文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题3 定义、命题与定理
知识梳理
【考点一】 命题
1.命题 表示判断的语句叫做命题特别解读:(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可
能是错误的，(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情进
行肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句
2.命题的结构 命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
3.命题的种类 (1)真命题:如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，叫做真命题(2)假命题:当条件成
立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立.像这样的命题，叫做假命题
4.举反例 要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题
条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”
5.注意：
（1）命题常可以写成“如果...那么….....”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接
的部分是结论。
（2）有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适那么......”的形式。当变形，改写成“如果.…，
【考点二】 定义与定理
1.定义 用不同的语句说明名词各自所包含的确切意义，这样的语句叫做这些名词的定义
2.基本事实 经过长期实践后公认为正确的命题,并作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做
基本事实.例如(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直，(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角
相等，那么这两条直线平行
3.定理 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为
进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
4.命题、基本事实、定理之间的联系与区别:
（1）联系:基本事实和定理都是命题
（2）区别:基本事实、定理都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始
的依据:而命题不一定是真命题，因而不一定能作为判断其他命题真假的依据
【考点三】命题证明的一般步骤
1.证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演经推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明
2.命题证明的一般步骤
第一步:分清命题的条件和结论，若命题与图形有关则根据题意,画出图形，并在图形上标出相关的字母和
符号；第二步:根据条件、结论，结合图形,写出已知、求证；第三步:观察图形，分析证明思路，找出证明
方法；第四步:写出证明的过程，并注明依据
3.推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁
内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步
证明的依据
4.注意：
要证明一个命题是真命题，就要证明符合条件的所有情况，得出的结论都成立;要证明一个命题是假命
题，只需要举出一个反例说明命题不成立即可
例题讲解
【题型一】判断是否是命题
◇典例1：
下列语句是命题的有（ ）个．
你喜欢数学吗？ 熊猫没有翅膀； 任何一个三角形一定有直角； 作线段AB=CD； 无论n是怎
①样的自然数，式子n②2−n+11的值都是③质数； 如果两条直线都和第三④条直线平行，那么这两⑤条直线也互
相平行． ⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】本题考查命题，判断事件的语句叫命题．掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的
定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案．
【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；
②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；
③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；
④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；
⑤对事件作出了判断（式子n2−n+11的值都是质数），是命题；
⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题．
综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个，
故选B．
◆变式训练1.下列语句是命题的是（ ）
A．作AB∥CD B．若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3
C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
【答案】B
【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须
具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确．
根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性．
【详解】A. 作AB∥CD，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句；
B. 若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3，是命题，因为它是一个具有判断性的语句；
C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句；
D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句．
故选：B．
2.下列选项中不是命题的是（ ）
A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果a=b,a=c，那么b=c
【答案】B
【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某
一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命
题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意；
C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
D．如果a=b,a=c，那么b=c，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
故选：B．
【题型二】 写出命题的题设与结论
◇典例2：
“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ．
【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短
【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论
部分．
将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论．
【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，
那么垂线段最短．
所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短．
◆变式训练
1.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是（ ）
A．90° B．两个角 C．度数之和为90° D．度数之和为90°的两个角
【答案】D
【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由
已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么
的后面．
命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题
设．
【详解】解：命题“度数之和为90°的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于90°，那么这
两个角互为余角，
∴命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是度数之和为90°的两个角．
