文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题3 二次根式及其运算
知识梳理
【考点一】二次根式的有关概念
概念 定义与条件
二次根式 把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，而√a有意义的条件是a≥0。
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫
做最简二次根式：
最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。
【考点二】二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质：
2.二次根式的化简方法：
（1）利用二次根式的基本性质进行化简；
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．√ab =√a•√b （a≥0，b≥0），
√a √a
= （a≥0，b＞0）
b √b3.化简二次根式的步骤：
（1）把被开方数分解因式；
（2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术
平方根的积；
（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【考点三】二次根式的运算
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.
2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即 √a √a（a≥0，b＞0）.
： =
√b b
3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即： 1 √a+√b √a+√b；
= =
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
例题讲解
【题型一】二次根式的有关概念
◇典例1：下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：当 时，下列式子有意义的是（ ）A． B． C． D．
◆变式训练
1.函数y 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√4
A．√32 B．√0.4 C． D．√15
3
◆变式训练
1.下列各式中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：若最简二次根式 与 能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
◆变式训练
1.下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是 （ ）
√1
A．√6 B．√81 C． D．√18
3
【题型二】二次根式的性质与化简
◇典例1：若 ，则a的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
◆变式训练
1.化简： ．
◇典例2：下列计算正确的为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ）A． B． C． D．若 ，则
◇典例3：已知x，y为实数，若满足 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
◆变式训练
1.若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【题型三】二次根式的运算
◇典例1：计算： ．
◆变式训练
1.计算 ．
◇典例2：下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.已知 ，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.计算： ．
◇典例4：已知实数 满足 ，求 的值．
x √(2021−x) 2+√x−2022=x x−20212
◆变式训练1.已知 ， ．
(1)求 的值．
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求 的值．
◇典例5：用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为 的矩形纸片“丁”紧密拼接形
成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
◆变式训练
1.据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间 与下落高度 近似满足公式
，一物体从 高空自由落下，则关于物体下落的时间 ，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
真题在线
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： （ ）
A．6 B． C． D．13．（2025·河北·中考真题）计算： （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北·中考真题）若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
7．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B
点出发由西向东航行10 到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离
为（ ）
A． B． C．20 D．
8．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数 ，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·湖南·中考真题）化简 ．
10．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
12．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和 ，则其斜边的长为
．
三、解答题
13．（2024·甘肃·中考真题）计算： ．
14．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值： ，其中 ．
15．（2023·江苏·中考真题）在 张相同的小纸条上，分别写有：① ；② ；③ ；④乘法；⑤加法．
将这 张小纸条做成 支签，①、②、③放在不透明的盒子 中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子 中搅匀．
(1)从盒子 中任意抽出 支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子 中任意抽出 支签，再从盒子 中任意抽出 支签，求抽到的 个实数进行相应的运算后结果
是无理数的概率．
专项练习
一、单选题
1．若式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）A． B． C． D．
3．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则 （）
A． B． C． D．
8．把 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 是实数，且满足 ，则相应的 的值为( )
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
10．如图，正方形 ，顶点 在数轴上表示的数为1，若点 在数轴上（点 在点 的右侧），且
，则点 所表示的数为 ，则正方形 的面积为（ ）A． B．7 C． D．10
二、填空题
11．使式子 有意义的x的取值范围是 ．
12．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
13．若 ，则 ．
14．已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
15．已知 ， ，则代数式 的值是 ；
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n
为整数且 ）行从左向右数第 个数是 （用含n的代数式表示）．
三、解答题
17．计算：
(1) ；
(2) ．
18．已知 ， ，解答下列各题：
(1)求 的值；(2)求 的值．
19．如图，小华家有一块长方形空地 ，空地的长 为 ，宽 为 ，小华准备在空地中
划出一块长为 ，宽为 的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求长方形空地 的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．
20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ：
(1)计算： _____； _____；
(2)若 ，则正整数 _____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
21．阅读材料与综合实践：
通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
如： ， ．解决问题：
(1)将下列式子分母有理化：
， ， ；
(2)比较大小： （直接填“ 或 或 ”）；
(3)定义：两个二次根式 满足 ，且 是有理数，则称 与 是关于 的“友好二次根式”．若
与 是关于 的“友好二次根式”，求 的值．
