文档文本内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题6 反比例函数的图象及应用
知识梳理
【考点一】反比例函数与一次函数综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的 x的范
围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范
围为 或 ．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况
【考点二】反比例函数与几何图形综合
1.三角形相关知识：
直角三角形：勾股定理、面积公式；
等腰/等边三角形：性质（等边对等角、三线合一）、判定；
三角形全等/相似：判定定理（SAS、SSS、ASA；AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相
等）—— 用于转化线段长度、角度关系；2.特殊四边形相关知识：
平行四边形、矩形、菱形、正方形：性质（对边平行且相等、对角线特征等）、判定；
3.坐标几何基础：
平面直角坐标系中点的坐标特征：象限符号、坐标轴上的点（x 轴上 y=0，y 轴上 x=0）
两点间距离公式：若 、 ，则
A(x ,y ) B(x ,y ) AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
点到坐标轴的距离：点 到 轴距离 ，到 轴距离
(x ,y ) x |y | y |x |
0 0 0 0
斜率与平行、垂直：两直线平行 ⇔ 斜率相等；两直线垂直 ⇔ 斜率乘积为 −1（初中阶段可通过坐
标计算角度）
3.核心方法与数学思想
（1）数形结合思想
从函数图像上提取点的坐标信息，转化为代数计算；
用代数计算结果（如 k 的值、点的坐标）推导几何图形的形状、面积、边长。
（2）方程思想
利用 xy=k 建立等量关系；
结合几何性质（如勾股定理、相似比）列方程，求解点的坐标或 k 的值。
（3）转化思想
不规则图形面积 → 转化为规则图形（矩形、三角形）的和/差；
线段长度 → 转化为点的坐标差的绝对值。
（4）分类讨论思想
当点的位置不确定时（如在不同象限、不同边上），需分类讨论，避免漏解。
【考点三】反比例函数的实际应用
1.用反比例函数解决实际问题的步骤
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
2. 常见反比例关系举例
S
（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为y= (0<x≤√S)；
x2S
（2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为y= (x>0)；
x
F
（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为p= (S>0)；
S
U
（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为I= (R>0)；
R
L
（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为t= (n>0)．.
n
3.与实际情境结合的分段函数问题
(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式
中的字母系数。
(2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。
例题讲解
【题型一】反比例函数与一次函数的综合应用
◇典例1：
在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致
A． B．
C． D．
◆变式训练
k
1.如图，已知反比例函数y = 1 （k >0）与一次函数y =k x+1(k ≠0)相交于A、B两点（点A在第一
1 x 1 2 2 2
AC
象限），AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且 =2．
OC(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函数y 的值？
1 2
2.在同一平面直角坐标系中，若 ，则函数 与 的大致图象是
A． B． C． D．
【题型二】反比例函数与几何图形的综合应用
◇典例2：
如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是菱形， ，且点 落在函数
的图象上，则四边形 的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．28
◆变式训练
1.如图，在直角坐标系中，菱形 的顶点均在坐标轴上， ．若反比例函数 经过
边的中点 ，则点 的坐标为 ．2.如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为 ，反比
例函数 的图像与边 分别交于点 （不与边的端点重合），连接 ， ， ．
(1)若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标；
(2)若 ，求 的面积．
【题型三】反比例函数与利润问题应用
◇典例3：
某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活
动，发现此商品的日销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以
用反比例函数刻画这种商品的日销售量y（件）与日销售单价x（元/件）之间的关系
第1天 第2天 第3天 第4天
日销售单价x（元/件） 150 200 240 250
日销售量y（件） 40 30 25 24
(1)写出这个反比例函数的解析式（不必写x的取值范围）；
(2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余
下的这些商品预计再用多少天可以全部售出；
(3)设商品的日销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？
◆变式训练
1.某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润
率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例
函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2.校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每
天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件．
(1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)；
(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？
【题型四】反比例函数与工程问题应用
◇典例4：
瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持
不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高50%，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车
运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为
5:2:3:1恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
◆变式训练
1.某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例
函数关系，已知该函数关系的图象经过点(30,40)，如图．
(1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程?2.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石
方的任务．
(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②若0<t≤80时，求y的取值范围．
(2)若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡
车运输？
【题型五】反比例函数与行程问题应用
◇典例5：
