文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题5 直角三角形的性质与判定
知识梳理
【考点一】直角三角形的性质
1.性质1：在直角三角形中，两个锐角互余．
2.性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
3.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
4.性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
5.易错点：
(1) 混淆斜边中线定理与角平分线定理
(2) 忽略30°角所对直角边等于斜边一半的前提条件
(3) 错误应用"直角边等于斜边一半"的逆命题
【考点二】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 判定两个直角三角形全等的方法:判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用,因
此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种
方法来判定两个直角三角形全等。
几何语言： A A′
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
B C B′
C′
∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL).
3. 易错点：
(1) HL定理中错误认定直角边（必须是一直角边一斜边）
(2) 混淆HL与SSA的区别（SSA在非直角情况下不成立）
(3) 证明过程缺少"Rt△"的直角标注
【考点三】角平分线1.角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
3.角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上.
4.易错点：
(1) 混淆"角平分线上的点"与"点到角两边距离"的因果关系
(2) 证明时未完整写出"垂直距离"的构造过程
(3) 与线段垂直平分线性质混用
(4) 忽略外角平分线的特殊情况
【考点四】勾股定理
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则 .
2. 勾股定理的变形公式：a²=c²-b² b²=c²-a²
3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这
一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.
4.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法”
(1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形.
(2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系.(3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度.
5.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,
6.易错点：
(1) 忽视勾股定理仅适用于直角三角形
(2) 使用逆定理时未验证三角形是否为直角
(3) 实际问题中漏解（如梯子滑动问题需考虑两种情况）
(4) 计算时混淆平方与开方运算顺序
【考点五】勾股定理的证明
1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积
来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行
验证的.
2. 著名证法举例
方法 图形 证明
“赵爽
因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为 . 又因为大正
弦图”
方形的面积＝4× ＋ ＝ ，所以 ＝
刘徽“青朱
设大正方形的面积为S，则S＝ . 根据“出入相补，以盈补虚”
出入图”
的原理，得S＝ ，所以 ＝
加菲尔德总
统拼图
设梯形的面积为S，则S＝
. 又因为S＝ ，所以 ＝
毕达哥拉斯 由图①得大正方形的面积＝ ，由图②得大正方形的
拼图
面积＝ ，比较两式易得 ＝例题讲解
【题型一】直角三角形的性质
◇典例1：
如图， ，E为 的中点， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.在 中， ， ，则 的度数为 ．
2.如图，在 中， 是边 上的中线， ， ．将 沿 所在直线翻折，
点 落在平面上的点 处，连接 ，若 面积为12，那么 的面积为 ．
【题型二】直角三角形全等的判定
◇典例2：
如图，已知在 和 中， ， ， ，如果 ，
那么 的大小为 ．
◆变式训练
1.如图，点 、 、 、 在同一直线上， ， ， ．求证： ．
（本题要写依据）2.如图，已知在 中， ，点 是 内部的一点， ， ，垂足分别为点
，且 ．求证： ．
【题型三】角平分线性质定理
◇典例3：
如图，已知 中， 是 的平分线， 是 边上的高， 与 交于点F，过
点D作 交 于点G，联结 ．交 于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在 中， ， 是 的平分线，如果 的面积为 ，那么
的面积为 ．
2.如图，已知 ， 是 的中点， 平分 ．求证：(1) 平分 ；
(2) ．
【题型四】 角平分线性质定理的逆定理
◇典例4：
已知，点P是 边 上一点，且到 的距离相等，则线段 一定是（ ）
A． 的角平分线
B． 的中线
C． 的高
D． 所在直线是 的中垂线
◆变式训练
1.如图，在 中， ，点 在边 上， ，垂足为点 ， ， ，则
的度数为 ．
2.若点O到 的三边的距离相等，则点O为（ ）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点
C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【题型五】判断三边能否构成直角三角形
◇典例5：
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.已知：如图，在 中， ， ，点 是 边中点，延长 至点 ，使得．连接 ，当 时，求 的度数．
2.如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 于点 ，连结 ．
(1)如果 ，求证： ；
(2)如果 ， 平分 求 的长．
【题型六】以直角三角形三边为边长的图形面积
◇典例6：
如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 ， ， ，则它们之间的关
系是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图所示的三角形为直角三角形，那么字母 所表示的正方形面积等于 ．
【题型七】勾股定理的应用
◇典例7：如图，走廊上有一梯子以 的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子
梛动位置，使其倾斜角变为 ．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根
号）
◆变式训练
1.一架长 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 （如图），如果梯子的顶端沿墙下
滑 ，那么梯子底端将向左滑动 米．
2.《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有
一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（ ），那么折断后的竹子（
）的高度为 ．
【题型八】用勾股定理解三角形
◇典例8：
如图：已知，在四边形 中， 于点 ， ， ， ， ，求四边形
的面积．◆变式训练
1.已知，如图： 是等腰直角三角形，动点P在斜边 所在的直线上，以 为直角边作等腰直角三
角形 ，其中 ，探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段 上，且 ， ，则：
①线段 __________， __________；
②猜想： ， ， 三者之间的数量关系为__________；
(2)如图②，若点P在 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点满足 ，求 的值．
2.在 中，点D是边 的中点，点 分别在边 上，且 ，连结 ．
(1)如图1， 是等腰直角三角形， ，求证： ；
(2)如图2， 是等边三角形， ，求证： ；
(3)如图3， ，请直接写出 的长度：_______（无需写出过程）．
【题型九】直勾股定理与网格及折叠问题
◇典例9：
如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点 、 均在格点上，那么和线段 两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
◆变式训练
1.在 中， ， ， 在 内部，且 ，分别将 ， 向