故选：D．
2.如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，这个命题的条件是 ，结论是 ．
【答案】 ∠A>∠B,∠B>∠C ∠A>∠C
【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即
可求解．
【详解】解：如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，
∴这个命题的条件是∠A>∠B,∠B>∠C，结论是∠A>∠C，
故答案为：①∠A>∠B,∠B>∠C，② ∠A>∠C．
【题型三】判断命题真假
◇典例3：
如图，线段AC,BD相交于点O，连接AD,BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线
相交于点M．①若∠A=2∠BCM，则AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，则AE∥MC；③若
∠A=∠B，则∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，则∠M−∠B=90°．以上命题中真命
题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCM，由∠A=2∠BCM可得∠A=∠ACB，利用平行
线的判定得到AE∥BC，可判断①；根据角平分线的定义得到∠BDE=2∠BDM，由∠M=2∠BDM
可得∠M=∠BDE，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出∠ADB=∠ACB，再利
用角平分线的定义求出∠EDM+∠BCM=90°，可判定③；延长CM交BD于点F，利用角平分线的定义
求出∠BDM+∠BCM=90°，利用三角形外角的性质得到∠CMD=∠CFD+∠BDM，
∠CFD=∠B+∠BCM，进而得到∠CMD=∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°，可判断④，即可得
出结论．
【详解】解：∵CM平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCM，
∵∠A=2∠BCM，
∴∠A=∠ACB，
∴AE∥BC，故①是真命题；
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDE=2∠BDM，
∵∠M=2∠BDM，
∴∠M=∠BDE，
由∠M=∠BDE无法证明AE∥MC，故②是假命题；
∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，
∴∠ADB=∠ACB，
∵∠BDE+∠ADB=180°，
∴∠BDE+∠ACB=180°，
∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，
∴∠EDM+∠BCM
1 1
= ∠BDE+ ∠ACB
2 21
= ×180°
2
=90°，
∴∠EDM+∠BCM=90°，故③是真命题；
如图，延长CM交BD于点F，
∵∠ADO=∠BCO，∠BDE+∠ADO=180°，
∴∠BDE+∠BCO=180°，
∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，
∴∠BDM+∠BCM
1 1
= ∠BDE+ ∠BCO
2 2
1
= ×180°
2
=90°，
∵∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，
∴∠CMD=∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°，
∴∠CMD−∠B=90°，故④是真命题；
∴真命题的个数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的
定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
◆变式训练
1.命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）．
【答案】真
【分析】本题主要考查了命题，掌握相反数的性质是解题的关键．
根据判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题是真命题进行分析即可．
【详解】解：命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数绝
对值相等，这是一个真命题．故答案为：真．
2.命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直
线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号）
【答案】 /
【分析】①考查④了④命①题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的判定等知识，根据对顶角
的性质、平行线的判定判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题；
④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
其中是真命题的有①④；
故答案为：①④．
【题型四】举反例
◇典例4：
能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2°
C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20°
【答案】D
【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和
不是钝角的例子，即可判断．
【详解】解：A、82°+40°=122°，是钝角，不符合题意；
B、89°+2°=91°，是钝角，不符合题意；
C、65°+30°=95°，是钝角，不符合题意；
D、30°+20°=50°，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1.为说明命题“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命题，你举出的一个反例是 ．
【答案】a=1，b=−1（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的性质可得当|a|=|b|，得出a=b或a=−b，举例只要两个数互为相反数即可得．
【详解】解： |a|=|b|，
a=b或a=−∵b，
∴例如：a=1，b=−1时，|a|=|b|，∴命题“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命题，
故答案为：a=1，b=−1（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查绝对值的性质，深刻理解绝对值的性质是解题关键．
2.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=45°,∠2=45° B．∠1=30°,∠2=60°
C．∠1=60°,∠2=60° D．∠1=30°,∠2=40°
【答案】A
【分析】本题考查举反例，要说明命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”是假命题，需找到满足
∠1+∠2=90°但∠1=∠2的反例．
【详解】解：A、∠1=45°,∠2=45°，和为90°，且∠1=∠2，满足反例条件．
B、∠1=30°,∠2=60°，和为90°，但∠1≠∠2，支持原命题．
C、∠1=60°,∠2=60°，和为120°，不满足条件．
D、∠1=30°,∠2=40°，和为70°，不满足条件．
故选A．
【题型五】定理与证明
◇典例5：
请举出一个关于角相等的定理： ．
【答案】两直线平行，同位角相等
【分析】任意写出一个角相等的定理即可．
【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可．
◆变式训练
1.下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长BC至D使CD=BC
【答案】B
【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 若两角之和为90°，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；
B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长BC至D使CD=BC，不是定义，不符合题意；故选：B
2.定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的
的和．
【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角
【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答
即可．
【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角
【题型六】写出一个命题的已知、求证及证明
◇典例6：