元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行
驶时间为1.5h．设小汽车行驶的平均速度为vkm/h，行驶的时间为 t h．
(1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)；
(2)若这条公路限速为120km/h，李老师需要不超过2.5h从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平
均速度ν的取值范围．
◆变式训练
1.去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息
技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其
最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它
的最快移动速度v =6m/s；求其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度．
2.元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为88km/h时，行驶时间
为2h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若小汽车匀速行驶的速度为55km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
【题型六】反比例函数与物理问题应用
◇典例6：
F
在物理中，压强p(Pa) ，压力F(N) ，受力面积S(m2)满足公式p= ．
S
(1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号）(2)已知一块比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
◆变式训练
1.在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成
U
反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为 (10,4) ，则电源电压U为（提示：I= ）（ ）
R
A．10 V B．20 V C．30 V D．40 V
2.数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体
积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关
系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3<V<9，求密度ρ的变化范围．真题在线
一、单选题
1．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，
则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起
来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点O的右侧用
一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单
位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·青海·中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓
度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是 时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
4．（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间
t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位：
）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻 大于 时，电流 可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的直角边 在 轴
上， 、 分别与反比例函数 的图象相交于点 ，且 为 的中点，过点 作轴的垂线，垂足为 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图， 为矩形 （边 ， 分别在 ， 轴的正半轴上）对角线
上的点，且 ，经过点 的反比例函数 的图象分别与 ， 相交于点 ， ，连接
， ， ，若 的面积是24，则 的面积为（ ）
A．25 B．26 C． D．
8．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形 与 （其中边 ， 分别在 ， 轴的正
半轴上）的公共顶点 在反比例函数 的图象上，直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．若这两
个正方形的面积之和是 ，且 ．则 的值是（ ）A．5 B．1 C．3 D．2
二、填空题
9．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的
压强 是气球体积 的反比例函数．当 时， ．则当 时，
Pa．
10．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的 ， ， 三个面的面积比是5：3：1．如果 面向下放
在地上，地面所受压强为 ，那么 面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率 （单位： ）为定值，行驶速度 （单位：
）与所受阻力 （单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率
．
12．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 的图象交
于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的 和 ．当 ， 分别与x轴相切时，切点
分别为点C和点D，连接 ， ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 ）三、解答题
13．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 的古代汲水工具（如图
①），有一横杆固定于桔槔上 点，并可绕 点转动．在横杆 处连接一竹竿，在横杆 处固定 的
物体，且 ．若图中人物竖直向下施加的拉力为 ，当改变点 与点 的距离 时，横杆始终处于
水平状态，小星发现 与 有一定的关系，记录了拉力的大小 与 的变化，如下表：
点 与点 的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中 的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画 与 之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，
描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当 的长增大时，拉力 是增大还是减小？请说明理由．
14．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形 ，点 在 轴上，反比例函数 的图象经
过菱形的顶点 ，连接 ， 与反比例函数图象交于点 ．(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线 的解析式和点 的坐标．
15．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 中，其中含 角的
三角板 的直角边 落在 轴上，含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函数
的图象经过点 ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板 绕点 顺时针旋转 边上的点 恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点 的坐标．
专项练习
一、单选题
1．已知近视眼镜的度数 （度）是镜片焦距 （米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是 度时，镜
