平移，使点 的对应点为点 ，画出平移后的菱形．
【答案】(1)见解析， ， ；
(2)见解析．【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应
用是解题的关键．
（ ）根据 ， ， 的坐标分别为 ， ， 建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求
对称中心 的坐标和点 的对应点 的坐标；
（ ）根据平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，
∴对称中心 的坐标是 ，点 的对应点 的坐标是 ；
（2）解：画出平移后的菱形，如图所示．
14．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为 ， ， ， ．
(1)以点D为旋转中心，将 旋转 得到 ，画出 ；
(2)直接写出以B， ， ，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线 平分 ，写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)40
(3) (答案不唯一)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，
结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转 得到对应点，即可得出 ．
（2）连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出 ， ，即可得出 是等腰三角形，根据三线合一的性
质即可求出点E的坐标．
【详解】（1）解： 如下图所示：（2）连接 ， ，
∵点B与 ，点C与 分别关于点D成中心对称，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
（3）∵根据网格信息可得出 ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 也是线段 的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为， ，
∴点 ，
即 ．（答案不唯一）
15．（2023·山东淄博·中考真题）若实数 ， 分别满足下列条件：（1） ；
（2） ．
试判断点 所在的象限．
【答案】点 在第一象限或点 在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定 ， 的符
号确定点 所在象限解题即可．
【详解】解：
或
， ；
，
解得： ；
∴当 ， 时， ， ，点 在第一象限；
当 ， 时， ， ，点 在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐
标特征是解题的关键．
专项练习
一、单选题
1．小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为 ，那么小华坐在第5列第2行应表示为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查的是有序数对的含义，根据有序数对的定义，第一个数表示列，第二个数表示行，小华
的位置是第5列第2行，因此对应有序数对 ．
【详解】解：∵小明的位置 表示第3列第5行，
∴有序数对的第一个数为列，第二个数为行，
∵小华在第5列第2行，
∴应表示为 ．
故选：A
2．抛物线 的顶点坐标在第几象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征．
由抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标，再根据象限的符号特征判断所在象限．
【详解】解：∵抛物线 是顶点式，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴点 在第四象限．
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．点 在x轴上
B．点 在第二象限
C．若 ，则点 在第一或第三象限
D．点 到x轴的距离是2【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．
选项A和B涉及点的位置判断，选项C涉及 时点的象限，选项D涉及点到x轴的距离计算．
【详解】解：∵点 的y坐标不为0，∴点P不在x轴上，A错误；
∵点 的纵坐标为0，∴点Q在x轴上，不在任何象限，B错误；
∵ ，∴a和b同号，点 在第一或第三象限，C正确；
∵点 到x轴的距离为 ，∴D错误．
故选：C．
4．已知点 在x轴上，则A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，掌握x轴上所有点纵坐标为0是解题的关键．
根据x轴上所有点纵坐标为0，得到 ，解得 ，再代入，即可求解．
【详解】解： 点 在x轴上，
，解得 ，
点A的坐标是 ．
故选：C．
5．已知A点的坐标为 ， 轴，且 ，则B点的坐标为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据 的长度，得 计算B点的纵坐标
即可．本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：根据A点的坐标为 ， 轴，
得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故B点的坐标为 或 ，
故选：C．
6．若点 在第二象限，则点 到 轴， 轴的距离分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
根据第二象限点的坐标特征确定 和 的符号，点到 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到 轴的距离是横
坐标的绝对值．
【详解】解：∵点 在第二象限，
， ．
∴点 到 轴的距离为 ，
点 到 轴的距离为 ．
故选：D．
7． 为等边三角形，如图，以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，利用等边三角形的性质求解点的
坐标是解题的关键．
首先作辅助线构造直角三角形，再利用等边三角形的性质求解点B的横坐标，最后利用勾股定理求点B的
纵坐标，最后确定点B的坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作 于点C，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵点B在第一象限，
∴ ，
故选：D．
8．已知 ．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024
次变换后，点M的坐标变为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形经多次变换后的规律，通过计算前几次变换，发现规律：奇数次变换后点的纵坐
标为 ，横坐标为2减去变换次数；偶数次变换后点的纵坐标为2，横坐标为2减去变换次数，2024是偶
数，即可得出点M的坐标．
【详解】解：∵点 ，
第一次变换：关于x轴对称得 ，再向左平移1个单位得 ；
第二次变换：关于x轴对称得 ，再向左平移1个单位得 ；
第三次变换：关于x轴对称得 ，再向左平移1个单位得 ；
第四次变换：关于x轴对称得 ，再向左平移1个单位得 ；
…
∴第n次变换后，若n为奇数，则点M坐标为 ；
若n为偶数，则点M坐标为 ，
∵2024为偶数，
∴点M坐标为 即 ．
故选：A．
9．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定
义点 的“笛卡尔变换”为： ．已知点 的坐标为 ，则经过2025次笛卡尔
变换后得到的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点坐标规律探索，找到正确的规律是解决本题的关键．根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴经过一次变换为： ，
经过二次变换为： ，
经过三次变换为： ，
经过四次变换为： ，
∴变换周期为4，
∵ ，
∴ ．
故选D．
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次接
着运动到点 ，第3次接着运动到点 …按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原
点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，第4次接着运动到点 ，第
5次接着运动到点 ，第6次接着运动到点 …..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的
正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解．【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到
点 ，第4次接着运动到点 ，第5次接着运动到点 ，第6次接着运动到点 …..；由此可
知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，
∵ ，
∴第2025次运动后，动点P的坐标为 ；
故选D．
二、填空题
11．已知点 在x轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查点在坐标轴上的特征， 解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
点A在x轴上，其纵坐标必为0，因此 ，即可求出a的值．