命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：________________________；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明
过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在△ABC中，∠B=90°
求证：∠A+∠C=90°
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠C=180°−∠B
∵∠B=90°∴∠A+∠C=180°−90°=90°．
◆变式训练
1.请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内
角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可．
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD=∠A+∠B．
证明：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠A+∠B．
2.证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可．
【详解】已知：如图，直线a、b、c中，a∥b，b∥c，
求证：a∥c．
证明：作直线a、b、c的截线DF，交点分别为D，E，F．∵a∥b,
∴∠1=∠2，
∵b∥c,
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴a∥c．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【题型七】已知证明过程填写理论依据
◇典例7：
【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容．
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D．试找出∠D
与△ABC的内角∠A之间的关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的度数，即可求∠D的度数．
①当∠A=60°时，∠D=___________度；当∠A=120°时，∠D=___________度；
②于是小明猜想∠D与∠A之间的数量关系为___________；
（2）以下是小明完成猜想证明的部分过程：
证明：∵BD平分∠ABC，
1
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC．
2
∵CD平分∠ACE，
1
∴∠DCE=∠ACD= ∠ACE．
2
证明过程缺失请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】（3）如图，在四边形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，连结FG．若
∠A=140°，∠D=90°，则∠F+∠G=___________度．
1
【答案】（1）①30；60；②∠D= ∠A；（2）见解析；（3）205
2
【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是灵活应用三角形的外角
性质．
（1）①当∠A分别是60度和120度时，得到∠D的度数；
1
②猜想得到∠D= ∠A；
2
1 1
（2）由角平分线定义得到∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE，由三角形的外角性质推出
2 2
1 1 1 1
∠A+ ∠ABC=∠D+ ∠ABC，即可证明∠D= ∠A；
2 2 2 2
（3）延长BA和CD交于M，延长BE和CG交于N，由三角形的外角性质求出∠M=50°，由（2）的结论
1
即可求出∠N= ×50°=25°，由三角形的外角性质即可求出∠BFG+∠CGF=205°．
2
【详解】（1）解：①当∠A=60°时，设∠ABC=2α，则∠ACE=2α+60°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
1 1
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC=α，∠DCE=∠ACD= ∠ACE=α+30°，
2 2
∴∠D=∠DCE−∠DBC=α+30°−α=30°；
当∠A=120°时，设∠ABC=2β，则∠ACE=2β+120°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
1 1
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC=β，∠DCE=∠ACD= ∠ACE=β+60°，
2 2
∴∠D=∠DCE−∠DBC=β+60°−β=60°；
故答案为：30，60；1
②于是小明猜想∠D与∠A之间的数量关系为∠D= ∠A，
2
1
故答案为：∠D= ∠A；
2
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
1
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC，
2
∵CD平分∠ACE，
1
∴∠DCE=∠ACD= ∠ACE，
2
∵∠DCE=∠D+∠DBC，
1 1
∴ ∠ACE=∠D+ ∠ABC，
2 2
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
1 1 1
∴ ∠A+ ∠ABC=∠D+ ∠ABC，
2 2 2
1
∴∠D= ∠A；
2
（3）如图，延长BA和CD交于M，延长BE和CG交于N，
∵BF平分∠ABC，CG平分外角∠DCE，
1
∴∠N= ∠M，
2
∵∠ADC=90°，
∴∠ADM=180°−90°=90°，
∴∠M=∠BAD−∠ADM=140°=90°=50°，
1
∴∠N= ×50°=25°，
2
∵∠BFG=∠N+∠FGN，∠CGF=∠N+∠NFG，
∴∠BFG+∠CGF=∠N+∠FGN+∠N+∠NFG=180°+25°=205°，故答案为：205．
◆变式训练
1.补全下列推理过程：
如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．
解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），
∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（____________）．
∴∠2=∠3（____________）．
∵∠1=∠2（已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG∥AB（____________）．
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），
∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠2=∠3（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴DG∥AB（ 内错角相等，两直线平行 ）．
2.如图，D是△ABC边BC上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．
(1)求∠B的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），
∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=______°．（等量代换）
(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度数．（请写出完整的解答过程）
【答案】(1)答案见解析
(2)75°
【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．熟记三角形的外角性
质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键．
（1）由∠ADC是△ABD的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可求出
∠B的度数；
（2）利用角平分线的定义和“三角形的内角和等于180°”，可求出∠C的度数．
【详解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），
∴∠B+∠BAD=∠ADC=70°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=35°．（等量代换）；
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=35°（已知），
∴∠BAC=2×35°=70°（角平分线的定义）．
∵在△ABD中，∠B=35°，∠BAC=70°（已证），
∴∠C=180°−35°−70°=75°（三角形的内角和定理）．
【题型八】根据给出的论断组命题并证明
◇典例8：
如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可．
【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：
①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题，
