文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题3 一次函数的图象和性质
知识梳理
【考点一】一次函数、正比例函数的概念
1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2．一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
【考点二】正比例函数的图像特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号 函数图象 图象的位置 性质
k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大
k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小
【考点三】一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- ，0)的一条直线
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，
图象关系
向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b
k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
(k≠0)k>0，b<0 一、三、四
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b
y随x的增大而减小
(k≠0)
k<0，b<0 二、三、四
（3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）．
①当– >0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当– =0，即b=0时，直线经过原点．③当– <0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
（4）两直线y=kx+b（k≠0）与y=kx+b（k≠0）的位置关系：
1 1 1 2 2 2
①当k=k，b≠b，两直线平行；②当k=k，b=b，两直线重合；
1 2 1 2 1 2 1 2
③当k≠k，b=b，两直线交于y轴上一点；④当k·k=–1时，两直线垂直．
1 2 1 2 1 2
【考点四】一次函数与方程（组）、不等式的关系
1．一次函数与一元一次方程的关系
直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标
x 就是对应方程kx+b=0的解．
A
简记：交点的横坐标就是对应方程的解
2．一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都能写成（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式ax+b>0就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的
自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点
的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组的关系
y=kx+b
从数的角度看，解二元一次方程组 1 1相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这
y=kx+b
2 2
两个函数值是何值；y
y=kx+b
2 2
A
x
O A
y=kx+b
1 1
从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标：
y=kx+b
一般地，一次函数 与 交点的坐标数值上等于对应方程组 1 1的解。
y=kx+b y=kx+b
y=kx+b
1 1 2 2 2 2
牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解
例题讲解
【题型一】求函数解析式或点的坐标
◇典例1：
在等式 中，当 时， ；当 时， ．当 时，求y的值．
◆变式训练
1.已知点 在一次函数 的图象上，则 的值为 ．
2．函数 经过点 ，则 的值是 ．
【题型二】判断一次函数图象经过的象限
◇典例2：
若点 是一次函数 图象上的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1.若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则直线 不经过第 象限．
2.若 ，则函数 的图像不经过第 象限．
【题型三】 函数图象与坐标轴交点问题
◇典例3：
如图，直线 经过点 ，将 绕A点顺时针旋转，旋转角为 ，得到直线 ．
点 在 上，若 ，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）◆变式训练
1.已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ， 是 上的一点，若将 沿 折叠，
点 恰好落在 轴上的点 处，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，入射光线 满足的一次函数关系式为 ，遇到平面镜（ 轴）上的点 后，反射光
线 交 轴于点 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】利用一次函数图象求解不等式
◇典例4：
若函数 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
◆变式训练
1.图，直线 与直线 （ 为常数， ）相交于点 ，则关于 的不等式
的解集为 ．
2.若函数 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【题型五】利用一次函数图象解方程（组）
◇典例5：
函数 （ ， 为常数， ）的图象与 的图象交于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)已知一次函数 （ 为常数， ），当 时，总有 ，则 的取值范围是 ．◆变式训练
1.“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的 倍还大 ( 为
常数)，则称此点为“ 倍大点”，例如 、 都是“ 倍大点”．
【验证感知】若 时，“ 倍大点”为 ，则一次函数 的图像上的“ 倍大点”的坐标
为
【知识应用】若反比例函数 存在“ 倍大点”，求 的取值范围；
【拓展延伸】若 时，二次函数 在 的范围内，图像上有且只有 个“ 倍大
点”，求 的取值范围．
2.直线 和直线 相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．求 的面积．
真题在线
一、单选题
1．（2025·四川·中考真题）函数 的图象为( )
A． B． C． D．
2．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 （ 为常数， ）的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点 均在直线 上，若 ，
则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数 的图象，关于x的不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线 经过第一、第二、第三象限，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广西·中考真题）已知一次函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
7．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，直线 （m为常数）与x轴交于点A，将该直线
沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点 ．若点 与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
8．（2025·吉林长春·中考真题）已知点 、 在同一正比例函数 的图象上，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 ，点P在过原点的直线 上，且
，则直线 的解析式是 ．10．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 的方程组
的解是 ．
11．（2025·四川南充·中考真题）已知直线 与直线 的交点在 轴上，
则 的值是 ．
12．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为
．
三、解答题
13．（2024·江苏南京·中考真题）已知点 与点 关于 轴对称，将点 向左平移3个单位长度得到
点 ．若 两点都在函数 的图象上，求点 的坐标．
14．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小于函数
的值，直接写出m的取值范围．
15．（2025·山东德州·中考真题）如图， ，点M在线段 上，将 沿直线 折叠，
点B恰好落在点 处．(1)求a的值；
(2)求直线 的解析式；
(3)若直线 与直线 的交点在直线 的左侧，请直接写出t的取值范围．
专项练习
一、单选题
1．一次函数 的图象如图所示，当 时，x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．函数 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
3．如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．4．已知一次函数 不经过第三象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是① ，② ，③ ，则 、 、 的大小
关系是（ ）.
A． B． C． D．
6．点 在直线 上，且到 轴的距离为1，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 和 相交于点 ，则关于x，y的方
程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．关于一次函数 的图象与性质，下列说法中正确的个数是（ ）
① 随 的增大而增大；②当 时，该图象与函数 的图像是两条平行线；③不论 取何值，图象都经过第一、三象限；④若图象不经过第四象限，则 ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．从 ， ，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点 在函数 图象上的概率
是（ ）
A． B． C． D．
10．以下关于直线 说法正确的是（ ）
A．与 轴相交于点
B．与直线： 平行
C．将直线 向上平移2个单位长度得到直线
D．直线 上有三个点 ，则
二、填空题
11．直线 的图像向右平移1个单位，所得直线的函数解析式为 ．
12．如图，一次函数 的图像与 轴的交点坐标为 ，则关于 的方程 的解为 ．
13．已知两条直线 与 的图像的交点坐标为 ，则方程组
的解为 ．
14．已知一个正比例函数的图象经过点 ，则这个正比例函数的表达式是 ．15．若 与 成正比例，当 时， ，则y与x之间的函数表达式为 ．
16．当 时，函数 的最大值为 ．
三、解答题
17．已知 与x成正比例，且当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)判断点 是否在函数的图像上，并说明理由．
18．已知： 与 成正比例，且 时， ，
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值；
(3)若该函数图象沿 轴向上平移 个单位长度，求平移后图象与 轴的交点坐标．
19．已知直线 ，求：
(1)若 ，求将该函数图像向下平移2个单位长度后的函数关系式_____．
(2)当m为何值时，函数图像经过原点？
(3)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求m的取值范围．
20．如图，直线 是一次函数 的图像．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在直线 上取点 ，使 的面积为8，求点 的坐标；
(3)将直线 沿 轴向___________平移___________个单位，则平移后的直线经过点 ．
21．如图在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点P，直线 与直线 分别与x轴相交于点A、B．
(1)求点P的坐标；
(2)当 时，x的取值范围为______；
(3)求 的面积．
