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专题 03 反比例函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量的取值范围是非零
的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y= ，y= ，xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
反比例函数
的符号
所在象限 一、三象限 二、四象限
大致图像
在一个支上（每一个象限 在一个支上（每一个象限
增减性
内）， 随 的增大而减小。 内）， 随 的增大而增大。
对称性 图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称
（三）待定系数发生求解析式
①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出解析式（四）反比例函数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成
1
的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为2 |k|.
（2）常见的面积类型：（基础）
（五）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交
点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k
＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐
标，确定出解集的范围.
（六）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
模块三 考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
1 1 x
A．xy=−2 B．y= C．y= D．y=
x2 2x+1 3
【变式1】若y=2xa−2为关于x的反比例函数，则a的值是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式2】若
f (x)=(n2+2n)xn2+n−1
是反比例函数，则
n
的值为 ．
【变式3】已知函数 是反比例函数，则
y=(m2+2m−3)x|m|−2 m=考点2：反比例函数图像
1
典例2：小光根据学习函数的经验，探究函数y= 的图象与性质．
x−1
(1)刻画图象
①列表：下表是x，y的几组对应值，其中a= ，b= ；
1 2 3 5 4 3
x … −4 −2 −1 0 2 3 4 …
2 3 4 4 3 2
1 1 1 1 1
… − − − −1 −2 a −4 4 3 2 1 b …
x−1 5 3 2 3
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
(2)认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当x>1时，y随x的增大而 ；
1
②函数y= 的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标）
x−1
(3)类比探究
1 1
①小光发现，函数y= 的图象可以由反比例函数y= 的图象经过平移得到．请结合图象说明平
x−1 x
移过程；
4 4
②函数y= 的图象经平移可以得到函数y= 的图象，请说明平移过程．
x−3 x+2
【变式1】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点(1,3)．(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
(2)若y≤2.5，求自变量t的取值范围．
【变式2】在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：
6
(1)画出函数y= 的图象；
x
6
①由分式有意义可知，函数y= 中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩
x
余的空．
x −6 −4 −3 −2 −1.5 −1 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）．
3
(2)画出函数y= x的图象；
2
3 6
(3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数y= x的值大于函数y= 的值，直接写出x的取值
2 x
范围．
3+a
【变式3】已知反比例函数y= ，且当x=3时，y=−2．
x(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
考点3：反比例函数的增减性
k
典例3：已知反比例函数y= (k≠0)，当x>0时，y随x的增大而减小，关于x的一元二次方程
x
x2+kx−k=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．与k的值有关，无法确定
4
【变式1】对于反比例函数y= ，下列说法中错误的是（ ）
x
A．y随x的增大而减小 B．图象经过点(−2,−2)
C．图象与坐标轴无交点 D．图象分布在第一、三象限
【变式2】当 时，反比例函数 随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在
x>0 y=mx2m2+3m−6
第 象限．
k−1
【变式3】已知反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范
x
围是 ．
考点4：反比例函数图像性质——比较大小
典例4：若点( 4 ) ( 1 )均在反比例函数 a2+1的图象上，则下列结论中正
− ,y ,(−2,y ), − ,y y=
3 1 2 3 3 x
确的是（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【变式1】已知x=1是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的一个根，点P(−1,m)、Q(2,n)均在反k−3
比例函数y= 的图象上，则关于m、n的大小关系描述正确的是（ ）
x
A．m>n>0 B．m>0>n
C．n>m>0 D．n>0>m
5
【变式2】已知点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )都在反比例函数y=− 的图象上，若
1 1 2 2 3 3 x
x <0”连接）
1 2 3 1 2 3
k k
【变式3】已知反比例函数y = 与y =− (k>0)，当1≤x≤3时，y 的最小值为a，y 的最小值为
1 x 2 x 1 2
2a−5，则k的值是 ．
考点5：反比例函数k的几何意义
3 n
典例5：如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y= 的图象的四个分支上，则实数
x x
n的值为（ ）
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
k
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，A、B是函数y= (x>0)图象上两点，坐标分别是(a,6)、
x
(6,a)．若△AOB的面积为16，则k值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2
【变式2】如图，点A是y= (x>0)图像上任一点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，过点A作x
xk
轴的平行线交y= (x>0)的图像于点B，连接OB交AC于点D，若点D是AC的中点，则k的值为
x
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
k
【变式3】如图，点A，B都是双曲线y= (k≠0,x>0)上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知
x
AB=2BC，△AOC的面积为12，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2