①②⇒③，
∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴m∥n；
②③⇒①，
∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠BDC；
①③⇒②，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC+∠ABD=180°，
∴b∥c，
∴∠AFE=∠FED．
◆变式训练
1.如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，
另一个论断为结论构造命题．(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E＝∠F；
命题2证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C＝∠CDF，
∴∠B＝∠C；
命题3证明如下：
∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF，∴∠C＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题
的关键．
2.【阅读】在证明命题“如果a>b>0，c<0，那么a2+bc>ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a>b>0，
∴a2> ． ∴a2+bc> ．
∵a>b，c<0，
∴bc> ． ∴ab+bc> ．
∴a2+bc>ab+ac．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a>b，②a|b| ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
【答案】(1)见解析
(2)②④，证明见解析
【分析】（1）根据a>b>0，可得a2> ab．从而得到a2+bc> ab+bc ．再由a>b，c<0，可得bc>ac．
从而得到ab+bc> ab+ac ．即可求证；
（2）选择②④ ．理由：根据a−b，即可．
【详解】（1）证明：∵a>b>0，
∴a2> ab．
∴a2+bc> ab+bc ．
∵a>b，c<0，
∴bc>ac．
∴ab+bc> ab+ac ．
∴a2+bc>ab+ac ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a−b．
∴|a|>|b|．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的
关键．
真题在线
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形 D．单项式 的次数是4
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义求解．
【详解】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题；
D. 单项式 的次数是3，故此命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义，
熟练掌握上述知识是关键．
2．（2023·四川达州·中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设 ，
∵三角形内角和为 ，
∴ ，
∴
∴ ，则 为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌
握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
3．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于
”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大于
，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等
于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结
论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
4．（2023·江苏无锡·中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；
③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，
故①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．
5．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是
掌握这些基础知识点．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为 ，选项错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合
题意；
故选：A．
6．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
【答案】D
【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，
逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
7．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题：① ；
② ；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理
可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：① ，故①是真命题；
② ，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活
运用相关知识成为解答本题的关键．
8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形 中， ，点D，E分别在边 ， 上，
连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A【分析】由 ，可得 ，再由 ，由 无法证明 与 全
等，从而无法得到 ；证明 可得 ；证明 ，可得
，即可证明；证明 ，即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵若 ，
又 ，
∴ 与 满足“ ”的关系，无法证明全等，
因此无法得出 ，故A是假命题，
∵若 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故B是真命题；
若 ，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C是真命题；
若 ，则在 和 中，，
∴ ，
∴ ，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫
真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
二、填空题
9．（2024·江苏宿迁·中考真题）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命
题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案．
【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是：“同位角相等，两直线平行”；
故答案为：“同位角相等，两直线平行”．
10．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若 ，则 ”的逆命题： ．
【答案】若 ，则
【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结
论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此
即可解答．
【详解】解：“若 ，则 ”的逆命题为：若 ，则 ，
故答案为：若 ，则 ．
11．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据 ，可得出 ，进而可判断
出若 ，则 是假命题．
【详解】解：
，∵
∴若 ，则 是假命题，
∴故答案为：假．12．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数a，b的值为
， ．
【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例
是解题的关键．
根据举反例的方法找到a，b满足 ，但是不满足 即可解答．
【详解】解：当 ， 时， ，但是 ．
故答案为： ，1（答案不唯一）．
三、解答题
13．（2023·江西·中考真题）如图，点A, D, B,E在同一条直线上，且AD=BE, ∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断
这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题请给出一个适当的条件使它成
为真命题，并加以证明.