对折，使得 ， 都与 重合，折痕 ， 分别交 于点 ， ．若 ，则 的长为
．
2.我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在 的方格纸中，
每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形 是邻等四边形，且点D也在格点上，
那么边 的长为 ．
【题型十】勾股定理的证明及证明线段平方关系
◇典例10：
本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股
四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理
论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，
用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
◆变式训练
1.已知：在 中， ， ．点 、 在线段 上．(1)如图1，如果 ，求证： ．
(2)如图2，如果 ，求证： ．
2.如图，直角三角形 ，直角顶点C在直线 上，分别过点A、B作直线 的垂线，垂足分别为点D和点
E．
(1)求证： ；
(2)如果 ，
①求证： ；
②若设 的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
真题在线
一、单选题
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中， ， ， 为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024·江苏淮安·中考真题）如图， ，点E在直线 上，点F、G在直线 上，
， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在 中， ， ，边 的中点为D，边 上的点
E满足 ．若 ，则 的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在 中， ，将 沿 方向向右平移至
处，使 恰好过边 的中点D，连接 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片 中， ，点 分别在边
上，且 ，将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形 是矩形，对角线 相交于点O，点E，F分别
在边 上，连接 交对角线 于点P．若P为 的中点， ，则 （ ）A． B． C． D．
7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图， 中， ， ，将 绕点A顺时针
旋转 得到 ，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接 ，点D恰好落在线段 上，则
的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 ，
，E为垂足，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设
计图的一部分， 是斜梁 的中点，立柱 垂直于横梁 ．若 ， ，则 的
长为 ．
10．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点E在边 上， ，垂足为F．若 ，，则 的面积为 ．
11．（2025·山东东营·中考真题）如图，在 中， ， ， 的平分线交 于点
， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
12．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在 中，对角线 交于点O， ，点E、F分
别为 的中点，连接 ，若 ，则 ．
三、解答题
13．（2025·贵州·中考真题）如图，在 中， 为对角线 上的中点，连接 ，且 ，垂
足为 ．延长 至 ，使 ，连接 ， ，且 交 于点 ．
(1)求证： 是菱形；
(2)若 ，求 的面积．
14．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在 中， ， ，点 在 上，过点 作
交 于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ，求 的长．
15．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在 中，
，点D在直线 上，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，过点E作
，交直线 于点F．
（1）当点D在线段 上时，如图①，求证： ；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用 构造全等三角形，便尝试着在 上截取 ，
连接 ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段 的延长线上时，如图②：当点D在线段 的延长线上时，如图③，请判断并直接
写出线段 ， ， 之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若 ， ，则 ______．
专项练习
一、单选题
1．如图，在 中， ， ， ，垂足为D，若 ，则 的长为
（ ）A． B． C． D．
2．在 中， ， ， 是 边上的中线， 是 边上的高， ，
．那么 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 中， ，D为 上的任意一点， 于E， 于F， ，
，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
4．某房梁如图所示，立柱 ，E，F分别是斜梁 ， 的中点．若 ，则 的长为（
）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
5．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点D．若 ，则 的长
为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
6．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，过点 作 交
于点 ，且 平分 ，若 ，则 的长为（ ）．A． B． C． D．
7．如图，在 与 中， ，点D在直线 上运动，则 的
最小值（ ）．
A． B． C．2 D．
8．如图， 是一张顶角为 的三角形纸片， ， ，现将 折叠，使点 与点
重合，折痕为 ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．3
9．如图，在 中， ， 是 边上的中线．若 ， ，则 是
（ ）
A． B． C． D．
10．图为《天工开物》记载的用于舂（ ）捣谷物的工具——“碓（ ）”，图6－1为其平面示意
图．已知 于点B， 与水平线l相交于点O， ．若 分米， 分米，，则点C到水平线l的距离 为（ ）
A．4分米 B． 分米 C． 分米 D． 分米
二、填空题
11．如图，公路 、 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ， 的
长为 ，则点 ， 之间的距离是 ．
12．在 中， ， ， ，则 ．
13．如图，在 中， ， ， 的平分线 交 于点 ，若 ，则
的长是 ．
14．如图，在四边形 中， ， ， ， 是对角线 的中点， 是
对角线 上的动点，当 时， ．15．如图，在 中， 为斜边 的中点， ．
（1）线段 的长为 ；
（2）过点 作 的垂线，与 相交于点 ，若 ，则边 的长为 ．
16．如图，已知 ，点 …， 在射线 上，点 …， 在射线
上，若 ， ，…，依此规律作图至点 ，
则 的长为 ．
三、解答题
17．如图，在 和 中， ， ， 相交于点E， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
18．如图，小明利用一根长 的竿子 来测量路灯 的高度．他的方法如下：在路灯前选一点 ，使
，并测得 的度数，然后把竖直的竿子 在 的延长线上来回移动，使 与 互
余，此时测得 ．（竿子 与路灯 垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯 的高度．19．如图，四边形 中， ， ，E、F分别是 和 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
20．已知线段 ，以 为斜边作 和 ，连接 ，M、N分别是线段 、 的中点，
连接 、 ．
(1)如图1， 和 在线段 的两侧．
①求证： ；
②若 ， ；请求出 的度数；
(2)如图2， 和 在线段 的同侧，若 ， ，则 的度数
为 （用含α、β的代数式表示）
21．已知，在 中， ，点 是射线 上任意一点，连接 ，过点 作
，垂足为点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．(1)如图1，当点 在线段 上，且 时，求 的长；
(2)如图2，当点 在 的延长线上时，用等式表示线段 、 和 的数量关系，并证明．