【变式4】如图，过反比例函数y= (x>0)图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数
x
k
y= (x>0)于点B．连接OA、OB．若S =3，则k的值为 ．
x △AOB
5 k
【变式5】如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= (k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B
x x
向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是7，则k的值为 ．1
【变式6】如图，在反比例函数y= 的图象上有P ,P ,P ,⋯,P 等点，它们的横坐标依次为
x 1 2 2 2025
1，2，3，…，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依
次为S ,S ,S ,…,S ,S ，则S +S +S +…+S +S = ．
1 2 3 2023 2024 1 2 3 2023 2024
18 2
【变式7】如图，过坐标原点O的直线AB与两函数y= (x>0)，y= (x<0)的图象分别交于A，
x x
OA
B两点，作AH⊥y轴于H，连接BH交x轴于点C，现给出以下结论：①S =9；② =3；③
△AOH OB
OC 1 3
= ；④S = ．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
AH 3 △BOC 4
考点6：求反比例函数解析式
典例6：已知y与x成反比例，且当x=3时，y=4．(1)求函数的关系式；
3
(2)当x= 时，y的值是多少？
2
m−8
【变式1】已知点(−1,6)在反比例函数y= 的图象上．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较 的大小，并说明理由．
(x ,−6) (x ,−1) (x ,3) x ，x ，x
1 2 3 1 2 3
【变式2】已知y−2与x+3成反比例，当x=3时，y=4．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当y=−2时，求x的值．
k
【变式3】反比例函数y= （x<0部分）与一次函数y=−2x+2的图象交于点A(−1,m)．
x
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点
C．当OD=1时，求线段BC的长．
考点7：反比例函数与一次函数
m
典例7：如图，一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = (m≠0)的图象交于A、B两点，
1 2 x
若已知A(−2,n)，B(6,−1)．
(1)分别求一次函数与反比例函数的关系式；
(2)点P(0,a)为y轴负半轴上一点，若△APB的面积为16，求a的值；
m
(3)观察图象，直接写出不等式kx+b> 的解集．
x
m
【变式1】如图，一次函数y =kx+b(k≠0)与函数为y = (x>0)的图象交于A(1,6)，B(6,a)两
1 2 x
点．(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y 的图象于点Q，若△POQ面积为
2
2，求点P的坐标；
(3)根据图象，直接写出满足y −y >0时x的取值范围．
1 2
1
【变式2】已知双曲线y= 与直线y=kx+b交于点A(x ,y )，B(x ,y )
x 1 1 2 2
(1)当k=2，b=−1时，求x +x 的值；
1 2
(2)用k，b表示x +x ；
1 2
(3)若x +x =0，求y + y 的值．
1 2 1 2
k
【变式3】如图，直线l ：y=x与双曲线y= 相交于点A(a,2)，将直线l 向上平移3个单位得到l ，
1 x 1 2
直线l 与双曲线相交于B、C两点（点B在第一象限），交y轴于D点，连接AB．
2
k
(1)求双曲线y= 和线段AB所在直线的解析式；
x
(2)求四边形DOAB的面积．
k
【变式4】如图，一次函数y=−x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1)．
x(1)求一次函数及反比例的表达式和m值
k
(2)请根据图象，直接写出不等式 ≥−x+b的解集；
x
(3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，当S的值
最小时，求出点P的坐标及S的最小值．
3 k
【变式5】如图，一次函数y= x+b(k≠0)图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于点A(2,6)，
2 x
与y轴交于点B．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
k
(2)连接AO并延长与反比例函数y= (k≠0)的图象交于另一点C，点D在y轴上，若以O、C、D为
x
顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
m
【变式6】如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=kx+b的图象交于A(2,4)，B(a,−1)两点，
x
直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D．(1)m=______，k=______，b=______．
(2)若P(t,0)(t≠2)是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的
图象交于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请
求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8
【变式7】如图，已知直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，第一
x
象限的双曲线上有一点P(a,2)，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q．
(1)直接写出k的值及点B的坐标；
(2)求线段PQ的长；
(3)如果在直线y=kx上有一点M，且满足△BPM的面积等于12，求点M的坐标．
考点8：反比例函数的实际应用
典例8：【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：
阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图1，即F ×L =F ×L ），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示
A 1 B 2
的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端L =0.4m，在杠
1 2
杆左端悬挂重力为80N的物体A．x/N 10 20 30 40 50 …
8
y/cm … 8 a 2 b …
3
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为____________；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．
2
设重物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数解析式是________________．
②完成表格：a=______________；b=________________．
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存
在点C，使得S =46，请直接写出所有满足条件的点C的坐标．
△ABC
【变式1】在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长80cm且质地均匀的木杆，用细
绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处30cm挂一个重4N的物体，为了保持木
杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测
力计与中点O距离L(cm)，看弹簧测力计的示数F(N)的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表
所示．
第1组 第2组 第3组 第4组
L/cm a 30 32 37.5
F/N 4.8 4 b 3.2
(1)在已学过的函数中选择合适的模型，求F(N)与L(cm)的函数表达式；(2)补充表中数据：a=______，b=______；
(3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹
簧测力计示数就______
A．变大 B．变小 C．不变
(4)若弹簧测力计的最大量程是5N，求L的取值范围．
【变式2】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平
均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶
速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）．
(1)求v与t的函数表达式；
(2)已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于
80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围．
【变式3】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意
力指数y上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数
为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数．10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．
(1)当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
(2)当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在
哪个时间段讲完这道题？
【变式4】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻
器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，
L
U
电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
R/Ω… 1 a 3 4 6 …I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a=______，b=______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= （x≥0），结合表格信息，探究函数y= （
x+2 x+2
x≥0）的图象与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= （x≥0）的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______．
12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， <− x+6的解集为______．
x+2 2
【变式5】心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化
而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定
状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的
变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分，注意力指标数越大，学生
的注意力越集中）．
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
(3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打
造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感
知，明确目标--探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于
40．请问这样的要求能否实现？如果能，请写出如何安排此环节的时间；如果不能，请说明理由．
考点9：反比例函数与几何综合
k
典例9：如图1，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(2√3,1)，射线AB与反比例函数的图象交
x
于另一点B(1,a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴于点D．
(1)填空：
①k的值为__________．
②tan∠DAC=_________；直线AC的函数解析式为__________．
(2)如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线l⊥x轴，与AC交于点N，
连接CM．求△CMN面积的最大值．
k
【变式1】如图，反比例函数y= (k>0)与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，
x
OC=4，连接OD、OE、DE.记△OAD、△OCE的面积分别为S 、S ．
1 2
(1)①点B坐标为______；
②S ______S （填“>”、“<”、“=”）；
1 2
(2)当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标；
(3)当S +S =2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．
1 2【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴
1 k
上，点B的坐标为(4,2)，直线y=− x+3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y= (x>0)的
2 x
图象经过点M，N．
(1)求反比例函数的表达式及点M、N的坐标；
k 1
(2)观察图象，当x>0时，写出关于x的不等式 + x−3>0的解集；
x 2
(3)若点P在第一象限内的反比例函数图象上，且△OCP的面积是四边形BMON面积的3倍，求点P
的坐标．
k
【变式3】已知反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点P，点P的纵
x
坐标为6，PA⊥x轴，垂足为点A，点M为双曲线上点P右侧的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
PB 3
(2)如图，过点M作MB⊥AP于点B，若 = ，求点M的坐标；
BM 2
(3)在（2）的条件下，点N是射线OP上一点，若△PMN的面积为3，求点N的坐标．
【变式4】如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，边AB在x轴上，
k
∠BAD=60°，B(−1,0)，点C在反比例函数y= (k≠0)的图象上．
x(1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；
(2)将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F，求
点F到x轴的距离．
【变式5】如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，AD=6，点P从点B出发，沿射线BC方向一直运
动．连接AP、PD，过点D作△APD的高DE，设AP的长为x，DE的长为y．请解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________；
(3)若 ，在图2中画出该图象，并直接写出当 时x的取值范围________．
y =−x+5(x≥1) y>y
1 1