【答案】是假命题 ，添加条件如：∠E=∠CBA (不唯一) ，证明见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法可判定“AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF”是假命题，根据图形特
征结合全等三角形的判定方法即可给出一个适当的条件．
【详解】是假命题，添加条件如：∠E=∠CBA（不唯一）
∵AD=BE
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE
在△CAB和△FDE 中
∵∠A=∠FDE，AB=DE，∠E=∠CBA
∴△CAB≌△FDE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学
的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．14．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命
题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若 ，则 ；
(2)对于任意实数 ，一定有 ；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
【答案】(1)假命题，见解析；
(2)假命题，见解析；
(3)真命题，证明见解析；
(4)假命题，见解析．
【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成
立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出
发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条
件，不具备命题的结论的例子）即可
根据真命题和假命题的定义判断并说明即可．
【详解】（1）解：是假命题，反例：
当 时，
， ，
∴结论不成立；
（2）解：是假命题，反例：
当 时，
，
∴结论不成立；
（3）解：是真命题，证明：
设两个连续的正奇数为 ， （ 为正整数），
则
∵ 为正整数，
∴ 是8的倍数，∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）解：是假命题，反例：
当四边形为等腰梯形时结论不成立．
15．（2023·湖南湘潭·中考真题）已知 五个点，抛物线
经过其中的三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线 上；
(2)点A在抛物线 上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
【答案】(1)见解析；
(2)不在，见解析；
(3) ，
【分析】（1）由抛物线 可知，抛物线对称轴为 ，而 ， 两点纵坐标相等，
应该关于直线 对称，但 与对称轴相距 ， 与对称轴相距 ，故不可能；
（2）假设 点在抛物线上，得出矛盾排除 点在抛物线上；
（3） 、 两点关于对称轴 对称，一定在抛物线上，另外一点可能是 点或 点，分别将 、 或
、 两点坐标代入求 和 的值.
【详解】（1）解： 抛物线 的对称轴为 ，
而 ， 两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知， 、 关于直线 对称，
又 与对称轴相距 ， 与对称轴相距 ，
、 两点不可能同时在抛物线上；
（2）假设点 在抛物线 （ ）上，则 ，解得 ，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将 ， ， ， 代入，
得出 的值分别为 ， ， ， ，
又因为 ，与 矛盾，
所以假设不成立，
所以 不在抛物线上；
（3）将 、 两点坐标代入 中，得
，
解得 ，
或将 、 两点坐标代入 中，得
，
解得 ，
综上所述， 或 .
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式.