片的焦距为 米，那么近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷
将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果
的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力 （在
地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力 超过 即为及格．则下列说法正确的是（ ）
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．除尘能力与滚刷的滚速成正比
C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力 的数值越大，表示除尘能力越强
3．密度计浸在液体中的深度 是液体的密度 的反比例函数，图象如图所示．下列结
论：
结论一：当 时， ；
结论二：当 时， ．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确
4．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流 与电阻 之间的函数关系
如图②所示，则下列说法正确的是（ ）A． 与 的函数解析式是
B．当 时，
C． 随 的增大而增大
D．当 时， 的取值范围是
5．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为 千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱
内部温度 与时间 （分钟 ）如图所示：通过观察发现：当内部温度为 时，冰箱运行，当温
度下降到 时，停止运行．温度上升到 时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是
（ ）
A．当 时， 是 的一次函数
B．当 时， 是 的反比例函数
C．
D．该冰箱每天耗电至少超过1度
6．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为 万元，前期付款4000元，后期每个月
分期付相等数额，则每个月的付款额 （元）与付款月数 （ 取正整数）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．实验数据显示，一般成人喝 毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量 （毫克/百毫升）与时间
（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线 组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中
的酒精含量大于 （毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 在家喝完 毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班
（ ）A． B． C． D．
8．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课
时间x（ ）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第 时注意力指数为40，前 内
注意力指数y是时间x的一次函数． 以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学
题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
9．如图， ， 两点在反比例函数 的图象上，分别过 ， 两点向坐标轴作垂线段．若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 ，加热到 ，停止加热，水温开始下降．
此时水温 （ ）与通电时间 （ ）成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热，若水温
在 时接通电源，水温 与通电时间 之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A．水温从 加热到 ，需要
B．水温下降过程中， 与 的函数关系式是
C．上午 点接通电源，可以保证当天 能喝到不超过 的水
D．水温不低于 的时间为
二、填空题
11．某班列车从甲地驶往乙地，行驶完全程所需时间 （单位： ）是行驶的平均速度 （单位： ）
的反比例函数，其图象如图所示，则t关于v的函数关系式为 ．
12．在对物体做功一定的情况下，力 与物体在力的方向上移动的距离 成反比例函数关系．点
在此函数图象上，当力达到 时，物体在力的方向上移动的距离是
13．一种摄影感光材料的曝光量（y）（单位：勒克斯·秒）与光圈值（x）（单位：f）成反比例，其函数
图象如图所示．拍摄时光圈从 调整到 ，则曝光量减少了 勒克斯・秒．14．已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函
数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，则用电器可变电阻
的电阻R的取值范围是 ．
15．在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系．当 时，
．则电流I与电阻R之间的函数表达式为 ．
16．如图， 和 均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 上，若图中 ，
则k的值为 ．
三、解答题
17．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电
流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值 ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻 、
之间关系为 ，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
(1) ___________， ___________；(2)【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数 的图象
与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象．
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是___________．
(3)【拓展】根据（2）中函数图象，可考虑利用“数形结合”进行分析，当 时， 的解
集为___________．
18．学校电扇开关为可调节旋钮，其原理是当电压恒定时，通过滑动变阻器控制电流变化，从而改变电扇
的转速．电扇的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，图像如图所示．
(1)当电流为 时，滑动变阻器的电阻是多少？
(2)若该电扇工作的最小电流为 ，最大电流为 ，求滑动变阻器的电阻R的取值范围．
19．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示．
3 4 5 6 7 8 9 10
12 9 4.5 4 3.6
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)把表补充完整：
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
20．某日上午 晨光中学的饮水机开机水温为 ，加热时水温每分钟上升 ，加热到 停止加热；随后水温开始下降，水温 是时间 的反比例函数，当水温降至 时饮水机自动开启加热
模式，重复上述程序，水温 与时间 之间的函数关系如图所示．
(1)当 时，求水温 关于时间 的函数表达式；
(2)试判断小明 到学校能喝到 以上的水吗？请说明理由．
21．综合与实践
随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流
（单位： ）与电阻 （单位： ）成反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若使用该蓄电池时测得电阻 为 ，则电流 为_____ ；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？