【详解】解：∵点 在x轴上，
∴其纵坐标 ，
解得 ．
故答案为 ．
12．点P在第三象限，且到x轴距离为4，到y轴距离为3，则P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是点到坐标轴的距离的含义，象限内点的坐标特点，点到x轴的距离等于纵坐标的绝
对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第三象限点的坐标特征确定符号．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为4，
∴ ，
∴ ，
∵点P到y轴的距离为3，
∴ ，
∴ ，
又∵点P在第三象限，∴ ， ．
∴ ， ．
∴点P的坐标为 ．
故答案为
13．在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点的坐标是 ，点P关于y轴对称的点在第
象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是 ）对称的点的坐标是 ．
【答案】 四
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称变换，包括关于坐标轴和特定直线的对称．关于x轴对称时，
横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，再根据坐标符号判
断象限；关于直线 对称时，利用对称公式计算横坐标，纵坐标不变．
【详解】解：点 的坐标为 ，
关于 轴对称，对称点为 ；
关于 轴对称，对称点为 ．
由于横坐标 ，纵坐标 ，因此该点在第四象限．
关于直线 对称：设对称点坐标为 ，根据对称性质，有 ，
故对称点为 ．
故答案为： ，四， ．
14．如图，已知等腰 ， ，斜边 交 轴正半轴于点 ，若 ，则点 的坐标为
．
【答案】
【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标．
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，根据全等三角形的性质得到 ．【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，如图所示：
，
，
，
，
，
，
∵等腰 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系 中，直线 轴于点 ．点B从点A出发以每秒2个单位长度
的速度沿 方向运动，同时点C从点A出发在射线 上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到
点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若 与 全等，则 的长度为 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为 秒，由题意得 ， ，
则 ，然后分 当 时，
当 时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键．
【详解】解：设运动时间为 秒，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ；
当 时，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ；
综上可知： 或4．
故答案为： 或4．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为2的正方形 分别在y轴正半轴与x轴正半轴
上，P点坐标为 ，将P点关于A对称得到 ，将 关于O点对称得到 ，将 关于C点对称得到 ，
将 关于B点对称得到 ，将 关于A点对称得到 ，按照顺序以此类推，则 的坐标为
．【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律
求解即可．
【详解】解：如图，由题意 ，
∴ 与P重合，四次一个循环，
∵ ，
∴ 与 重合，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个
顶点 、 、 均在格点上．(1)将 向下平移 个单位得到 ，并写出点 的坐标；
(2)画出 绕点 逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．
【答案】(1)
作图见解析，点 的坐标为
(2)作图见解析，点 的坐标为
(3)
【分析】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作出平
移或旋转后的对应点．
（1）利用平移的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；
（2）利用旋转的性质分别作出点 ， 绕点 逆时针旋转 的对应点 ， ，再顺次连接即可；
（3）先利用勾股定理求出 的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ；（2）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ；
（3）解： ， ，
在旋转过程中扫过的面积为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 与点 关于 轴对称．
(1)写出点 的坐标，并在图中画出点 ；
(2)画出 关y轴对称的 ；
(3)求出 的面积；
【答案】(1) ，图见解析
(2)图见解析
(3)8
【分析】本题考查了平面直角坐标系中描点，根据点关于坐标轴对称的性质求点的坐标，作轴对称图形，
三角形的面积．（1）根据坐标关于 轴对称的性质： 关于 轴对称点为 ，可求作出 点坐标，然后描点即可；
（2）根据轴对称的性质作出 ，即可求解；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ，点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
如图，
（2）解：如图， 是所求作的图形；
（3）解： ．
19．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点 ，规定P的“特征值” 为横坐标的绝对值
的2倍与纵坐标的绝对值之和，即 ．
(1)求点 的“特征值” ．(2)若点B在第二象限且满足“特征值” ，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键.
( )由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解；
( )设 点的坐标为 ，由 ，得到方程 ，进而得出 ，求出所有点 与坐标
轴围成的三角形的面积即可.
【详解】（1）解： ．
（2）设 ，由题意可知， ．
点 在第二象限，
， ，
，
即 ，
点 在直线 上．
令直线 与 轴， 轴分别交于点 ，则有 ， ，
， ．
．
20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大
值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．
(1)点 到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，点A的“短距”为 ．
(2)若点 是“完美点”，求a的值．
(3)若点 的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为 ，试说明：点D是“完
美点”．
【答案】(1)2，3，2(2) 或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键；
（1）根据“短距”的定义解答即可；
（2）根据完美点的定义可得 ，即可求出答案；
（3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可．
【详解】（1）解：点 到x轴的距离为2，到y轴的距离为3．
∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”，
又∵ ， ，
∴点 的“短距”为2，
故答案为：2，3，2；
（2）解：由条件可知 ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
（3）解：点 的长距为5，且点 在第三象限内，
，
解得： ，
，
点 的坐标为 ，
点 到 轴、 轴的距离都是8，
是“完美点”．
21．如图，已知点 ，点 ，点 ，且 ， 满足 ．(1)求点 ， ， 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，点 是第三象限内一点， ， ；
①求点 的坐标；
②连接 交 轴于 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ， ；
(2)① ；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，及其与坐标轴的结合，以及完全平方公式的应用．利用判
定三角形全等得到边长的相等关系，进而得到所求点的坐标是解题的关键．
（1）通过等式的变形来简化问题：已知 ，根据完全平方公式可以将其转化为
，根据两个数的平方和等于 ，那么这两个数都为 ，得到点 ， ， 的坐标．
（2）①通过判定三角形全等得到边长的相等关系：通过作 轴于 ，构造全等三角形
，进而得到点 的坐标；
②通过证明 ，进而得到点 的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ；（2）①如图，作 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