专项练习
一、单选题
1．已知在 中， ，求证： ．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设 ．
【详解】解：∵要证明 ，
∴用反证法时，应假设
故选C．
2．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等
【答案】C
【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键．
定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可．
【详解】解：定义是给出术语含义的语句，
选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明，
选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征，
故选：C．
3．用反证法证明“若在同一平面内， ， ，则 ”时，应假设（ ）
A． 与 平行 B． 与 相交
C． D． 与 不平行， 与 不平行
【答案】B
【分析】本题考查了反证法，解题的关键是区分命题的条件与结论．由于反证法的步骤是首先假设结论不
成立，进而得出答案．
【详解】解： 求证： ，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
第一步应假设 与 不平行，则 与 相交．
故选：B．
4．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假．
分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要
求；
选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求；
选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求；
选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求；
故选：C．
5．对于命题“若 ，则 ”，若要说明它是假命题，则所举的反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论
证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据平方根的定义可知若 ，则 ，由此举出反例即可．
【详解】解： ，
∵
∴ ，
∴如果要举反例说明“若 ，则 ”， 则所取的数可以是 ．
故选B．
6．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（ ）
A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角
C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角
【答案】D
【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是
“至少有两个内角是钝角”.
【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”，
∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”.
故选：D.
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．相等的角是对顶角
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、对顶角定义、平行公理等知识是解题
的关键．根据平行线的性质、对顶角相等、平行公理逐一判断各选项的命题真假，即可得答案．
【详解】解：A．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，故该选项是假命题；
B．相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，故该选项是假命题；
C．平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行线的传递性，故该选项是真命题；
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行，仅当点在直线外时成立，点在直线上时不成立，故该选项
是假命题．
故选：C．
8．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【答案】B
【分析】本题考查逆定理的概念及真假判断，全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及垂直平分线
的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
先写出各定理的逆定理，再根据全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及垂直平分线的判定进行分
析，然后即可求解．
【详解】解：A、原定理为“等腰三角形的两底角相等”，逆定理为“三角形两角相等，则该三角形是等
腰三角形”，根据等腰三角形的判定（等角对等边），逆定理为真，不符合题意；
B、原定理为“全等三角形的对应角相等”，逆定理为“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相
等无法保证全等（如大小不同的等边三角形），故逆定理为假，符合题意；
C、原定理为“直角三角形的两锐角互余”，逆定理为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，若两角互
余，第三角必为 ，故逆定理为真，不符合题意；
D、原定理为“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，逆定理为“到线段两端距离相等的点
在线段垂直平分线上”，根据垂直平分线的判定定理，逆定理为真，不符合题意．
故选B．9．下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；
⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤
【答案】C
【分析】本题考查圆的基本概念和命题的真假判断．
根据弧、弦、等弧等定义逐一分析各命题：①半圆是弧，正确；②弦是线段，不是圆上两点之间的部分，
错误；③等弦所对的弧不一定相等，因为可能涉及优弧或劣弧，且未指定同圆或等圆，错误；④根据弧向
圆心角的关系可知④正确；⑤是圆的定义，正确．因此正确命题为①和⑤．
【详解】解：半圆是圆上任意两点与直径端点围成的弧，①正确；
弦是连接圆上两点的线段，不是“部分”，②错误；
等弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，且未指定同圆或等圆，③错误；
因为能够重合的弧叫等弧，即只有在等圆或同圆中才存在等弧，所以等弧所对的弦相等，④正确；
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，⑤正确；
正确的是①④⑤．
故选：C．
10．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．四边形的外角和等于 B．两直线平行，内错角相等
C．若 ，则 D．在实数范围内，负数没有平方根
【答案】C
【分析】本题考查了真假命题的判断，多边形外角和，平行线的性质，不等式的性质，平方根的概念理解．
根据多边形外角和，平行线的性质，不等式的性质，平方根的概念一一判断即可．
【详解】解：A、多边形外角和恒为 ，正确；
B、平行线性质，内错角相等，正确；
C、若 ，只有 时， 才成立，故错误；
D、实数范围内负数无平方根，正确；
∴假命题是C，
故选：C．
二、填空题
11．把命题“三角形的内角和等于 ”改写成“如果……，那么……”的形式为
．【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于
【分析】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于 ”，
然后套用“如果……那么……”的形式.
【详解】解：命题“三角形的内角和等于 ”中，“三角形的内角”是题设，“和等于 ”是结论，
因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 ”.
故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 ．
12．能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数 的值为 ， ．
【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题与定理、举反例等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例
是解题的关键．
通过举反例说明命题为假，当a为负数且绝对值大于b时，满足 但 ．
【详解】解：取 ，则 ，
满足 ，但 ，即 不成立，故命题为假命题，
故答案为： ，1（答案不唯一）．
13．命题“等角的补角相等”的条件是 ．
【答案】两个角相等
【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，
结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案．
【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”，
所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等；
故答案为：两个角相等．
14．用反证法证明“已知 ， ，则 ”时，应假设： ．
【答案】
【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，
即假设结论的反面成立，据此解答即可．
【详解】解：原命题的结论是 ，其反面为 ，因此应假设 ．
故答案为： ．
15．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可．
【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形；
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
16．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命
题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有 个．
【答案】1
【分析】本题主要考查了命题、逆命题及定理的概念，熟练掌握命题与逆命题的关系、定理的定义是解题
的关键．逐一分析四个结论，结合命题、逆命题、定理的定义判断正误，统计正确结论的数量．
【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论，
所以命题一定有逆命题，故①正确．
因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题），
所以真命题不一定是定理，故②错误．
因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，
所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误．
因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它
们相等”是真命题，
所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误．
综上，正确的结论有1个．
故答案为：1．
三、解答题
17．判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由．
【答案】假命题，理由见分析
【分析】本题考查了对顶角的概念，互逆命题，真假命题，理解对顶角的概念是解题的关键．两个角有公
共的顶点，如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．判断一个命题是
假命题，举一反例即可．
【详解】解：原命题的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．这个逆命题是假命题，例
如，两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角
18．指出下列命题中的条件和结论：
(1)如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角．
(2)绝对值等于5的数一定是5．(3)两个钝角相等．
(4)如果 ， ,那么 ．
【答案】(1)条件：两个角的和等于 ；结论：这两个角互为补角．
(2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5．
(3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等．
(4)条件： 且 ；结论： ．
【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答，
（1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论．
（2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半
为结论．
（3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论．
（4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论．
【详解】（1）解：条件：两个角的和等于 ；结论：这两个角互为补角．
（2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5．
（3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等．
（4）解：条件： 且 ；结论： ．
19．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数 和 ．
若 ．则一定有 ”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若 ，则一定有
．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质．
（1）根据题意举反例即可；
（2）由不等式的性质可得 ， ，即可证得结论．
【详解】（1）解：例如： ， ， ， ， ，得到 ．
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，∴ ．
20．（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；
（2）写出这个命题的逆命题：__________，它是一个______命题（填“真”或“假”）．
【答案】（1）见详解
（2）如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理证明两条角平分线相等；
（2）写出原命题的逆命题并判断其真假即可．
【详解】（1）证明：设等腰三角形 中， ， 为 的角平分线， 为 的角平分线，
如下图，
∵
∴
∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∴
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）逆命题：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形
它是一个真命题．
故答案为：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真．
21．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论
证命题得到定理的几何学论证方法．
小牧在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个
三角形是直角三角形．”
(1)请你用尺规作图，在图中作出线段 的中点D，并连接 ．（保留作图痕迹）
(2)请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．
已知：______．
求证： 为直角三角形．
(3)补全上述猜想的证明过程．
证明：∵______
∴ ，
又∵
∴
在 中，∵
∴ ，（______）（填推理的依据）
同理，在 中，______．
在 中
∵
∴______
∴ 为直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线的尺规作图，三角形中线的定
义，熟知相关知识是解题的关键．
（1）作线段 的垂直平分线交线段 于点D，连接 即可；（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；
（3）根据题意得到 ， ，根据三角形内角和定理得到
，即可得到 ，问题得证．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：已知：如图所示，在 中， 是 的中线，且 ；
（3）证明：∵在 中， 是 的中线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ （等边对等角），
同理，在 中， ．
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
